Министерство науки и образования Российской Федерации
ФГБОУ ВО Ивановский государственный химико-технологический университет
Кафедра высшей и прикладной математики
Лабораторная работа
По дисциплине: «Численные методы»
Вариант №18
Выполнил: ст. гр. 2/61 АТП и П Д.А. Князев
Проверил: доц. С.В. Кулакова
Иваново 2017
ЗАДАЧА № 1
Найти решение системы методом Зейделя с точностью 0,0001.
А = В =
Краткая теоретическая часть
Метод Зейделя представляет собой модификацию метода простой итераций и в некоторых случаях приводит к более быстрой сходимости.
Метод заключается в том, что при вычислении (к+1) приближения неизвестного хi (i>1), используются уже вычисленные ранее (к+1) приближения неизвестных х1, х2,…, хi-1
Рассмотрим систему: i=1,n
Пусть матрица α удовлетворяет одному из условий теоремы:
Если, а) <1 (коэффициенты по строкам)
б) <1 (коэффициенты по столбцам)
в) <1 (все коэффициенты)
тогда общая формула метода Зейделя имеет вид:
к=1,2…
Если выполняется хотя бы одно, тогда справедливы утверждения:
-
система имеет единственное решение (С1,... Сn);
-
последовательность , где i = определяется по формуле (2), при любом начальном приближении сходится к соответствующим компонентам точного решения. i =
-
для приближенного равенства верны оценки (x1(k),…xn(k))(C1,…Cn),
а’) если выполняется условие а), то
,
б’) если выполняется условие б), то
,
в’) если выполняется условие в), то
.
Формула погрешности
Решение:
Найти решение системы методом Зейделя с точностью 0,0001.
А = В =
Представим систему в матричной форме АХ=В
Проверим условие сходимости.
Максимум суммы модулей коэффициентов при неизвестных (по строкам) меньше 1. Данное условие выполняется.
Выразим из СЛАУ хn:
Х1 = -2,1417 – 0,1024х2 + 0,1496х3
Х2 = 0,5399 + 0,0376х1 – 0,3662х3
Х3 = 0,5088 – 0,5673х1 + 0,4152х2
Последовательно вычисляем:
При k=1
Х11 = -2,1417 – 0,5399*(-0,1024) – 0,5088*0,1496 = -2,1625
Х21 = 0,5399 – 0,0376*(-2,1625) – 0,5088*(-0,3662) = 0,8189
Х31 = 0,5088 – (-0,5673) *(-2,1625) – 0,4152*0,8189 = -1,0580
Проверим эмпирическое условие окончания итерационного процесса:
При k=2
Х12 = -2,1417 – (-0,1024) * 0,8189 –0,1496 * (-1,0580) = -1,8996
Х22 = 0,5399 – 0,0376*(-1,8996) – (-0,3662) * (-1,0580) = 0,2239
Х32 = 0,5088 – (-0,5673) *(-1,8996) – 0,4152*0,2239 = -0,6618
Проверим эмпирическое условие окончания итерационного процесса:
Так как они все больше заданного числа 0,0001, продолжаем итерации до тех пор, пока значения не будут меньше 0,0001.
для подсчета погрешности решим систему уравнений методом Крамера
А = В =
Вычислим определитель: (метод треугольников)
; ;
Подставив х1, х2, х3 в систему уравнений, получим:
Высчитываем погрешность:
Ответ: Х*=
Задание №2:
Для функции, заданной таблично, построить полиномы Ньютона и Лагранжа. Вычислить y(х* ), y(х** ). Определить погрешность. Х* =Х0 +0,05. Х** =Х5 - 0,15.
i |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
x |
0,5 |
0,7 |
0,9 |
1,1 |
1,3 |
1,5 |
y |
3,150 |
3,171 |
3,181 |
3,179 |
3,165 |
3,140 |