LS-Sb90434

ставить строгий порядок , определяемый следующим образом: x y, ко-

гда x y и x y. Наоборот, если – строгий порядок, ему можно сопоста-

вить отношение таким образом: x y, когда x y или x = y. Поэтому ис-

пользуют термин частичный порядок, понимая под ним нестрогий порядок. Частичный порядок называют линейным, если для любых x, y выполняется одно из трех условий: x y, x = y, x y.

Строгий порядок является частным случаем отношения доминирования, которое не обладает свойством транзитивности и ацикличности.

В случае, когда объекты отношения характеризуются m показателями, отношение между ними определяется отношениями между этими m показателями. Отметим 2 вида возникающих в этом случае отношений, широко используемых при принятии решений.

Пусть xj, yj – значения j-го показателя варианта x и	y соответственно.
Отношением Парето (P) называют отношение [xPy]	( j =1, m) [xj yj]
и ( j0 {1, …, m})[xj yj]}.

Таким образом, объект x находится с объектом y в отношении Парето, если для всех пар показателей существует отношение частичного порядка и хотя бы для одной – строгого.

Пусть на множестве показателей задан линейный порядок, такой, что k1>k2>…>km, где ki – номер показателя на i-м месте порядка.

Отношением лексикографии (L) называют отношение [xLy] [xk1 yk1],

или [xk1 ~ yk1 и xk2 yk2], или … и [x y]. Следовательно, объекты находятся в

отношении лексикографии, если для первой пары показателей имеется отношение строгого порядка или для этой пары существует отношение эквивалентности и одновременно для второй пары имеется отношение строгого порядка, и т. д.

Отношения Парето и лексикографии относятся к типу бинарных отношений, получивших название координатных отношений, для сравнения по которым достаточно иметь информацию об отношениях знаков разностей одноименных показателей, или координат критериального пространства, с чем связано название отношения.

11

Важным свойством отношений Парето и лексикографии является рациональность, что обусловливает их широкое использование при принятии ра-

циональных решений.

2.2.Порядок проведения занятия

1.Определить свойства заданных преподавателем отношений.

2.Выделить из заданного множества альтернатив парето-оптимальные альтернативы.

3.Определить на заданном множестве альтернатив оптимальные по отношению лексикографии.

4.Сформулировать результаты в виде краткого резюме.

Занятие 3. ВЫЯВЛЕНИЕ ОТНОШЕНИЙ ДЛЯ ПРИНЯТИЯ УР

Цель занятия: освоить методы выявления отношений на множестве альтернатив для принятия УР.

3.1. Общие сведения

Выявление отношений на множестве альтернатив осуществляет ЛПР или привлекаемый им специалист (эксперт) на основе своего представления о полезности сравниваемых вариантов.

Будем полагать, что для любого ЛПР на множестве альтернатив A существует система предпочтений в том смысле, что ЛПР умеет сравнивать между

собой любые два элемента ai и aj из предъявленного множества. Это означает, что при сравнении двух указанных произвольных элементов для ЛПР имеет место всегда один из трех альтернативных вариантов суждения:

а) элемент ai предпочтительнее элемента aj;

б) оба предъявленных элемента одинаково предпочтительны; в) элемент aj предпочтительнее элемента ai.

Случаи «а» и «б» означают, что если многократно предъявлять эти элементы ЛПР, то его выбор среди них будет всегда однозначен (только первый в случае «а», и только второй в случае «в»).

При многократном предъявлении элементов в случае «б» ЛПР всегда отвечает, что выбор одного из этих элементов ему безразличен. Других вариантов суждения, подобных высказываниям: «я не могу ничего сказать» или «я не

12

знаю», не должно быть. При выполнении этого условия предпочтения ЛПР обладают свойством полноты. Кроме того, идеальные предпочтения ЛПР на предъявленном множестве элементов должны обладать свойством направленности (транзитивности). Это означает, что если ЛПР последовательно сравнивает три каких-то элемента попарно, т. е. первый и второй, а затем второй и третий, и при этом, например, считает, что первый предпочтительнее второго, а второй третьего, то при предъявлении ему первого и третьего элемента его вывод должен быть однозначен: «первый предпочтительнее третьего».

Рассмотрим наиболее употребительные методы выявления предпочтений. Попарное сравнение наиболее простой и достоверный способ выявления элементарных предпочтений. Результаты попарного сравнения удобно предста-

вить в виде числовой матрицы, называемой матрицей парных сравнений.

Чаще всего при попарном сравнении ограничиваются простой констатацией того, что один из элементов предпочтительнее другого. В этом случае попарное сравнение есть измерение в номинальной шкале. Иногда удается выявить степень предпочтения, и тогда используют специальные шкалы, где каждой степени предпочтения присваивается определенная оценка (измерение в порядковой шкале). Однако первый случай более удобен и прост для

ЛПР или эксперта. Чаще всего выбирают шкалу со значениями: 1	отражает
факт предпочтительности одного элемента перед вторым, а 0.5	факт равно-

ценности этих элементов по предпочтительности. Тогда элементы матрицы парных сравнений S =sijn n имеют значения 1, если aiRaj, 0.5, если ai ~ aj,

и0, если aiRaj.

Вобщем случае попарное сравнение не дает полного упорядочения вариантов, поэтому иногда, когда можно выявить степень предпочтения, используют порядковые или интервальные шкалы.

Существует достаточно большое число других способов выявления элементарных предпочтений. Каждый из известных способов выявления предпочтений одновременно является представителем способов получения информации от ЛПР или экспертов, поэтому каждый из них обладает определенными точностью, надежностью, оперативностью и др. Рассмотрим эти способы в порядке увеличения точности измерения предпочтений и сложности получения результата. По этим характеристикам способы выявления элементарных суждений о предпочтительности можно упорядочить следующим образом: сортировка, ранжирование, балльное оценивание, попарное сравне-

13

ние с градациями и выражение мнений субъективными вероятностями (для случаев принятия УР в условиях неопределенности).

Сортировка. ЛПР предъявляют исходное множество элементов, которые оно должно разделить на некоторые классы. Например, множество возможных сценариев развития конъюнктуры на рынке в будущем году отнести к классам «благоприятных» (конъюнктура улучшится), «неизменных» (такие же условия на рынке, как и в текущем году) и «неблагоприятных».

Сортировка требует от ЛПР несколько большей подготовленности, чем в случае выявления предпочтений по методу простого попарного сравнения. Она дает результаты в номинальной (классификационной) шкале.

Ранжирование способ выражения предпочтений, заключающийся в расположении предъявленных элементов в порядке возрастания (так называемое прямое ранжирование) или убывания (обратное ранжирование) их предпочтительности. Каждому элементу в упорядоченном ряду приписывают натуральное число, называемое рангом элемента. В случае строгого ранжирования не допускается указывать на равноценность элементов, следовательно, каждый элемент занимает свое отдельное место в ранжированном ряду и приобретает свой уникальный ранг. При нестрогом ранжировании несколько элементов могут занимать одинаковое место в ранжировке и получают одинаковый ранг. Такое ранжирование является измерением в порядковой шкале.

При количестве элементов, превышающем установленное психологами «магическое число Миллера» 7 2, целесообразно использовать метод парных сравнений, заполняя матрицу парных сравнений указанным ранее способом. Ранг i-го элемента определяется суммой чисел в i-й строке, т. е. элемент с максимальной суммой получает 1-й ранг, и т. д.

Существует и другой способ ранжирования, основанный на попарном сравнении, получивший название «медианный». Процедура ранжирования выполняется за ряд шагов. Вначале берут два любых элемента из множества и упорядочивают их. Затем берут третий элемент и сравнивают его с лучшим из первых двух, уже упорядоченных; если новый элемент лучше лучшего, то его «размещают» в упорядоченном ряду на первом месте; если он хуже лучшего, то его сравнивают с худшим и таким образом определяют его место. Затем берут следующий (четвертый) элемент и сравнивают его в паре с медианным элементом для построенного упорядоченного ряда из трех первых элементов, определяя «левый» или «правый» полуряд для дальнейшего уточнения места

14

четвертого элемента и т. д. Элементарные суждения в виде результатов попарного сравнения, сортировки и ранжирования выражаются всегда в качественных шкалах. Это определяет вид допустимых математических преобразований над ними, приводящих к осмысленным выводам. Промежуточную шкалу имеют балльные оценки.

Балльное оценивание заключается в том, что каждому элементу из множества предъявленных ставят в соответствие число (балл), характеризующее его меру предпочтительности перед другими. Указанные числа выбирают из специальной балльной шкалы. Оценивание в балльной шкале рекомендуется проводить тогда, когда предпочтительность элемента устанавливается по строгим правилам, не допускающим неоднозначного толкования. При этом следует иметь в виду, что чем проще, размытее правила назначения баллов, тем ближе шкала балльных оценок (по своим свойствам и допустимым преобразованиям их значений) к порядковой. И наоборот, чем правила начисления баллов строже, точнее, детальнее, тем оценки в балльной шкале ближе по своим свойствам к интервальным.

3.2.Порядок проведения занятия

1.Для предлагаемой ситуации принятия УР выделите, используя метод сортировки, основные факторы, влияющие на выбор вариантов действия.

2.Проведите ранжирование факторов различными методами.

3.Сравните полученные результаты.

4.Сформируйте выводы и рекомендации для ЛПР.

Занятие 4. ИССЛЕДОВАНИЕ МЕХАНИЗМОВ ВЫБОРА В УСЛОВИЯХ ОПРЕДЕЛЕННОСТИ

Цель занятия: изучение и выработка навыков использования различных механизмов (правил) выбора.

4.1. Общие сведения

Механизм выбора устанавливает, как из заданного множества альтернатив (вариантов, объектов) A выбирается (выделяется) его часть С. Механизмы выбора обычно задаются двумя характеристиками. Одна представляет собой структуру на множестве A и характеризует отношения на множестве альтернатив, которые могут быть заданы различным образом: непосредственно

15

отношением пар альтернатив или отображением множества A в некоторые порядковые или числовые шкалы. Вторая определяет правило , указывающее, как при предъявлении на вход процедуры выбора альтернативы a A найти С A, используя структуру .

Пусть структура задана отображением множества A в некоторую шкалу, имеющую смысл «лучше-хуже», а правило – экстремизация (для определенности – максимизация) (a) на множестве A. Такой механизм выбо-

ра называется скалярно-оптимизационным.

В случае парнодоминантного механизма выбора структура задается на множестве вариантов A бинарным отношением D, являющимся строгим или нестрогим предпочтением, а правило выбора записывается следующим образом: Y = {y A yDa , a A}, т. е. оптимальным по этому правилу признается вариант, победивший все остальные варианты, или, по крайней мере, не уступивший ни одному из них. Очевидно, правило очень жесткое и трудно реализуемое практически.

В обоих случаях структура задает для каждого варианта или для отношения пары вариантов скалярную оценку. Часто для выбора необходимо учитывать совокупность свойств вариантов, свести которую к скалярной оценке затруднительно. В этом случае структура задается в виде n > 1 отображений i(a) множества A, т. е. в виде вектор-функции (a) = ( 1(a), …, n(a)). Пра-

вило в данном случае имеет смысл векторной оптимизации функции (a), понимаемой как выделение из A множества всех вариантов, оптимальных по Парето в смысле векторного критерия . Оптимальные по Парето варианты часто называют паретовскими, парето-оптимальными или эффективными.

Последний термин характеризует тот важнейший факт, что парето-оптимальное решение будет оптимальным при любой формулировке вектор-функции (a). Реализуемый в таких условиях механизм называют векторно-оптимизационным.

Рассмотренные механизмы выбора являются классическими, на их основе порождены разнообразные «неклассические» механизмы выбора. Эти механизмы используют некоторую дополнительную информацию, позволяющую или избежать пустоты выбора, или сузить множество выбранных паретовских вариантов.

Турнирный выбор представляет собой видоизменение парнодоминантного, используя вместо одного отношения D слабого порядка двух отношений –

16

строгого порядка D1 и эквивалентности E. Если на паре вариантов a, b определе-

но отношение aD1b, то вариант a получает вес, например, 2, а вариант b – вес 0. Если aEb, то оба варианта получают вес 1. Отношения определяются на всех парах вариантов a, b A. Правило выбора : для каждого варианта определяется сумма весов и лучшим признается вариант с максимальным суммарным весом (максимальной суммой очков). Это правило предполагает изначальное равенство всех рассматриваемых вариантов, так как оценка отношения не зависит от объектов этого отношения.

Большая группа механизмов используется в случае, когда выбор осуществляется по вектор-функции (a) = ( 1(a), …, n(a)). Механизмы совокуп- но-экстремального и мажоритарного выборов исходят из предположения о равноценности для ЛПР всех компонент i(a). В первом механизме в число лучших вариантов включаются те, которые имеют лучшую оценку хотя бы по одному показателю, т. е. лучшее значение хотя бы одной компоненты i(a).

При мажоритарном выборе лучшим считается вариант, имеющий максимальное число лучших оценок.

Лексикографический механизм выбора основан на предположении о неравноценности для ЛПР составляющих вектор-функции (a) = ( 1(a), …, n(a)) и предусматривает выбор варианта по отношению лексикографии L.

Если вариантов, лучших по самому важному показателю, несколько, а требуется выбрать только один, процедура продолжается путем выделения вариантов, превосходящих остальные по следующему показателю, и так далее.

В механизме взаимных уступок вводится множество оценок i(a), имеющих смысл уступки, которую ЛПР готов сделать по этому показателю для того, чтобы ввести в рассмотрение следующий по важности показатель. Механизм выбора реализует отношение лексикографии, но на каждом шаге сравнение вариантов осуществляется с учетом уступки i.

Механизм выбора по взвешенным показателям, или выбора на основе ад-

дитивной функции полезности, предусматривает приписывание составляющим i(a) весовых коэффициентов i 0, характеризующих полезность (важность)

этих составляющих с точки зрения ЛПР. Функция выбора образуется вариантами с максимальным значением полезности, откуда и второе название метода.

17

4.2.Порядок проведения занятия

1.Применительно к предложенным ситуациям принятия УР определить адекватные механизмы выбора.

2.Провести необходимые для использования принятого механизма выбора измерительные процедуры.

3.Осуществить выбор оптимального варианта УР с использованием принятого механизма выбора и полученной в п. 2 информации.

4.Сформулировать выводы в виде рекомендаций для ЛПР.

4.3.Пример задач, предлагаемых для рассмотрения на занятиях

Фирма в которую Вы поступили на работу, предполагает переехать в новый офис. Риелтер предложил 11 вариантов решения задачи.

Таблица 4.1

Варианты		Показатели
выбора	1	2	3	4
1	4.5	4.2	8.1	5.0
2	4.8	7.7	7.6	6.0
3	9.3	9.6	8.9	6.8
4	6.6	7.5	5.6	6.8
5	9.6	9.6	9.7	6.4
6	5.1	5.3	6.2	6.5
7	5.6	5.7	5.2	4.5
8	9.6	9.9	9.1	5.8
9	4.7	5.6	6.0	5.9

В результате предварительного анализа и консультаций были определены 4 показателя для оценки вариантов. Приглашенные эксперты дали оценки значений этих показателей для каждого варианта в интервальной порядковой 10-балльной шкале (табл. 4.1).

Из Вашего резюме руководство фирмы знает, что Вы изучали современные методы принятия решений. Советом директоров Вам предлагается продемонстрировать применение этих методов для решения данной задачи и доложить результаты на заседании Совета с необходимыми пояснениями.

Занятие 5. МЕТОД АНАЛИЗА ИЕРАРХИЙ

Цель занятия: изучение метода анализа иерархий и приобретение навыков его использования для принятия УР.

18

5.1. Общие сведения

Метод анализа иерархий (МАИ) был предложен американским ученым Т. Саати. Суть метода состоит в формировании системы иерархии критериев и в агрегированном калькулировании оценок альтернатив, получаемых на различных уровнях иерархии с учетом относительной приоритетности критериев. Этот метод позволяет расчленить проблему на элементарные компоненты, что соответствует познавательной манере мышления ЛПР, и учесть влияние не только количественных, но и качественных компонентов.

В соответствии с МАИ процедура выбора состоит из нескольких этапов, на каждом из которых оцениваются некоторые отношения. В отличие от традиционного способа оценки отношений в МАИ используется специальная шкала, характеризующая степень превосходства rij объекта ai над объектом aj, при этом rij = 1/rji. При равноценности, по мнению ЛПР, объектов ai и aj

значения rij = rji = 1. В случае слабого превосходства объекта ai над объектом aj принимают rij = 3, а rji = 1/3. Если объект ai существенно важнее объекта aj, то rij = 5 и rji = 1/5, явно важнее rij = 7 и rji = 1/7, при абсолютном пре-

восходстве rij = 9 и rji = 1/9. Допускается использовать и промежуточные

(2, 4, 6, 8) значения rij и, соответственно, rji. Полученные оценки сводятся в матрицу R, для которой находится собственное значение, компоненты которого i вычисляются как корень n-й степени из произведения величин rij в строке i матрицы. Нормированные значения компонент собственного вектораi и являются оценками важности объектов.

На первом этапе задача принятия УР представляется в виде иерархической структуры с несколькими уровнями: цели – показатели (критерии) – альтернативы. На втором проводятся попарные сравнения элементов каждого уровня с учетом описанных правил оценки отношений. На третьем этапе вычисляются оценки важности элементов каждого уровня как компоненты собственного вектора соответствующей данному этапу матрицы. Наконец, на четвертом этапе вычисляется количественная оценка каждого варианта УР и определяется лучший.

Рассмотрим пример использования МАИ. Для размещения производственной площадки предприятия предложены альтернативы A = ( a1, a2, a3). Для оцен-

19

ки этих альтернатив используются три показателя – x1, x2 и x3. Оценку полезности показателей назначенные ЛПР специалисты представили в виде табл. 5.1.

Затем специалисты провели сравнение альтернатив по каждому показателю. Результаты этого сравнения представлены в табл. 5.2.

Для сравнения альтернатив по всем показателям с учетом полезности последних проведем простые вычисления:

C(a1) = 0.65 · 0.69 + 0.22 · 0.07 + 0.13 · 0.68 = 0.552;

C(a2) = 0.65 · 0.19 + 0.22 · 0.65 + 0.13 · 0.09 = 0.278;

C(a3) = 0.65 · 0.12 + 0.22 · 0.28 + 0.13 · 0.23 = 0.17.

Таблица 5.1

X	x1	x2	x3
x1	1	5	3	2.47	0.65
x2	1/5	1	3	0.85	0.22
x3	1/3	1/3	1	0.48	0.13

Таблица 5.2

По показателю x1

A	a1	a2	a3
a1	1	7	3	2.76	0.69
a2	1/7	1	3	0.75	0.19
a3	1/3	1/3	1	0.48	0.12
		По показателю x2
a1	1	1/7	1/5	0.31	0.07
a2	7	1	3	2.76	0.65
a3	5	1/3	1	1.18	0.28
		По показателю x3
a1	1	5	5	2.93	0.68
a2	1/5	1	1/5	0.34	0.09
a3	1/5	5	1	1	0.28

Оценка величины C(ai) оказалась лучше для первой альтернативы, которую и следует считать лучшей в соответствии с подходом МАИ.

Отметим один важный аспект МАИ, связанный с возможностью оценки транзитивности отношений на множестве альтернатив и, следовательно, суждения о рациональности мнений участников процедуры. Если исходить из то-

го, что степень превосходства объекта ai над объектом aj rij = 3, а степень превосходства объекта aj над объектом ak rjk = 5, то следует ожидать, что rik = rijrjk. В нашем примере rik = 15, такой количественной оценки степени превосходства в предложенной Т. Саати шкале нет, но ее смысл понятен – она характеризует абсолютное превосходство объекта ai над объектом ak.

20