lekcii toe

Глава 2. Анализ пассивных и активных кусочно- линейных цепей в области вещественной переменной t

§1. Понятие анализа цепи в t-области. Коммутация. Переходный процесс. Обобщенное уравнение динамики линейной цепи в развернутом виде

Будем изучать только такие цепи, ампер-вольтовые, ампер-кулоновые и ампервеберные характеристики которых представляют собой куски прямых:

Ψ	u	q
i	i	u

Анализом цепи в t-области называется процедура отыскания такого x(t), которое обращает уравнение (1) в тождество. Уравнение (1) при этом не подвергается никаким преобразованиям, в том числе — и независимой переменной t.

Коммутацией называется мгновенное изменение воздействий, параметров или структур цепи. В результате коммутации токи и напряжения в ветвях цепи изменяются. Эти изменяющиеся токи и напряжения называют переходными процессами.

Следовательно, анализом цепи называется процедура отыскания переходного процесса x(t), обращающего уравнение (1) в тождество.

Примеры коммутации

1.

+	R	i(t)

i1

i(t)	+	+
	C	L

t

2.

	R1	R2
	+	+
i(t)		+
	К	L

3.

	R
	+
	К
i(t)	+	+
	C	L

Уравнение (1) развернем для дальнейшего решения применительно к описанию пассивных и активных кусочно-линейных цепей (в частности, линейных). Поступим

21

следующим образом: расссмотрим достаточно общий пример, из анализа которого получим схему решения (1).

Пример. Описание динамики линейной активной цепи после коммутации.

I

+ L

+ ui(t)

2

+

iLC(t)

iu(t)

+

R

i(t)

С

u(t)

+

К

1

+

3

II

kiLC(t)

ИНУТ

Дано:

t = 0: К размыкается i(t), u(t), R, L, C, k

Найти:

решение (1) при t ≥ 0

1.До коммутации ключ был замкнут, и ИТ был замкнут накоротко. После коммутации изменились структура и воздействие.

Граф до коммутации		Граф после коммутации
			I
1		3
I, II	2	1	2	3
			II

2. Выполняем одно (n = 2, m = 3, m − n = 1) сечение в графе после коммутации: I

1

2

3

II

3. Образуем дерево, работая с I:

I

1

II

4. 2, 3 образуют ветви связи:

I

2

1

3

II

22

При присоединении третьей ветви можно образовать два контура: 23 и 13. Возьмем, например, 23. Тогда независимыми будут 12 и 23.

5.В постулате Кирхгофа для токов (ЗТК) вытекающим токам сопоставим, например, знак «−», а втекающим — «+». Если встретилось напряжение элемента с положительной полярностью, даем ему знак «+», иначе «−».

Отметим: выбор знаков совершенно произволен. Важно только следовать выбранным при решении правилам. Причина: токи и напряжения нам заранее неизвестны.

6.Запишем в виде уравнения (1) систему линейных линейно независимых уравнений Кирхгофа. Получим

i(t ) − iu (t ) − iLC (t ) = 0
− ui (t ) + Riu (t ) + u(t ) = 0
	(t ) + C −1D −1iLC	(t ) + uC (0) + kiLC	(t ) = 0
− u(t ) − Riu (t ) + LDiL

В данном случае в качестве L выступает оператор Σ (суммирования), а левая часть (вектор-функция) линейна. Для упрощения записи уравнений, введем

вектор искомых переменных	x(t ) =
вектор воздействий (источников)	f (t ) =
и перейдем к матричной форме

ui (t )iu (t )

iLC (t )

i(t )u(t )

0	− 1	1		ui (t )				− 1 0		i(t )		0
1	R	0		iu (t )			=	0	− 1		+	0
0 − R + k LD + C −1D −1 i					(t )			0 1		u(t )		u		(0)
				LC									C
Обозначим
0	− 1	1				− 1 0					0
1	R	0		= A(D),			0 − 1		= G(D) ,		0				= H	0
0 − R + k LD + C −1D −1							0 1				u		(0)
												C

В этих обозначениях
A(D)x(t ) = G(D) f (t ) + H 0 .	(2)

A(D) — матрица коэффициентов, содержание которой обусловлено выбором искомых переменных, структурой цепи, ее параметрами и содержит операторы D и D−1. Ничего другого A(D) содержать не может.

Содержание матрицы G(D) обусловлено характером обработки воздействий в цепи. H0 — матрица констант; в исследуемых линейных цепях она не может содержать ничего, кроме начальных значений напряжений на емкостях и токов в индуктивностях,

т.е. uC(0), iL(0).

Любая другая линейная цепь (активная или пассивная) имеет только лишь количественно другое описание матриц, входящий в это уравнение и не имеет никаких качественных от него отличий. Поэтому полученный результат является общим — мы получили развернутую форму (1) для линейных детерминированных цепей.

Уравнение (2) в полученном виде является интегрально-дифференциальным. Решать его неудобно. Однако, поскольку мы имеем линейное уравнение, его всегда можно привести к дифференциальному. В дальнейшем будем работать только с такими уравнениями.

Чтобы получить развернутую форму (1) в дифференциальном виде, достаточно правильно выбрать искомые переменные. А именно, взять в качестве x(t) напряжения на

23

емкостях и токи в индуктивностях. В нашем примере достаточно вместо iLC взять uC. Все процедуры до последнего пункта будут одинаковыми, кроме полученной системы:

i(t ) − iu (t ) − CDuC (t ) = 0

− ui (t ) + Riu (t ) + u(t ) = 0

u(t ) − Riu (t ) + LCD 2 uC (t ) + uC (t ) + kCDuC (t ) = 0

В матричной форме
0 − 1	CD	ui (t )				− 1 0		i(t )
− 1 R	0	iu (t )			=		0 − 1		,
0 − R LCD 2	+ kCD + 1 u		(t )				0 1	u(t )
		C
или, с учетом введенных обозначений,
A(D)x(t ) = G(D) f (t ) .									(3)

Уравнением (3) тоже описываются все линейные детерминированные цепи с сосредоточенными параметрами. (3) — дифференциальное уравнение.

§2. Решение уравнений Кирхгофа, описывающих динамику линейной цепи с точностью до постоянных интегрирования

(3) — линейное неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами, справедливое для всех линейных цепей. Решение (3) в силу его линейности единственно и выполняется при det A(D) ≠ 0 .

Характеристическое уравнение

det A(λ) = 0.

Решение состоит из двух частей:

N V

x(t ) = xобщ (t ) + xчастн(t ) = ∑∑Bnt vn eλnt + xчастн(t ), n=1 vn =0

где N — порядок (3), λn — корни характеристического уравнения, V — кратность n- го корня, Bn — постоянные интегрирования.

Частное решение, в отличие от общего, для каждого неоднородного уравнения свое и определяется методом подбора.

Поскольку общий вид решения (3) известен, то процедура его решения сводится к поиску трех компонент: xчастн(t), Bn (n = 1..N). В рамках этого параграфа мы сформируем процедуру отыскания первых двух компонент: частного решения и λn.

Процедура

1.Найти уравнение (3) по сформированной в §1 схеме решения.

2.Проверить условие существования и единственности решения:

det A(D) ≠ 0.

3.В зависимости от вида вектора f(t) подбираем вектор частных решений

xчастн(t).

4.Формируем и решаем характеристическое уравнение

det A(λ) = 0.

5. В зависимости от вида корней λn для скалярных составляющих вектора x(t), обозначаемых xl(t), l [1, L], записываем решение (3) с точностью до постоянных интегрирования.

Пример. Анализ пассивной линейной цепи с точностью до постоянных интегрирования.

24

+ L 1

iu(t)

iL (t)

+

+

uC(t)

R iR(t)

u(t)

+

С

III

2

В этой задаче

x(t ) =

Дано:

R, L, C

0, при t = 0 u(t ) =

U = const, при t ≥ 0

iu (t )

uC (t ) , f (t ) = [u(t )].

iR (t )

Выполнив шаги, изложенные в соответствующей процедуре первой главы, получим

набор линейно независимых уравнений Кирхгофа:

− i (t ) + i

+ CDu

(t ) = 0

u

R

C

− u(t ) + u

C

(t ) + LDi (t ) = 0 .

u

− uC (t ) + RiR (t ) = 0

В матричной форме

− 1 CD 1 iu (t ) 0

LD 1

0 uC (t ) = 1 [u(t )].

0 − 1 R i

R

(t ) 0

Проверим существование и единственность:

−1

CD

1

det LD

1

0 = −R − LD(CRD + 1) ≠ 0.

0

−1

R

Поскольку при t ≥ 0 u(t) = U = const, частное решение будем искать также в виде

константы:

iu

xчастн = uC = const.

i

R

После подстановки xчастн в (3) получим

x = [U R U U R]T .

частн

Запишем характеристическое уравнение:

− 1 Cλ 1

det Lλ

1

0 = −(RCLλ2 + Lλ + R).

0

− 1

R

Его корни

λ

=

− L ±

L2 − 4LCR2

.

1, 2

2LCR

Если λ1,2 — вещественные различные или комплексные сопряженные, получим

iu (t ) = B1eλ1t + B2e λ2t + U RuC (t ) = B3eλ1t + B4eλ2t + U .iR (t ) = B5e λ1t + B6e λ2t + U R

25

Если корни вещественные равные (λ1 = λ2), то V = 1 и решение имеет вид

i

( )

′

λ1t

′

te

λ1t

+ U R

t

= B e

+ B

u

1

2

′te λ1t + U .

u

C

(t ) = B

′e λ1t + B

3

4

( )

′

λ1t

′

λ1t

+ U R

iR

t

= B5 e

+ B6 te

Таким образом, поставленная нами задача решена. Осталось найти константы интегрирования Bi (или Bi′ ).

Замечание. Так как мы имеем дело с физическими объектами (ЭТ устройствами), то изучаемые понятия тесно связаны с физикой. Частное решение обусловлено внешним воздействием (источниками), и поэтому часто называется вынужденным. Общее решение соответствует режиму без вынуждения (без источников), и поэтому его называют свободным воздействием (свободной составляющей). Все решение является результатом коммутации, определяющим способ перехода от одной конфигурации к другой. Его называют переходным процессом, состоящим из вынужденной и свободной составляющих.

§3. Понятия начальных и предначальных условий. Правило коммутации в общей форме. Точное решение уравнений К., описывающих динамику линейной цепи

Начальные и предначальные условия

x(t)

0− 0 0+

Пусть в некоторый момент времени t = 0 в цепи произошла коммутация. Тогда все значения координат x(t) испытали мгновенный разрыв.

Задача заключается в том, чтобы узнать, что произошло после коммутации, зная то, что произошло до нее.

t

Введем новые понятия:

1.0− — момент времени, отличающийся от 0 на бесконечно малую и распологающийся слева от него по оси абсцисс. Этот момент называют

предначальным.

2.0+ — момент времени, отличающийся от 0 на бесконечно малую и располагающийся справа от него по оси абсцисс. Этот момент называют

начальным.

3.x(0−) — предначальные координаты (условия).

4.x(0+) — начальные координаты.

Вэтих обозначениях наша задача сводится к нахождению x(0+) по известным x(0−).

Правило коммутации

«За исключением одного особого случая, потокосцепления в индуктивностях и заряды в емкостях при коммутации непрерывны»

Математически

Ψ(0− ) = Ψ(0+ ), q(0− ) = q(0+ ).

Отсюда для линейной цепи

26

C(0+ )u

C

(0+ ) = C(0− )u

C

(0− )

u

C

(0+ ) = C(0

− )u

C

(0

− ) C(0

+ )

.

L(0

+ )i

(0+ ) = L(0

− )i

L

(0+ ) = L(0− )i

L

(0− )

i

L

L

(0− ) L(0+ )

В общем случае все другие величины вполне могут претерпевать разрыв:

u L (0− ) ≠ u L (0+ )

iC (0− ) ≠ iC (0+ ) . u R (0− ) ≠ uR (0+ )

iR (0− ) ≠ iR (0+ )

Любой элемент можно заменить зависимым источником (см. гл. 1). Заменив C- элементы на ИН, L-элементы на ИТ, мы сможем в наальный момент времени анализировать резистивную цепь с источниками. Такую цепь описывают алгебраические уравнения Кирхгофа, решать которые просто в силу их линейности. Тогда можно легко найти значения всех величин, не подчиняющихся правилу, коммутации, в момент времени t = 0+. Само правило коммутации «вытекает» из уравнений

u

(t ) =

1

t

i

(t ) dt + u

(0− )

C

C

C

C

0∫−

.

t

iL (t ) =

1

∫uL (t ) dt + iL (0− )

L

0−

Действительно, при t = 0+, C(0−) = C(0+) получим

u (0+ ) =

1

0+ i (t ) dt + u (0− ).

C

C

∫−

C

C

0

Если ток iC(t) — непрерывен (в большинстве случаев это так), то

0+

∫iC (t ) dt = 0 ,

0−

и uC (0+ ) = uC (0− ). Точно так же с iL.

Процедура отыскания переходного процесса в линейной цепи

1.По сформированной в гл. 1 процедуре составляем уравнение (3).

2.По процедуре, сформированной в предыдущем § этой главы, отыскиваем решения

(3) с точностью до постоянных интегрирования.

3.Анализируем цепь до коммутациии и находим предначальные значения напряжений на емкостях uCK (0− )и токов в емкостях iLQ (0− ).

4.По правилу коммутации находим начальные значения uCK (0+ ), iLQ (0+ ).

5.В начальный момент времени t = 0+ строим схему R-замещения цепи, в которой емкости заменены зависимыми источниками напряжения uCK (0+ ), а индуктивности

— зависимыми источниками тока iLQ (0+ ).

6.Построенную схему замещения описываем системой линейных алгебраических

линейно независимых уравнений Кирхгофа. Решаем ее и находим другие необходимые начальные условия iCK (0+ ), u LQ (0+ ), uRD (0+ )…

7.Найденные начальные условия и соответствующий им момент времени t = 0+ подставляем в решения, записанные с точностью до постоянных интегрирования. Находим постоянные интегрирования и получаем точные решения (3).

8.Найденные решения проверяем по исходному набору уравнений. Если проверка не прошла, приступаем к поиску ошибок.

Пример. Анализ линейной пассивной цепи

27

I

Дано:

+ ui(t)

+

+

R, L, I, α

i(t)

0, при t = 0

iR(t)

R

L

i(t ) = Ie −αt , при t ≥ 0

iL(t)

II

1.

Вектор искомых переменных

iR (t )

x(t ) = ui (t ) .

iL (t )

Здесь мы iR выбираем произвольно (могли бы взять и uR), ui — обязательно

(как напряжение на ИТ), iL — тоже обязательно (как ток в индуктивности).

Уравнения Кирхгофа

i(t ) − iR (t ) − iL (t ) = 0

(t ) − RiR (t ) = 0 .

− ui

(t ) = 0

− RiR (t ) + LDiL

Второе уравнение К. исключим из системы, поскольку нас сейчас не

интересует ui (его всегда можно найти через iR).

Запишем (3):

A(D)x(t ) = G(D) f (t )

− 1 − 1 i

(t )

− 1

R

=

[i(t )].

− R LD iL (t )

0

2.

− 1

− 1

= −LD − R ≠ 0 .

а) det

− R

LD

б) t ≥ 0 : f (t ) = i(t ) = Ie −αt , тогда частное решение будем искать в виде

xвын (t )

I

R

e −αt

=

−αt

.

I L e

Из уравнений К. после подстановки имеем

Ie−αt = I

R

e−αt + I

L

e−αt

− RI Re−αt + LDI Le−αt = 0

Сократив на e−αt ≠ 0 и выразив IR, IL, получим

I R

=

− αLGI

1 − αLG ,

1

G =

.

I L

=

I

R

1 − αLG

Очевидно, что решение будет существовать, если

1 − αLG ≠ 0 ,

или, что то же самое,

α ≠

1

=

R

.

LG

L

в) det A(λ)

− 1

− 1

= det

= −Lλ − R = 0

− R

Lλ

28

Отсюда λ1 = − R L = − 1 LG . Пусть λ1 ≠ α, тогда

		x(t ) = x (t ) + x (t ) = e−tR L BR (t )			+ e
		св	вын	B (t )
				L
3. До коммутации (t = 0−) имеем
			i(t ) = i(0− ) = 0 .
Отсюда i	L	(0− ) = 0 .

		IαLG
−αt		αLG −1
		I	.
		1 − αLG

4.iL (0− ) = iL (0+ ) = 0 по правилу коммутации.

5.Рассматриваем цепь в момент времени t = 0+, заменив индуктивность на управляемый ИТ:

		I
	iR(0+)		+
i(0+) = I					iL(0+) = 0
				R

II

6. Из ЗНК получаем

−i(0+ )+ iR (0+ )+ iL (0+ ) = 0 iR (0+ ) = i(0+ )− iL (0+ ) = I.

7.Определяем константы интегрирования из системы

I = i

(0+ ) =

IαLG

+ B

R

αLG −

1

R

.

I

0 = iL (0+ ) =

+ BL

1 − αLG

Решив ее, получим

BR

=

I

1 − αLG .

BL

=

− I

1 − αLG

Точное решение задачи
	(t )			I	e	−tR L	+	IαLG		e	−αt
i
				− αLG				αLG − 1
R		= 1									.
iL (t )				− I	e −tR L +			I		e	−αt
		1		− αLG				1 − αLG

Заключение. Мы решали задачу при λ1 ≠ α. Если λ1 = α, решение, полученное нами, не существует. В этом случае описание должно учитывать кратность корня. Из анализа полученного решения при λ1 ≠ α видно, что вследствие экспоненциальности входного сигнала показатель α экспоненты играет роль второго корня (кратного, быть может, корню характеристического многочлена). При λ1 = α свободная составляющая запишется в виде

B		e − Rt L		+ B	′ te − Rt L
	R		− Rt L		R	− Rt L .
BL e					′
				+ BL te

29

§4. Понятия состояния цепи, переменных и уравнений состояния. Точное решение уравнений состояния для линейной цепи

Состоянием цепи или системы называется та минимальная информация, которая необходима для того, чтобы, начиная с некоторого фиксированного момента времени, однозначно описать дальнейшее поведение цепи или системы.

Переменными состояния называются те координаты (в теории цепей токи и напряжения), которые определяют состояние цепи или системы.

Уравнениями состояния называют уравнения, составленные относительно переменных состояния.

Для описания динамики цепи минимально необходимо знание начальных координат и скоростей их изменения, т. е. первых производных. Отсюда следует, что уравнения состояния представляют собой систему уравнений записанных в нормальной форме Коши относительно этих координат.

В теории цепей токи в индуктивностях и напряжения на емкостях, во-первых, подчиняются правилу коммутации и следовательно их начальные значения легко вычислить; во-вторых, если изменения токов в индуктивностях и напряжений на емкостях известны, то относительно источников и реактивных элементов вся остальная цепь — чисто резистивная; в-третьих, первые производные от токов в индуктивностях и напряжений на емкостях имеют прямой физический смысл напряжений на индуктивностях и токов через емкости.

C

iC (t )

uC (t )

+

+

+ uL (t )

+

RLC −

+

+

+

u(t )

R − цепь

u(t )

R − цепь

iL (t )

цепь

L

u(t )

( )	( )	i(t )
i t	i t

Из сказанного вытекает, что уравнения состояния имеют вид:

Dx(t ) = Ax(t ) + Bf (t )	(4)
где x(t ) — вектор переменных состояния ( iL (t ) , uC (t ) ), f (t ) — вектор воздействий
(напряжения и токи независимых источников), A и B	— матрицы коэффициентов,

включающие в себя параметры цепи, D — оператор дифференцирования.

Очевидно, что использование переменных состояния и уравнений состояния еще раз и существенно понижает размерность решаемой задачи. Уравнения состояния минимизируют порядок решаемой задачи, сводя его строго к порядку цепи.

Процедура анализа цепи (системы) с помощью уравнений состояния.

1. В качестве искомых переменных, помимо обязательных iu (t ) и ui (t ) , необходимо назначить токи iL (t ) в индуктивностях и напряжения uC (t ) на емкостях. В ветвях, не

содержащих индуктивностей и емкостей, т. е. в резистивных, можно назначить искомыми переменными как напряжения, так и токи, поскольку в дальнейшем эти переменные будут исключены.

2.Формируем систему дифференциальных линейно независимых уравнений Кирхгофа.

3.Формируем вектор переменных состояния x(t ) в виде токов в индуктивностях и

напряжений на емкостях и преобразуем составленное уравнение к виду (4).

30