15Однородные системы уравнений
.docОднородные системы уравнений:
Однородная система АХ=0 всегда совместна, так как имеет тривиальное решение Х=0. Для существования нетривиального решения однородной системы необходимо и достаточно, чтобы r=rang A<n (при т=п это условие означает, что det A=0). Пусть Q Rn множество всех решений однородной системы. Всякий базис в множестве Q состоит из n – r векторов e1,...,en-r. Соответствующая ему в каноническом базисе система вектор-столбцов Е1,..., Еn–r наз. фундаментальной системой решений. Общее решение однородной системы имеет вид X= c1E1+...+cn–rEn–r,
где C1,..., Cn–r – произвольные постоянные. Базисные решения Е1,..., Еn–r могут быть получены по правилу Крамера, если свободным неизвестным придавать поочередно значение 1, полагая остальные равными 0.