ЗАДАНИЕ 1.
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ.
Основные понятия и определения.
-
Множества.
- множество , состоящее из элементов ;
- множество , состоящее из элементов , удовлетворяющих условию ;
- пустое множество. Любое множество содержит в качестве подмножества;
- принадлежит множеству ;
- не принадлежит множеству ;
- является подмножеством , т. е. любой элемент множества принадлежит множеству ;
- не является подмножеством , т. е. существует по крайней мере один элемент множества , не принадлежащий множеству ;
- множества и равны (совпадают). Множества и равны т. и т. тогда, когда одновременно справедливы условия: и ();
- универсальное множество, содержащее все рассматриваемые множества.
-
Операции над множествами.
- объединение множеств и .
Свойства:
- коммутативность;
- идемпотентность;
- ассоциативность;
,
- пересечение множеств и .
Свойства:
- коммутативность;
- идемпотентность;
- ассоциативность;
- дистрибутивность;
,
- разность множеств и .
Свойства:
, ;
;
;
.
- дополнение множества до универсального множества .
Свойства:
;
;
.
- симметрическая разность множеств и .
Свойства:
;
Законы двойственности (законы де Моргана):
;
- декартово (прямое) произведение множеств и , в частности, .
Свойства:
;
.
Пусть имеется последовательность множеств . Тогда для любого существуют множества и . Тогда множества и называются соответственно верхней и нижней границей последовательности . Если , то последовательность называется сходящейся, а множество - пределом последовательности и обозначают .
-
Отношения и отображения.
Бинарным отношением между элементами множеств и называется любое подмножество . Если , то - бинарное отношение на . Если , то
Бинарное отношение на множестве называется:
Рефлексивным, если
;
Симметричным, если
;
Транзитивным, если
Рефлексивное, транзитивное и симметричное отношение на множестве называется отношением эквивалентности на множестве .
Классом эквивалентности (смежным классом) элемента по называется множество
множество классов эквивалентности элементов множества по называется фактор - множеством по . Обозначается .
Говорят, что задано отображение множества в множество , если каждому элементу поставлен определённый элемент
Обозначения:
Множество или называется областью определения отображения .
Если , то называется образом подмножества А при отображении . При , множество называется множеством значений отображения .
Если , то множество называется прообразом множества В.
Отображение называется:
Инъективным (инъекция, отображение в ), если для любых ;
Сюръективным (сюръекция, отображение на ), если ;
Биективным (биекция), если является инъекцией и биекцией.
Обратное отображение для биекции определяется следующим образом: если , то . В частности:
;
.
Композицией (произведением) отображений называется отображение . В частности:
;
.
-
Мощность множества.
Множества и называются эквивалентными (равномощными) (запись , , ), если существует биекция на В.
Мощностью множества (обозначение , или ) называется класс всех множеств, эквивалентных А.
Свойства:
- рефлексивность;
- симметричность;
- транзитивность.
Множество называется конечным, если существует такое , что .
Множество называется счётным, если , где - множество всех натуральных чисел, .
Множество называется несчётным если бесконечно, но не счётно.
Множество называется континуальным, если , где - множество всех действительных чисел,
Мощности множеств называются кардинальными числами.