Ряды Фурье - Соколовська Г.В. Кусік Л.І.- 2007
.pdfМІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
ОДЕСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ МОРСЬКИЙ УНІВЕРСИТЕТ
Кафедра «Вища та прикладна математика»
РЯДИ ФУР’Є
Типовий розрахунок
Одеса - 2007
2
Типовий розрахунок розроблено Соколовською Галиною Володимирівною та Кусік Людмилою Ігорівною – асистентами кафедри «Вища та прикладна математика» Одеського національного морського університету.
Типовий розрахунок схвалено кафедрою «Вища та прикладна математика» ОНМУ 23 лютого 2007 р. (протокол № 7).
Рецензент - доцент Дреков В. М.
3
Рядом Фур’є для визначеної та інтегровної на відрізку [ ; ] функції f (x) назвемо ряд
a0 |
|
|
(an cos nx bn |
||
2 |
||
n 1 |
коефіцієнти якого знаходимо за формулами:
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
a0 |
|
|
f ( |
|||
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
an |
f (x) cos(nx)dx , |
bn |
|
|
||||
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
sin nx) , |
(1) |
x)dx ,
f (x)sin(nx)dx , n 1,2,... |
(2) |
Будемо говорити, що функція f (x) задовольняє умови Діріхле на інтервалі (a,b) ,
якщо на цьому інтервалі функція : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1) рівномірно обмежена, тобто | |
f (x) | M при a x b , де |
M - стала; |
|
|||||||||||||||
2) має не більш, ніж скінченне число точок розриву I роду (тобто у кожній точці роз- |
||||||||||||||||||
риву x0 функція |
f (x) має скінченну ліву границю f (x0 |
0) lim f (x0 ) і скінчен- |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|||
ну праву границю |
f (x0 0) lim f (x0 ) ( 0 ); |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3) має не більш, ніж скінченне число точок строгого екстремуму. |
|
|||||||||||||||||
Теорема 1 (Діріхле). Якщо функція f (x) |
задовольняє умови Діріхле на інтервалі |
|||||||||||||||||
( , ) , то у кожній точці x ( , ) , в якій |
f (x) неперервна, вона може бути розви- |
|||||||||||||||||
нута в тригонометричний ряд Фур’є (1) і сума ряду S (x) дорівнює |
f (x) . Якщо |
|
||||||||||||||||
x ( , ) є точкою розриву функції f (x) |
, то S(x ) |
1 |
f (x 0) f (x 0) |
. На |
||||||||||||||
|
||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
2 |
|
0 |
0 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
кінцях інтервалу у точках x і |
x сума ряду дорівнює |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
S( ) S( ) |
1 |
f ( 0) f ( 0) |
. |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
f ( x) f (x) ряд (1) не містить сину- |
||||||||||
Неповні ряди Фур’є. Для парної функції |
||||||||||||||||||
сів, тобто |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
bn |
0, |
a0 |
f (x)dx , |
an |
f (x) cos(nx)dx , |
n 1,2,... |
(3) |
|||||||||||
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Якщо |
f (x) - непарна функція |
f ( x) f (x) , то |
|
an 0 |
( n 0,1,2,... ) |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
bn |
f (x)sin(nx)dx , |
n 1,2,... |
|
(4) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4
Функція f (x) , що є визначеною на інтервалі (0, ) , може бути продовжена на інтервал ( ,0) або як парна (коефіцієнти визначаємо за формулами (3)), або як непарна (тоді коефіцієнти обчислюємо за формулами (4)).
Ряди Фур’є періоду 2l . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
f (x) задовольняє умови Діріхле на інтервалі ( l,l) ( |
l - |
||||||||||||||||||||||||||||||
Теорема 2 . Якщо функція |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
додатна стала), то у кожній точці x ( l,l) , в якій |
f (x) |
неперервна, сума ряда S (x) |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
дорівнює f (x) і має місце розвинення |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n x |
|
|
|
|
|
n x |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
f (x) |
0 |
|
an cos |
|
|
|
|
|
bn sin |
|
|
, |
(5) |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
l |
|
|
l |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
де |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
l |
f (x) cos |
|
|
l |
|
|
dx , |
|
|
n 0,1,2,... |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(6) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
l |
|
f (x)sin |
|
l |
|
dx , n 1,2,... |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Якщо x0 ( l,l) є точкою розриву функції f (x) , то |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
S(x ) |
1 |
f (x 0) f (x 0) . На кінцях інтервалу |
у точках x l і x l сума |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0 |
2 |
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ряду дорівнює |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
S( l) S(l) |
1 |
|
f ( l 0) f (l 0) . |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Зауваження 1. |
Для парної на |
( l,l) функції |
|
f (x) коефіцієнти ряду дорівнюють: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n x |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
b |
|
0 |
( n 1,2,...), |
|
a |
|
l |
|
f (x) cos |
l |
dx |
|
( n 0,1,2,... ); |
(7) |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
для непарної – |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 l |
|
|
|
|
|
|
n x |
|
|
|
|||
|
|
|
a |
n |
0 |
( n 0,1,2,...), |
|
|
|
b |
|
l |
|
|
f (x)sin |
|
|
l |
dx ( n 1,2,...). |
(8) |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Зауваження 2. В разі розвинення функції |
f (x) в ряд Фур’є на довільному інтервалі |
(a, a 2l) довжиною 2l границі інтегрування у формулах (6) мають бути замінені на a та a 2l відповідно.
5
Завдання 1. Не розкладаючи функцію y f (x) в ряд Фур’є на інтервалі ( l;l) , побудувати графік функції y S(x) , що є сумою цього ряду. Знайти S(x1) та S (x2 ) .
№ |
|
f (x) |
|
l |
x1 |
x2 |
варіанта |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
3x 1 |
|
1 |
1 |
18 |
2 |
|
2 x |
|
2 |
-2 |
17 |
3 |
|
2x 3 |
|
1 |
0,5 |
-15 |
4 |
|
x 1 |
|
1 |
-1 |
19 |
5 |
|
2x |
|
|
|
17 / 2 |
6 |
x( x) |
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
x2 2x |
|
2 |
1 |
14 |
8 |
|
x3 |
|
1 |
1 |
16,5 |
9 |
|
1 x3 |
|
1 |
-1 |
-22 |
10 |
|
(x 1)2 |
|
1 |
1 |
34 |
11 |
|
(x 1)3 |
|
2 |
-2 |
16 |
12 |
|
x(x 1) |
|
1 |
1 |
14,5 |
|
|
|
|
|
|
|
13 |
|
2x |
|
2 |
-2 |
17 |
14 |
|
(1/ 2)x |
|
1 |
1 |
-12 |
15 |
|
1 2x |
|
2 |
1 |
18 |
16 |
|
3x |
|
1 |
-1 |
18 |
17 |
|
(1/ 3)x |
|
1 |
1 |
-24 |
18 |
|
1 3x |
|
2 |
-2 |
17 |
19 |
|
sin x |
|
/ 2 |
/ 2 |
13 / 4 |
20 |
|
cos x |
|
/ 2 |
/ 4 |
11 / 6 |
|
0, |
3 x 0 |
|
|
|
|
21 |
|
0 x 3 |
|
3 |
3 |
19 |
|
x, |
|
|
|
|
|
|
x, |
1 x 0 |
|
|
|
|
22 |
|
0 x 1 |
|
1 |
-1 |
26,5 |
0, |
|
|
|
|
||
|
x, 2 x 0 |
|
|
|
||
23 |
|
0 x 2 |
|
2 |
2 |
25 |
|
0, |
|
|
|||
|
0, |
1 x 0 |
|
|
|
|
24 |
|
|
|
1 |
1 |
-14,5 |
|
2x, 0 x |
1 |
|
|
|
|
|
1, 2 x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
-2 |
25 |
25 |
1 x, 0 x |
2 |
|
|
|
6
№ |
|
f (x) |
l |
x1 |
x2 |
варіанта |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
2 2x, 1 x 0 |
|
|
|
|
26 |
|
x 1 |
1 |
1 |
13,5 |
|
2, 0 |
|
|
|
|
|
(x 2) 2, 2 x 0 |
|
|
|
|
27 |
|
|
2 |
-2 |
15 |
|
1 x, 0 x 2 |
|
|
|
|
|
0, |
1 x 0 |
|
|
|
28 |
|
|
1 |
0 |
-7,5 |
|
1 x, 0 x 1 |
|
|
|
|
|
1, x 1;0 |
|
|
|
|
29 |
|
|
|
|
22 |
|
x 1;0 |
1 |
-1 |
||
|
x, |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
x 1, 2 x 0 |
|
|
|
|
30 |
|
0 x 2 |
2 |
-2 |
15 |
|
0, |
|
|
|
|
31 |
x x 2 , x 2;0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 x, x 2;0 |
2 |
1 |
-14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Розв’язання задачі варіанта 31.
Побудуємо спочатку графік функції y f (x) .
Рис. 1
За теоремою (1 ), графік суми y S(x) ряду Фур’є для цієї функції на інтервалі (-2;2) співпадає з цим графіком в будь-якій точці інтервалу, крім точки розриву x 0 .
S(0) ( f ( 0) f ( 0))2 (0 1)2 12;
S( 2) S(2) ( f ( 2 0) f (2 0))2 (0 1)2 12.
Враховуючи, що функція y S(x) є періодичною з періодом T 2l 4, побудуємо її графік.
7
Рис. 2
Знайдемо S(1) та S( 14) .
S (1) f (1) 0,
S ( 14) S (2 16) S (2 4T ) S(2) 12.
Завдання 2. Записати розвинення функції y f (x) в ряд Фур’є на інтервалі
( ; )
№ |
|
f (x) |
№ |
f (x) |
||||||
варіанта |
|
варіанта |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
|
x |
2 |
2x |
||||||
3 |
(x ) 2 |
4 |
2x 2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
5 |
(x 1) |
6 |
2x 3 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
7 |
|
3x |
8 |
sin x 2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
9 |
cos x |
2 |
10 |
sin x 3 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
11 |
cos x |
3 |
12 |
sin2 x |
4 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
13 |
cos2 x |
4 |
14 |
sin2 x |
6 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, x 0 |
|||
15 |
cos |
2 |
x |
6 |
16 |
|
|
|||
|
|
|
x, 0 x |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
x, x 0 |
|
x, x 0 |
|||||||
17 |
|
x |
18 |
|
|
|||||
|
, 0 |
|
x, 0 x |
|||||||
|
0, x 0 |
|
x, x 0 |
|||||||
19 |
|
|
|
|
|
20 |
|
|
||
|
2x, 0 x |
|
, 0 x |
|||||||
21 |
|
|
x2 |
|
22 |
3x2 |
||||
|
|
x2 |
|
, x 0 |
||||||
|
|
24 |
|
|
||||||
23 |
|
|
|
|
|
|
x , 0 x |
|||
|
x, |
x 0 |
|
|
x |
|
|
|||
25 |
|
|
|
|
|
26 |
|
|
|
|
|
, |
0 x |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
8
№ |
f (x) |
№ |
f (x) |
|
варіанта |
варіанта |
|||
|
|
|||
|
x, x 0 |
|
2x, x 0 |
|
27 |
|
28 |
|
|
|
x, 0 x |
|
, 0 x |
|
|
2x, x 0 |
|
2 , x 0 |
|
29 |
|
30 |
|
|
|
, 0 x |
|
2 x, 0 x |
|
31 |
x(x 1) |
|
|
|
|
|
|
|
Розв’язання задачі варіанта 31.
За формулами ( 2 ) визначимо коефіцієнти ряду Фур’є.
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
2x |
3 |
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
a0 |
|
|
x(x 1)dx |
|
x2dx |
xdx |
|
x2dx |
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
3 |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
оскільки y x2 - парна функція, |
а y x -непарна. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||
an |
|
|
x2 cos nx dx |
|
x cos nx dx |
|
x2 cos nx dx |
x2 cos nx dx, n |
1, , |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
через те, що функція y x2 cos nx є парною, а функція y xcos nx -непарною. Застосуємо метод інтегрування частинами
|
2 |
|
|
|
|
u x2 , |
du 2x dx, |
|
|
2 |
|
x |
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
an |
|
x |
2 |
cos nx dx |
1 |
|
|
|
|
sin nx |
|
|
xsin nx dx |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
n |
|
|
|
||||
|
|
|
|
dv cos nx dx,v sin nx |
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
u x, |
du dx, |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
xsin nx dx |
dv sin nx dx, v |
1 |
cos nx dx. |
|
||||||||
n |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|||||
|
|
4 |
x |
1 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
cos nx |
|
|
cos nx dx |
|
|
||||
|
|
|
|
n |
|
|
|||||||||
|
|
n |
n |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
4 |
|
4( 1)n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
cos n |
|
|
|
|
cos n |
, n 1, . |
|||||||||
|
|
|
|
sin nx |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
n2 |
n2 |
n2 |
||||||||||||
|
n n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1
bn x2 sin nxdx
2 x cos nx
n
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
u x, |
|
|
du dx |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
x sin nxdx |
|
|
x sin nxdx |
dv |
|
|
|
|
|
|
1 |
cos nx |
|
||||||
|
|
|
sin nxdx, v |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos nx dx |
|
|
|
|
cos n |
|
sin nx |
|
|
|
|
cos n |
|
|||||
|
|
|
|
|
n2 |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
n |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
||||||
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9
|
|
2 1 n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y xsin nx і непар- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
, n 1, . (Тут також використано парність функції |
||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
ність |
y x2 sin nx ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Таким чином, розвинення функції y x(x 1) в ряд Фур’є на ( ; ) має вигляд: |
|||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
4( 1) |
n |
2( 1) |
n |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
cos nx |
|
|
sin nx |
, |
|
|
|
3 |
n |
2 |
|
n |
|
|
||||||||||||
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
або
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
n 2cos nx |
|
sin nx |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 ( 1) |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
n |
2 |
|
n |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Завдання 3. Записати розвинення функції |
|
y f (x) в ряд Фур’є на інтервалі |
|||||||||||||||||||||||
(0;l) у варіантах |
1-15, 31за косинусами, 16-30, 32за синусами. |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
№ |
|
|
|
f (x) |
|
|
|
|
l |
|
|
№ |
|
|
|
f (x) |
l |
|
|||||||
|
варіанта |
|
|
|
|
|
|
|
|
варіанта |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
1 |
|
|
sin 2x |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
sin 3x |
|
|
||||||||
|
3 |
|
|
sin 4x |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
sin x 2 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
5 |
|
|
sin |
|
x 3 |
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
2 x, |
0 x 1, |
2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 x 2 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1, |
|
|
|
|
|
|
|
1, |
|
|
0 x 1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
x, |
|
0 x 1, |
|
|
|||||||
|
7 |
|
|
x , 1 x 2 |
|
2 |
|
|
8 |
|
|
|
x , 1 x 2 |
2 |
|
|||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
2x, |
0 x 1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 x, |
0 x 1, |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
10 |
|
|
|
|
2 |
|
||
|
|
|
1 x 2 |
|
|
|
|
|
|
2(x 1), 1 x 2 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
2, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
x 1, |
|
|
0 x 1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2(x 1) |
|
|
||||||||
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
12 |
|
|
|
1 |
|
|||
|
|
|
4 2x , 1 x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
13 |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
14 |
|
|
|
1 x |
1 |
|
|||
|
15 |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|
|
|
2x 1 |
2 |
|
|||||||
|
17 |
|
|
cos 2x |
|
|
|
|
|
|
|
18 |
|
|
|
cos 4x |
|
|
||||||||
|
19 |
|
|
cos3x |
|
|
|
|
|
|
|
20 |
|
|
|
cos x 2 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos x |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 x, |
0 x 1, |
|
|
|||||||
|
21 |
|
|
|
|
|
|
|
22 |
|
|
|
|
1 x 2 |
2 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1, |
|
|
|
|
|
|
|
1, |
|
|
0 x 1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
x, |
|
0 x 1, |
|
|
|||||||
|
23 |
|
|
x , 1 x 2 |
|
2 |
|
|
24 |
|
|
|
x , 1 x 2 |
2 |
|
|||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||||||||
|
25 |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
26 |
|
|
|
1 x |
1 |
|
10
№ |
f (x) |
l |
№ |
|
|
f (x) |
l |
варіанта |
варіанта |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
27 |
x |
|
28 |
|
|
x |
|
29 |
2x 1 |
1 |
30 |
|
|
2x |
|
|
|
|
|
1 x, 0 x 1, |
|
||
31 |
sin x |
32 |
|
0, |
1 x 2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
Розв’язання задачі варіанта 31.
Ряд Фур’є для функції y sin xза умовами задачи має складатися лише з косинусів і його сума повинна співпадати з цією функцією на інтервалі (0; ) . Розглянемо функцію:
f1 (x)
що є парним продовженням функції зображено на рисунку 3.
sin( x), |
x 0, |
|
0 x , |
sin x , |
y sin x, x (0; ) , на інтервалі ( ; ). Її графік
Рис. 3
Тепер слід розвинути f1 (x) в ряд Фур’є на ( ; ). За формулами (3) маємо:
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
a0 |
|
|
|
|
f1 (x)dx |
sin x dx |
cos x |
|
|
|
|
( 1 1) |
; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
an |
|
|
|
f1 (x)cos nx dx |
f1 (x)cos nx dx |
|
sin x cos nx, n |
1, |
. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Обчислимо окремо a1 : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
a1 |
|
|
sin x cos xdx |
sin 2x dx |
|
|
|
|
cos 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Для будь-якого n 2, маємо: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
sin(n 1)x sin(n 1)x dx |
1 |
|
|
cos(n 1)x |
|
cos(n 1)x |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
an |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
n 1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|