- •Глава 1: введение в анализ.
- •Параграф 3: функция
- •– Область определения функции. – область значения функции.
- •Классификация функций
- •Параграф 5: последовательность. Точка. Предел последовательности.
- •Параграф 6: предел последовательности.
- •Параграф 7: бесконечно малые величины.
- •Параграф 8: бесконечно большие величины.
- •Леммы о бесконечно больших.
- •Параграф 9: теоремы о пределах.
- •Параграф 10:предел функции
- •Параграф 11: одностороние пределы слева и справа точки .
- •Параграф 12: предел функции на бесконечности.
- •Определение предела функции на бесконечности на языке окрестностей.
- •Параграф 13: замечательные пределы.
- •Формулы гиперболической тригонометрии.
- •Параграф 14: взаимные пределы, основанные на втором замечательном пределе.
- •Параграф 15: сравнение бесконечно маленьких.
- •Опр. 6 Бесконечно малое , называется низшего порядка по отношению к бесконечно малому , если
- •Теорема 1:
РАЗДЕЛ: МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ.
Глава 1: введение в анализ.
ПАРАГРАФ 1: МНОЖЕСТВА.
Опр. 1: Суммой множеств (объединением) – называют множество, каждый элемент которого принадлежит хотя бы одному из данных множеств.
– объединение множеств.
Общий элемент указывается один раз.
Опр. 2: Пересечением множеств (произведением) называется множество, каждый элемент которого принадлежит данным множествам.
– пересечение.
Опр. 3: Разностью множеств и называют множество, каждый элемент которого принадлежит и не принадлежит .
Промежутки.
Вся ось – множество вещественных чисел.
– замкнутый промежуток – сегмент.
– открытый промежуток (интервал).
– полузамкнутый.
РАЗЛИЧНЫЕ МНОЖЕСТВА ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ.
1. Первичное множество
N = {1, 2, 3….} – (применяются для счета предметов) множество натуральных чисел.
2. {0, 1, 2, 3, 4…} – множество целых неотрицательных чисел.
3. Z = {0, ±1, ±2…} – множество целых чисел.
4. Q = {p/q} – рациональное множество чисел, где P Î Z, q = N.
Во множестве Q возможны все 4 арифметических действия, за исключением деления на нуль.
Множество иррациональных чисел – множество чисел, которые изображаются бесконечными не периодичными десятичными дробями.
Множество вещественных чисел (действительных) – множество, являющееся объединением Q и иррациональных чисел.
R – множество вещественных чисел.
R = Q È {иррациональные числа}.
Свойства вещественных чисел:
-
Упорядоченность.
Для любых двух вещественных чисел верно одно и только одно соотношение:
-
Плотность:
Между двумя любыми не равными вещественными числами лежит бесконечное множество других вещественных чисел.
-
Неограниченность:
Каким бы не было вещественное число , всегда существует точка , что , и всегда существует , что .
-
Несчетность.
Вещественные числа нельзя занумеровать, т. к. их больше натуральных ( поддается нумерации.)
-
Непрерывность.
Опр. 1: Множество называется ограниченным с верху, если существует его верхняя граница (число, которое не меньше всех чисел множества А)
Если существует верхняя граница хоть одна, то существует бесчисленное множество верхних границ.
Опр. 2: Наименьшей из верхних границ, ограничивающих с верху числовое множество , называется его точной верхней границей.
Обозначается: (supremum)
Опр. 3: Множество называется ограниченным снизу, если существует его нижняя граница в (число, которое не больше всех чисел множества ).
Если существует хотя бы одна нижняя граница, то существует бесчисленное множество нижних границ.
Опр. 4: Наибольшая из нижних границ, ограниченного снизу числового множества , называют точной нижней границей.
Обозначается: (infimum).
Опр. 5: Множество называется ограниченным, если оно ограничено и сверху и снизу.
Формулировка свойства непрерывности множества вещественных чисел.
-
Если числовое множество ограниченно сверху, то оно имеет точную верхнюю границу.
-
Если числовое множество ограниченно снизу, то оно имеет точную нижнюю границу.
ПАРАГРАФ 2: ЛОГИЧЕСКИЕ СВЯЗКИ И КВАНТОРЫ.
К связкам относятся следующие символы:
, , , .
дизъюнкция конъюнкция интликация равносильность
Этими символами связываются высказывания. Под высказываниями понимается предложения, относительно которых подразумевается, что оно ложное или истинное.
– истинно.
– ложно.
– обозначение высказывания.
– дизъюнкция двух высказываний.
Опр.1: Дизъюнкция истина тогда и только тогда, когда истинно хотя бы одно из данных высказываний.
ПРИМЕР:
– 2 вектора лежат на // прямых.
– 2 вектора лежат на одной прямой.
– 2 вектора коллинеарные.
Опр. 2: Логическим умножением (конъюнкция) называется высказывание, истинное тогда и только тогда, когда оба высказывания истинны.
– квантор всеобщности (любой, всякий, каждый).
– существование (существует)
U – высказывание.
Ū – противоположное высказывание.