Расчет и анализ линейных электрических цепей

Если нам нужно рассчитать не только величину линейных напряжений, но и их начальные фазы, целесообразно использовать формулы, показанные на рисунке

3.4. Там же приведена векторная диаграмма фазных и линейных напряжений.

Формулы для расчета комплексных значений линейных напряжений

U	AB	U		A	U	B
U	BC	U		B	U	C
U	CA	U	C		U	А

+j

U	CA

U	C

U	A

+1

U	AB

0

U	B
UBC

Рисунок 3.4 – Расчет комплексных значений линейных напряжений при

соединении обмоток генератора звездой

3.2.2 Трехфазная цепь при соединении нагрузки треугольником

а)

UCA

EC

C

б)

A

I

A

a

U

AB

E

A

U

A

I

CA

O

ZCA ZAB

ZBC

EB

B

с

U

C

U

B

I

C

I

BC

U

BC

I

B

I A

Линейный провод

A

U

Фаза нагрузки

Ф

I AB

U Л

I

B

Z

AB

ICA

Z BC

B

I

Z CA

I BC

C

С

I	AB

b

Рисунок 3.5 – Схема при соединении нагрузки треугольником

51

При соединении нагрузки треугольником каждая фаза нагрузки включается непосредственно на линейное напряжение (рисунок 3.5), поэтому на

нагрузке фазное и линейное напряжения равны

U

Л

U

Ф . Токи же в линейных

проводах и в фазах нагрузки не равны друг другу IЛ

≠ IФ . На схеме рисунка 3.5

показаны фазные

I

AB

, I

BC

, I

CA и линейные

I

A

, I

B

,

I

C токи;

В симметричной трехфазной цепи все три фазных тока нагрузки получаются

равными по амплитуде

и сдвинутыми по фазе друг относительно друга на 120°. В

симметричной цепи связь между величинами линейного и фазного тока выражается формулой

I	Л		3I	Ф	.

Если нам нужно рассчитать не только величину линейных токов, но и их начальные фазы, для любых трехфазных цепей (симметричных или несимметричных) используют формулы, показанные на рисунке 3.6. Там же приведена векторная диаграмма фазных и линейных токов.

Формулы для расчета комплексных значений фазных токов

I	A	I	AB	I	CA
I	B	I	BC	I	AB
I	C	I	CA	I	BC

j

ICA

I A

IC

1

I AB

I B

IBC

Рисунок 3.6 – Расчет комплексных значений линейных токов при соединении нагрузки треугольником

В заключение отметим, что в схемах трехфазных цепей часто не изображают обмотки генератора, а показывают только их выходные зажимы А, В, С, к которым присоединены линейные провода и нагрузка, и зажим нулевой точки генератора

52

(если обмотки генератора соединены звездой). Именно такие изображения

трехфазных цепей приведены на рисунках 3.3 б, 3.5 б и в задании к РГЗ (к

контрольной работе).

3.2.4 Расчетные формулы и векторные диаграммы для основных схем

трехфазных цепей

Таблица 3.2 – Формулы для расчета токов и напряжений в трехфазных цепях

При соединении нагрузки звездой с нулевым проводом

Фазные (линейные) токи

I

I

U

ФГ

Ф

Л

Z

Ф

I

U

A

I

U

B

I

U

C

A

Z

B

Z

C

Z

A

B

C

Ток нулевого провода

I

N

I

A

I

B

I

C

При симметричной нагрузке

I	N	0

UФН UФГ UO O

При соединении нагрузки звездой

1) Симметричная цепь

Смещения нейтрали нет UO`O 0 Фазные (линейные) токи

I

I

U

ФГ

Ф

Л

Z

Ф

I

U

A

I

U

B

I

U

C

A

Z

B

Z

C

Z

A

B

C

2) Несимметричная цепь

Появляется смещение нейтрали

UO`O U A Y A UB Y B UC Y C

Y A Y B Y C

Фазные (линейные) токи

I

I

U

ФГ

U

O O

Ф

Л

Z

Ф

I

U

A

U

O O

I

U

B

U

O O

A

Z

B

Z

A

B

I

U

C

U

O O

C

Z

C

При соединении нагрузки треугольником

Фазные токи

I

U

ЛГ

Ф

Z

Ф

I

U

AB

I

U

BC

AB

Z

BC

Z

AB

BC

I

U

CA

CA

Z

CA

Линейные токи

I	A	I	AB	I	CA
I	B	I	BC	I	AB
I	C	I	CA	I	BC

53

Таблица 3.3 – Расчет мощностей трехфазной цепи

Симметричная трехфазная цепь

Активная мощность

P 3 P 3 U

ф

I

ф

cos

ф

3 U

л

I

л

cos

ф

,

ф

где

ф

Iф

Uф

Реактивная мощность Q 3 Q

3 U

ф

I

ф

sin

ф

3 U

л

I

л

sin

ф

ф

Полная мощность

S 3 U

ф

I

ф

3 U

л

I

л

ВА

S

P

2

Q

2

Вт

ВАр

Несимметричная трехфазная цепь

Активная мощность P P P P U

A

I

A

cos

A

U

B

I

B

cos

B

A

B

C

.

*

.

*

.

*

или

P Re(U А I А ) Re(U B I B ) Re(U C I C ) Вт

Реактивная мощность

Q Q

A

Q

Q

U

A

I

A

sin

A

U

B

I

B

sin

B

B

C

U	C	I	C	cos	Вт
				C

U	C	I	C	sin	C	ВАр

или

.	*	.	*	.	*
Q Im(U А I А ) Im(U B I B ) Im(U C I C )

ВАр

Полная мощность

S S

A

S

B

S

U

A

I

A

U

B

I

B

U

C

I

C

C

ВА

Полная комплексная мощность

S	P	2	Q	2

.	*	.	*	.	*
S U А I А U B I B U C I C

ВА

Баланс полной комплексной мощности

~	~
Sист Sпотр
~	. * . * . *	~	. *	. *	. *
Sист U А I А U B I B U C I C		или Sист U АB I АB U BC I BC U CA I CA

~	.	z		.	z		.	z
	2			2			2
Sпотр | I A |			A	| I B |		B	| I C |		C

	~	.	.	.
или	Sпотр | I AB |2		Z AB | I BC |2	Z BC | I CA |2	Z CA

54

Таблица 3.4 – Векторные диаграммы для основных схем трехфазной цепи

Схема соединения нагрузки

Звезда с нулевым проводом

Звезда

Треугольник

Порядок построения

Порядок построения векторной

Порядок построения

векторной диаграммы :

диаграммы (для несимметричного

векторной диаграммы

1) фазные напряжения

режима):

1)линейные

напряжения

1) фазные напряжения

генератора

U A

,UB

,UC

;

генератора U AB

,U BC

,UCA ;

2)

фазные

токи

нагрузки

;

генератора U A

,UB ,UC ;

2) фазные токи I A ,

I

В ,

I

С

;

I AB ,

IBC , ICA ;

3) ток нулевого провода

2) смещение нейтрали UO`O

(строится как сумма фазных 3) фазные напряжения нагрузки

3) линейные токи (как

.

разность

соответствующих

токов) I

N

I

A

I

B

I

C

U

U

U

O O

U

U

U

O O

фазных токов)

a

A

b

B

U

c

U

C

U

O O

I

A

I

AB

I

CA

,

,

;

I

B

I

BC

I

AB

4) фазные токи I A

I В

I

С

I

I

I

C

CA

BC

+1

+1

+1

U A

U A

U

a

I

A

U

U

CA

I

AB

AB

I

A

I A

I

C

0

+j

I

C

I

+j

ICA

B

+j

0`

IC

I

I

N

U

o'o

BC

U C

I

B

U B

UBC

U

c

U

b

U

C

I

B

U

B

3.2.5 Пример расчета трехфазной цепи

Таблица 3.5 – Исходные данные

Фазное напряжение

Сопротивления фаз

генератора

Фаза А (AB)

Фаза В (BC)

Фаза С (CA)

UФГ

RA

XLA

XCA

RB

XLB

XCB

RC

XLC

XCC

В

Ом

Ом

Ом

Ом

Ом

Ом

Ом

Ом

Ом

220

100

100

30

50

20

80

40

100

50

55

3.2.5.1 Расчет ТФЦ при соединении нагрузки звездой с нулевым

проводом

.

I A

R

A

X LA

X

CA

При соединении нагрузки звездой с нулевым

A

.

I

X

X

B

R

LB

CB

O

'

проводом (рисунок 3.7)

фазы нагрузки работают

B

B

.

I

XCC

C

R

X

независимо друг от друга и включены на фазные

LC

C

C

.

I

напряжения генератора:

N

O

U

220 e

j 0

B; U

220

e

j 120

B; U

220 e

j 120

B.

A

B

C

Рисунок 3.7 – Схема ТФЦ

Сопротивления фаз:

ZА = RA + j XLA – j XCA =100 + 100j –30j =100 + 70j Ом; ZB = RB + j XLB – j XCB =50 + 20j – 80j = 50 – 60j Ом;

ZC = RC + j XLC – j XCC =40 + 100j – 50j = 40 + 50j Ом.

Фазные токи равны линейным токам и определяются как

Ток нулевого провода равен сумме токов всех фаз

I		I			U	ФГ	.
	Ф		Л		Z
						Ф

I	N	I	A	I	B	I	C	.

Расчет схемы в системе Mathcad показан на рисунках 3.8 – 3.9

Исходные данные:
Uf : 220	B j :		1
RA : 100	Ом	XLA : 100 Ом			XCA : 30	Ом
RB : 50	Ом	XLB : 20 Ом			XCB : 80	Ом
RC : 100	Ом	XLC : 100 Ом			XCC : 50	Ом

Фазные напряжения генератора:
UA : Uf UB : Uf e j 120deg	UC : Uf ej 120deg
Сопротивления фаз:
ZA : RA j XLA j XCA 100 70i		Ом
ZB : RB j XLB j XCB 50 60i		Ом
ZC : RC j XLC j XCC 100 50i		Ом

Рисунок 3.8 – Расчет ТФЦ при соединении нагрузки звездой с нулевым проводом

56

Рисунок 3.9 – Расчет ТФЦ при соединении нагрузки звездой с нулевым

проводом (продолжение)

57

A

B

C

3.2.5.2 Расчет ТФЦ при соединении нагрузки треугольником

I A

IB

I	C

X	CBC

I
AB					R
			X
	X			CAB	CA
R		LAB
	AB		X
					ICA
	X LBC			LCA
IBC			RBC		XCCA

При соединении нагрузки треугольником

(рисунок 3.10) фазы нагрузки работают независимо друг от друга и включены на линейные напряжения генератора, которые по величине больше фазных напряжений в 3 раз

. РисунокE B

3.10 – Схема ТФЦ

U	Л		3U	Ф	.

Линейные напряжения генератора:

U

Л

3U

Ф

3 220 380B

U

U

U

380 e

j 30

B;

AB

A

B

U

U

U

380 e

j 90

B;

BC

B

C

U

U

U

380 e

j 150

B.

CA

C

A

Сопротивления фаз:

ZАB = RAB + j XLAB – j XCAB =100 + 100j –30j =100 + 70j Ом;

ZBC = RBC + j XLBC – j XCBC =50 + 20j – 80j = 50 – 60j Ом;

ZCA = RCA + j XLCA – j XCCA =40 + 100j – 50j = 40 + 50j Ом.

Фазные токи в нагрузке определяются как

I

U

ЛГ

.

Ф

Z

Ф

Линейные токи рассчитываются по формулам

I A I AB ICA;

IB IBC I AB ;

IC ICA IBC .

Расчет схемы в системе Mathcad показан на рисунках 3.11 – 3.12

58

Рисунок 3.11 – Расчет ТФЦ при соединении нагрузки треугольником

59

Рисунок 3.12 – Расчет ТФЦ при соединении нагрузки треугольником

(продолжение)

60