3663
.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЛЕСОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени Г.Ф. МОРОЗОВА»
Кафедра математики
Теория игр
Методические указания к расчетно-графическим работам для студентов по направлению подготовки
38.03.01 – Экономика
Воронеж 2018
УДК 512.8
Раецкая, Е. В. Теория игр [Электронный ресурс] : методические указания к расчетно-графическим работам для студентов по направлению подготовки 38.03.01 – Экономика / Е. В. Раецкая, С.С. Веневитина, И.В. Сапронов ; М-во образования и науки РФ, ФГБОУ ВО «ВГЛТУ». – Воронеж, 2018. – 17 с.
Одобрено решением учебно-методического совета
ФГБОУ ВО «ВГЛТУ» |
(протокол № 6 |
от 23.03.2018 г.) |
Рецензент: д-р физ.-мат. наук, проф. кафедры
математического анализа ВГУ С.П. Зубова
Содержание
Введение……………………………………………………………………………..4
1.1 Графический метод решения матричной игры в смешанных
стратегиях …………………………………………………………………….…….5
2.1 Варианты индивидуальных заданий по теме «Графический метод решения матричной игры в смешанных стратегиях»………..……………...14
Библиографический список…………………………………………………….17
ВВЕДЕНИЕ
Целью изучения дисциплины «Теория игр» является воспитание достаточно высокой математической культуры, привитие навыков современных видов математического мышления, ознакомление с математическими моделями конфликтных ситуаций и методами их анализа; применению методов оптимизации, которые могут использоваться при анализе и решении широкого спектра экономических задач.
Для достижения поставленной цели решаются следующие задачи:
-закрепление теоретического материала и выработка умения решать примеры и задачи для последующего применения математических методов в различных приложениях;
-демонстрация на основе математических понятий и методов сущности научного подхода, специфики математики и ее роли как способа познания мира, общности ее понятий и представлений в решении возникающих проблем.
Для эффективного освоения дисциплины «Теория игр» у обучающегося
должны быть сформированы:
- представления о необходимости доказательств, при обосновании математических утверждений и роли аксиоматики в проведении дедуктивных рассуждений;
-понятийный аппарат по основным разделам курса математики; знаний основных теорем, формул и умения их применять; умения доказывать теоремы
инаходить нестандартные способы решения задач;
-умение моделировать реальные ситуации, исследовать построенные модели, интерпретировать полученный результат.
Студент по результатам освоения дисциплины «Теория игр» должен обладать способностью выбрать инструментальные средства для обработки данных в соответствии с поставленной задачей, проанализировать результаты расчетов и обосновать полученные выводы.
В результате освоения дисциплины студент должен уметь выбирать рациональные варианты действий в практических задачах принятия решений с использованием экономико-математических моделей и с доведением решения до практического приемлемого результата (формулы, числа, графика, качественного вывода и т.п.), уметь при решении задач выбирать необходимые вычислительные методы и средства (ПЭВМ, таблицы и справочники).
1.1ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ МАТРИЧНОЙ ИГРЫ В
СМЕШАННЫХ СТРАТЕГИЯХ
Рассмотрим игру размера 2 n с платежной матрицей
a |
a |
a |
... |
a |
|
|
P |
11 |
12 |
13 |
|
1n |
|
|
|
a |
a |
... |
a |
|
a |
|
|||||
|
21 |
22 |
23 |
|
2n |
и проведем через точку (1; 0) координатной плоскости Оху прямую перпендикулярную оси абсцисс. После этого для каждой из стратегий
( i = 1, 2, … , n ) проведем прямую (bi ) : y a1i (a2i a1i ) x ,
l ,
Bi
соединяющую точку ( 0 ; a1i ) на оси Оу с точкой ( 1 ; a2i ) на прямой l .
Ось Оу отвечает за стратегию А1 , а прямая l за стратегию А2 .
Рис. 1.1
|
|
|
|
A1 |
A2 |
|
|
|
Если игрок А применяет смешанную стратегию S |
A |
= |
|
|
, то его |
|||
|
|
p |
p |
2 |
|
|
||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
выигрыш в случае, если противник применяет чистую стратегию |
Bi , равен |
a1i p1 a2i p2 a1i (1 p2) a2i p2 ,
и этому выигрышу соответствует точка М на прямой bi |
c абсциссой |
x p2 ( рис. 2.2 ). |
|
Ломаная b1MNb3, отмеченная на чертеже ( рис. 1.2 ) жирной линией,
позволяет определить минимальный выигрыш игрока А при любом поведении игрока В. Точка N , в которой эта ломанная достигает максимума, определяет решение и цену игры. Ордината точки N равна цене игры ,
а ее абсцисса p2 – вероятности применения стратегии А1 в оптимальной смешанной стратегии игрока А .
Рис. 1.2
Далее, непосредственно по чертежу, находим пару активных стратегий игрока В , пересекающихся в точке N (если в точке N пересекается более двух стратегий, то выбираем любые две из них). Пусть это будут стратегии Bi и
B j . Поскольку выигрыш игрока А , если он придерживается оптимальной
стратегии, |
не зависит от того, с какими вероятностями игрок В применяет эти |
|||||||
стратегии, |
то неизвестные |
|
p* , p* |
|
и |
определяются из системы |
||
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
уравнений |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
p* |
a |
2i |
p* |
, |
||
|
|
1i |
1 |
|
|
2 |
|
|
|
a |
|
p* |
a |
2 j |
p* |
, |
|
|
1 j |
1 |
|
2 |
|
|||
|
|
|
p* p* |
|
1. |
|
||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
Вероятности q1* и q*2 в оптимальной стратегии
|
|
B |
... |
B ... |
B ... |
B |
||
|
|
|
1 |
|
i |
j |
n |
|
* |
|
|
|
|
||||
SB |
|
0 |
... |
q* ... |
q* ... |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
i |
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
игрока В определяются из соотношения |
|
|
|||
a |
q* a |
(1 q*) ( q* 1 q*). |
|||
1i |
i |
1 j |
i |
j |
i |
З а м е ч а н и е. Иногда точка не является пересечением двух стратегий, а попадает на одну из прямых х = 0 или х = 1. В этом случае решением игры будут соответствующие чистые стратегии.
Для игры размера m 2 решение находится аналогично. Действительно,
поскольку выигрыш игрока А одновременно является проигрышем игрока В , то для решения задачи нужно построить ломаную, соответствующую верхней границе выигрыша игрока А , а затем найти на ней точку с минимальной ординатой.
Пример. Решить графическим методом игру
1 11
с платежной матрицей Р=
5 0
Решение. Найдем – верхнюю и – нижнюю цены игры:
1 |
11 |
|
1 |
||
|
5 |
0 |
|
0 |
|
|
|
||||
|
|||||
|
5 |
11 |
|
||
max 1; 0 0 |
и min 5; 11 5. |
||||
i 1,2 |
|
|
|
j 1,2 |
|
В данном случае , то |
есть |
в |
игре отсутствует седловая точка и |
применение чистых стратегий не дает оптимального решения игры.
Платежная матрица содержит отрицательные числа, поэтому графического решения задачи перейдем к новой матрице с неотрицательными элементами; для этого к элементам исходной матрицы достаточно добавить соответствующее положительное число.
1 11
К каждому элементу исходной платежной матрицы
5 0
прибавим, например, число |
2 |
и получим новую платежную матрицу |
||
1 |
13 |
|
|
|
|
|
. |
|
|
7 |
2 |
|
|
|
|
На оси абсцисс откладываем единичный отрезок A |
A |
. Точка |
A |
|||||
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
соответствует стратегии A1 |
первого игрока, точка A2 соответствует стратегии |
||||||||
A2 |
второго игрока. В точках |
A1 |
и A2 |
проведем оси |
I и II. На |
||||
перпендикулярных осях I и II откладываем выигрыши при стратегиях A1 |
и A2 , |
||||||||
соответственно. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть первый игрок придерживается стратегии A1 . Если 2-й игрок примет |
||||||||
стратегию B1 , то она дает выигрыш |
a11 1 . Отложим по оси I отрезок длины |
||||||||
a11 1 вверх от точки A1 |
и обозначим полученную точку с координатами |
(0;1) через B11 .
|
|
|
Пусть первый игрок придерживается стратегии A2 . Если |
2-й |
игрок |
|||||||
примет стратегию |
B1 , то она дает выигрыш a21 7 . |
Отложим по |
оси II |
|||||||||
отрезок длины a21 7 вверх от точки |
A2 |
и обозначим полученную точку с |
||||||||||
координатами (1;7) через B2 . Через точки B1 (0;1) |
и |
B2 (1;7) проведем |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
прямую B1 B2 |
(рис. 1.3).Уравнение |
прямой |
B1 B2 |
имеет |
вид: |
|||||||
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
y 1 |
|
x 0 |
или |
y 6 x 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
7 1 |
|
1 0 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 1.3
Далее строим прямую, соответствующую применению вторым игроком
стратегии B2 . |
|
|
|
|
Пусть первый игрок придерживается |
стратегии |
A1 . Если |
2-й |
игрок |
примет стратегию B2 , то она дает выигрыш a12 13. Отложим по |
оси I |
|||
отрезок длины a12 13 вверх от точки A1 |
и обозначим полученную точку с |
|||
координатами (0;13) через B1 (рис. 1.4). |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
Пусть первый игрок придерживается |
стратегии |
A2 . Если 2-й игрок |
||
примет стратегию B2 , то она дает выигрыш a22 2 . Отложим по оси II |
||||
отрезок длины a22 2 вверх от точки A2 |
и обозначим полученную точку с |
|||
координатами (1;2) через B2 . Через точки |
B1 (0;13) |
и B2 (1;2) |
проведем |
|
2 |
2 |
2 |
|
|
прямую B1 |
B2 |
. Уравнение прямой |
B1 |
B2 |
имеет вид: |
y 13 |
|
x 0 |
или |
|
|
|
|
||||||||
2 |
2 |
|
2 |
2 |
|
2 13 |
|
1 0 |
||
|
|
|
|
|
|
|
y 11x 13 (рис. 1.4).
Рис. 1.4
|
S* |
A |
A |
|
|
|
|
|
Оптимальную стратегию |
|
1 |
2 |
определяет точка |
N |
с |
||
|
A |
p* |
p* |
|
|
|
||
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
координатами ( p* ; 2) в |
которой |
минимальный выигрыш достигает |
||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
максимума. Координаты точки |
N (как точки пересечения прямых B1 B2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
y 6 x 1 |
|
|
|
||
и B21 B22 ) находятся как решение системы: |
|
|
(рис. 1.5). |
|
|
|||
|
|
|
y 11x 13 |
|
|
|