Методическое пособие 340

выше свойствами, говорят, что она составлена правильно и ее можно в дальнейшем использовать.

5.2.1. Расчет оценок коэффициентов линейной математической модели

Экспериментальное исследование позволяет получить не истинные значения коэффициентов уравнения регрессии, а только их оценки, которые обозначаются bi и определяются по формуле

N

bi = ∑j=1хij уj . (5.8)

N

В результате того, что используются кодированные значения факторов, расчет оценок коэффициентов математической модели превращается в простую арифметическую процедуру. Пусть, например, необходимо определить оценки коэффициентов линейной математической модели вида

у=bо+b1х1 +b2 х2 .

Для того чтобы все коэффициенты этого уравнения вычислялись по единой формуле (5.8), в матрицу планирования эксперимента дополнительно вводится так называемая «фиктивная» переменная х0, которая во всех опытах принимает одно и то же кодированное значение «+1». Тогда можно записать:

у =b0 x0 +b1х1 +b2 х2 .

Вычисление оценок коэффициентов b0, b1, b2 (в соответствии с планом и матрицей, представленными в табл. 5.1) производится следующим образом:

b	=	(+1) y1 +(+1) y2 +(+1) y3 +(+1) y4	,
0		4

	b	=	(−1) y1 +(+1) y2 +(−1) y3 +(+1) y4		,		(5.9)
			4
	1
	b	=		(−1) y1 +(−1) y2 +(+1) y3 +(+1) y4		.
	2		4

Следует иметь в виду, что величина коэффициентов при независимых переменных в уравнении регрессии указывает на силу влияния изучаемых факторов: чем больше численное значение коэффициента, тем сильнее влияние данного фактора на функцию отклика. Если коэффициент имеет знак «+», то это значит, что с увеличением значения фактора выходная величина (отклик) возрастает, а если знак «-» - уменьшается.

Таким образом, можно сделать вывод о том, что значение коэффициента соответствует вкладу данного фактора в величину выходного параметра (отклика) при переходе этого фактора с нулевого уровня на верхний или нижний.

41

Бывает так, что эффект одного фактора зависит от уровня, на котором находится другой фактор; в этом случае говорят, что имеет место взаимодействие факторов. Полный факторный эксперимент позволяет оценить и этот эффект. Для этого необходимо, пользуясь правилом перемножения столбцов, получить новый столбец, являющийся их произведением. При вычислении коэффициента, соответствующего эффекту взаимодействия, с новым векто- ром-столбцом поступают так же, как с вектором-столбцом любого другого фактора. В этом случае матрица планирования полного факторного эксперимента 22 , например, будет иметь вид, представленный в табл. 5.3, а уравнение регрессии запишется следующим образом:

			у =b0 x0 +b1х1 +b2 х2 +b12 x1x2.				(5.10)
							Таблица 5.3
	Матрица планирования 22 с эффектом взаимодействия
Номер				План эксперимента			Отклик,
опыта		х0				х1 х2	y j
				х1	х2
1		+1		-1	-1	+1	y1
2		+1		+1	-1	-1	y2
3		+1		-1	+1	-1	y3
4		+1		+1	+1	+1	y4

Оценка коэффициента b12, отражающего силу взаимодействия факто-

ров х1 и х2, вычисляется обычным,			ранее показанным способом:
b	=	(+1)	y1 +(−1) y2 +(−1) y3 +(+1) y4	.	(5.11)
			4
12

Таким образом, столбцы х1 и х2 задают план эксперимента (в данном случае 22), и по ним реализуют условия выполнения опытов, а столбцы хо и х1х2 служат только для проведения расчетов с целью получения оценок соответствующих коэффициентов уравнения регрессии.

Необходимо отметить, что с увеличением количества изучаемых факторов число возможных взаимодействий быстро растет. Рассмотрим это на примере полного факторного эксперимента 23. Матрица планирования эксперимента 23 с учетом всех взаимодействий приведена в табл.5.4.

Как видим, вектор-столбец х1х2х3 определяется перемножением трех столбцов: х1, х2, х3, и он называется эффектом взаимодействия второго порядка, в отличие от эффектов взаимодействия первого порядка, таких как х1х2, х1х3 и х2х3. В литературе по планированию эксперимента применяются и другие термины по обозначению взаимодействия факторов, например, парные эффекты – это х1х2, х1х3 , х2 х3, … ; тройные - это х1х2х3, и т.д. Примеча-

42

тельным является то, что полное число всех возможных коэффициентов уравнения регрессии, включая свободный член b0 , линейные эффекты и эффекты взаимодействия всех порядков, равно числу опытов полного факторного эксперимента - N.

Ранее рассмотренное свойство ортогональности матрицы планирования экспериментов является важнейшим, потому что оно позволяет получать независимые друг от друга оценки коэффициентов уравнения регрессии. Это означает, что значение любого из коэффициентов не зависит от того, какие значения принимают другие коэффициенты. Однако это утверждение справедливо лишь в том случае, если математическая модель включает в себя только линейные эффекты и эффекты взаимодействия, то есть если уравнение регрессии представлено линейной моделью.

																							Таблица 5.4
	Матрица планирования 23 с эффектами взаимодействия
							План																	Отклик,
Номер	хо		эксперимента								х1 х2			х1 х3				х2 х3				х1 х2 х3		y j
опыта			х1				х2		х3
1	+1		-1				-1		-1		+1				+1				+1			-1		y1
2	+1		+1				-1		-1		-1					-1			+1			+1		y2
3	+1		-1				+1		-1		-1				+1				-1			+1		y3
4	+1		+1				+1		-1		+1					-1			-1			-1		y4
5	+1		-1				-1		+1		+1					-1			-1			+1		y5
6	+1		+1				-1		+1		-1				+1				-1			-1		y6
7	+1		-1				+1		+1		-1					-1			+1			-1		y7
8	+1		+1				+1		+1		+1				+1				+1			+1		y8
Для квадратичных членов уравнения регрессии, например, вида
		у =b		0	x	0	+b х +b х			2	+b	x x			2	+b	x2		+b	x		2 ,	(5.12)
							1	1	2		12	1				11	1		22			2
это далеко не так. Построение векторов-столбцов для x2																				и x2 в матрице пла-
																			1			2

нирования эксперимента приводит к появлению таких столбцов, которые совпадают друг с другом, то есть получается, что эти столбцы становятся неразличимыми. Поэтому нельзя определенно сказать, за счет чего получена оценка значения, например, свободного члена b0, которая называется смешанной: она включает в себя и значение свободного члена, и «вклады» от квадратичных членов уравнения регрессии, то есть имеет место:

43

k

bo →βo + ∑= βii , (5.13)

i 1

где β0 – неизвестное истинное значение свободного члена b0;

βii – неизвестные истинные значения квадратичных коэффициентов. Оценки всех других коэффициентов уравнения регрессии (кроме b0) в

квадратичной математической модели остаются несмешанными и рассчитываются обычным образом (5.8).

5.3. Предпосылки появления планов дробного факторного эксперимента и их построение

Полный факторный эксперимент (ПФЭ) имеет существенный недостаток, связанный с быстротой роста числа опытов при увеличении количества изучаемых факторов. Например, если число факторов равно 6, то необходимо выполнить 64 опыта, а если изучается влияние 10 факторов, то – 1024 опыта, что выполнить уже практически нереально.

Кроме того, постановка ПФЭ 2k, то есть получение линейной модели, не позволяет ввести в рассмотрение коэффициенты уравнения регрессии при

квадратичных членах хi2 , в то время как трудно представить такую ситуа-

цию, когда они были бы несущественны; а в то же время большую роль играли бы взаимодействия парные, тройные и более высокого порядка. Таким образом, можно сказать, что полный факторный эксперимент 2k, как правило, является избыточным по числу поставленных опытов. Поэтому в случае выбора линейной математической модели для описания изучаемого процесса или явления возникает задача сокращения числа опытов. При этом является очевидным, что основные свойства матрицы планирования экспериментов должны быть обязательно сохранены.

Для уменьшения числа опытов применяются планы так называемого дробного факторного эксперимента. Для этого существуют вполне определенные веские основания.

Если обратиться, например, к задаче с тремя переменными - факторами х1, х2, х3, в которой линейные эффекты отражаются коэффициентами bo, b1, b2, b3, то для их определения необходимо выполнить всего четыре опыта, следовательно, достаточно поставить ПФЭ только для двух переменных, например, х1 и х2, то есть использовать планирование 22. Но поскольку в каждом опыте необходимо задавать еще и уровни третьего фактора х3, то их можно получить, связав х3 с х1 и х2 некоторым соотношением, например, таким: х3 = х1. х2 . При этом получается матрица планирования для трех факторов, которая полностью совпадает с матрицей планирования 22 (табл. 5.3), но является видоизмененной, так как в ней столбец х1. х2 выражает уровни третьего фактора. Эта матрица представлена в табл. 5.5.

44

Планирование по такой матрице называется планированием дробного факторного эксперимента (ДФЭ) типа 23-1, что означает, что в ее основе лежит полный факторный эксперимент для 3 – 1 = 2 переменных (факторов).

Таким образом, поставив 4 опыта для оценки влияния трех факторов, мы воспользовались половиной полного факторного эксперимента 23 или по-

лурепликой.

Таблица 5.5

Видоизмененная матрица планирования эксперимента 22 (полуреплика от ПФЭ 22)

Номер	х0			План эксперимента				Отклик,
опыта								y j
			х1		х2		х3
							(х1х2)
1	+1		-1		-1		+1	y1
2	+1		+1		-1		-1	y2
3	+1		-1		+1		-1	y3
4	+1		+1		+1		+1	y4

Планирование 23-1 можно осуществить еще иначе – спланировать ПФЭ 22 для двух переменных х1, х2, положив х3 = - х1.х2. Таким образом, можно

сделать вывод о том, что для данного случая существует две полуреплики

23-1 (табл. 5.6).

Таблица 5.6

Две полуреплики 23-1

		х3 = х1. х2							х3 = - х1.х2
Номер	х1		х2		х3	х1 х2х3	Номер	х1		х2		х3	х1 х2х3
опыта							опыта
1	+1		+1		+1	+1	1	+1		+1		-1	-1
2	-1		-1		+1	+1	2	-1		-1		-1	-1
3	+1		-1		-1	+1	3	+1		-1		+1	-1
4	-1		+1		-1	+1	4	-1		+1		+1	-1

45

Для произведения трех столбцов первой полуреплики выполняется соотношение х1 х2х3 = +1, а второй х1 х2х3 = -1. Как видим, все знаки столбцов произведений одинаковы между собой и равны или «+1», или «-1».

Символическое обозначение произведения столбцов, равное «+1» или «-1», называется определяющим контрастом, который дает возможность оценить смешанные эффекты.

Для того чтобы определить, какие коэффициенты смешанные, удобно пользоваться следующим приемом: надо обе части соотношения, например, х3 = х1х2, умножить на х3, тогда имеем

х2	= х х	2	х ,	(5.14)
3	1		3

где х1 х2х3 – определяющий контраст.

Если определяющий контраст по очереди умножить сначала на х1, затем на х2 и х3, получим х1 = х12 х2 х3 = х2 х3 , так как всегда х12 равен 1. Ана-

логично имеем х2 = х1х3; а х3 = х1х2.

При использовании дробного факторного эксперимента необходимо иметь четкое представление о так называемой разрешающей способности дробной реплики, то есть надо заранее определить, какие коэффициенты вероятней всего будут несмешанными оценками, и подобрать (в зависимости от поставленной задачи) такую дробную реплику, с помощью которой можно извлечь максимальную информацию.

При постановке ДФЭ необходимо иметь в виду, что часть информации об исследуемом процессе может теряться. В частности, сокращение числа опытов приводит к получению смешанных оценок. Это связано с тем, что замена, например, х1 х2 на х3, исходит из постулата о том, что в уравнении регрессии это парное взаимодействие равно «0» или очень мало. В соответствии с этим следует назначать так называемые генерирующие соотношения. Практика показывает, что обычно генерирующими соотношениями выше второго порядка можно пренебречь.

Принято для обозначения дробных реплик применять выражение, которое в общем виде записывается как 2k-p, где р – число линейных эффектов, приравненных к эффектам взаимодействия. Так, полуреплика от 23 запишется в виде 23-1, а реплика с большей степенью дробности, например, четвертьреплика от 25 запишется как 25-2 и т.д.

В табл. 5.7 приведены условные обозначения дробных реплик и количество опытов, им соответствующих.

Число опытов N в дробной реплике должно удовлетворять неравенству

k +1≤ N 2k ,

(5.15)

где k – число факторов.

46

Таблица 5.7

Условные обозначения дробных реплик и число опытов, им соответствующих

Число	Дробная	Условное	Число опытов	Число опытов
факторов	реплика	обозначение	для ДФЭ	для ПФЭ
3	1/2 от 22	23-1	4	8
4	1/2 от 24	24-1	8	16
5	1/4 от 25	25-2	8	32
6	1/8 от 26	26-3	8	64
7	1/16 от 27	27-4	8	128
5	1/2 от 25	25-1	16	32
6	1/4 от 26	26-2	16	64
7	1/8 от 27	27-3	16	128
8	1/16 от 28	28-4	16	256
9	1/32 от 29	29-5	16	512
10	1/64 от 210	210-3	16	1024
11	1/128 от 211	211-7	16	2048
12	1/256 от 212	212-8	16	4096
13	1/512 от 213	213-9	16	8192
14	1/1024 от 214	214-10	16	16384
15	1/2048 от 215	215-11	16	32768

Если число опытов N равно k + 1, то есть числу определяемых коэффициентов в линейном уравнении регрессии, то дробная реплика представляет собой насыщенный линейный ортогональный план.

47

5.4. Понятие о критериях оптимальности планов эксперимента

5.4.1. Общие представления

Одну и ту же задачу, как правило, можно решить по-разному, используя различные планы эксперимента, осуществляя тот или иной выбор строк матрицы планирования, числа опытов и последовательность их проведения. Это предопределяет различные оценки коэффициентов математической модели, что означает различную точность их определения. Поэтому экспериментатор должен использовать именно такое планирование эксперимента, которое будет отличаться наибольшей эффективностью. Для сравнения различных планов пользуются количественными характеристиками, которые на-

зываются критериями оптимальности.

Первые шаги в этом направлении были сделаны математиками еще в начале 50-х годов ХХ века, когда были обоснованы такие важнейшие свойства матрицы планирования экспериментов, как ортогональность и ротатабельность. Впоследствии (1959 г.) американский ученый Д. Кифер, занимаясь проблемой получения совместно-эффективных оценок, разработал основы теории оптимальности планов. Так как эта теория носила более абстрактный, чем практический характер, она не нашла широкого применения. И только позже отечественным ученым В.В. Налимову(1966 г.), а затем В.В. Федорову (1969 г.) удалось приспособить эту теорию к решению практических задач.

Выбирая тот или иной план эксперимента, руководствуются двумя основными соображениями: либо точностью определения коэффициентов математической модели, либо точностью предсказания функции отклика. В соответствии с этим было создано два множества критериев оптимальности планов эксперимента, которые определяются различными, но эквивалентными способами, в частности алгебраическим и геометрическим.

При алгебраическом способе определения критерия оптимальности используется так называемая матрица дисперсий – ковариаций (матрица называется ковариационной, если она обратна по отношению к известной информационной матрице - матрице Фишера) или элементы этой матрицы, к кото-

рым относятся дисперсии оценок коэффициентов уравнения регрессии – это элементы главной диагонали матрицы планирования (вне главной диагонали находятся ковариации – оценки взаимных влияний коэффициентов уравнения регрессии).

При геометрическом способе определения критериев оптимальности используется геометрическая фигура – эллипсоид рассеяния оценок параметров (для двух параметров это эллипс), центр которого совпадает с истинным вектором параметров или с истинными значениями коэффициентов.

48

5.4.2. D- оптимальность планов эксперимента

Среди критериев оптимальности планов особое место занимает критерий D-оптимальности, в основе которого лежит требование минимизации определителя матрицы дисперсий – ковариаций (D-оптимальность названа по первой букве слова determinant – определитель). Это эквивалентно требованию минимизации совместной дисперсии оценок коэффициентов функции отклика, рассматриваемых как единое целое, то есть как вектор.

Дисперсию вектора коэффициентов уравнения регрессии принято называть обобщенной дисперсией, которая задается определителем матрицы дисперсий – ковариаций. Проще говоря, обобщенная дисперсия представляет собой произведение дисперсий коэффициентов математической модели, хотя в общем случае на величину определителя влияют и ковариации – внедиагональные элементы матрицы. Чем меньше определитель, тем меньше обобщенная дисперсия. В этом случае точность определения коэффициентов «приносится в жертву» совокупной точности вектора оценок коэффициентов, мерой которой является определитель матрицы дисперсий – ковариаций.

5.4.3. Критерии оптимальности планов, используемые для предсказания свойств математической модели

Существует группа критериев оптимальности планов, которая связана с предсказательными свойствами математической модели. В этом случае центральную роль играет ошибка предсказания. Здесь рекомендуется воспользоваться G-оптимальным критерием, когда минимизируется максимальная дисперсия оценки поверхности отклика. Тогда в области планирования не окажется точек, в которых точность оценки поверхности отклика будет невысокой.

Так называемый Q-критерий оптимизации минимизирует среднюю дисперсию предсказания математической модели.

Критерий ротатабельности связан с требованием постоянства дисперсии предсказания на некоторых равноудаленных от центра эксперимента расстояниях. Это означает, что в этом случае оценки дисперсии предсказания независимы относительно вращения координатных осей факторного пространства и дисперсия предсказания также не будет зависеть от того, в каком направлении осуществляется движение из начала координат (она будет зависеть только от расстояния между интересующей нас точкой и началом координат).

Требование униформности (используется как дополнение к требованию постоянства дисперсии в соответствии с критерием ротатабельности) позволяет еще уточнить, чтобы и в некоторой окрестности вокруг центра

49

эксперимента дисперсия предсказания также оставалась приблизительно постоянной.

Существуют и другие критерии оптимальности планов, использование которых предназначено, например, для сокращения числа опытов. Здесь речь идет о близости плана эксперимента к так называемому насыщенному линейному плану, где число опытов N = k + 1, где k – число факторов. При этом обычно удается выбрать такой план, который соответствует и дополнитель-

ному критерию, чаще всего – критерию ортогональности.

Помимо свойства ортогональности простота вычислений при определении коэффициентов математической модели обеспечивается такими свой-

ствами плана, как симметричность и равноповторность (одно и то же число повторений для каждого опыта в плане эксперимента).

Если речь идет о введении новых факторов, новых уровней или же об увеличении числа опытов по причине усложнения вида математической модели в связи с ее неадекватностью, то здесь важным свойством плана является его композиционность, позволяющая, например, перейти от дробной реплики к полному факторному эксперименту.

Исключение влияния неоднородностей, под которыми понимается изменение свойств сырьевых материалов во времени или от действия внешней среды, достигается таким приемом, как «разбиение» плана на блоки, либо выбором плана, устойчивого к «дрейфу».

Подводя итог вышесказанному, необходимо отметить, что, несмотря на то, что между определенными критериями оптимальности существует некоторая связь и что эти критерии могут быть эквивалентными, лишь очень немногие планы являются оптимальными в широком смысле этого слова, то есть одновременно удовлетворяющими многим критериям оптимальности. Часто критерии оптимальности противоречат друг другу и поиск компромиссных планов является довольно сложной задачей.

В теории математического планирования эксперимента принято считать наиболее удачными в этом аспекте планы полного факторного эксперимента 2k, которые оптимальны по многим критериям, в частности, они и ортогональны, и ротатабельны.

5.5.Планы второго порядка

5.5.1.Назначение планов второго порядка, их классификация

Планы второго порядка предназначены для получения математической модели в виде полинома второй степени, то есть полного квадратичного полинома вида

y =b	+ ∑N b x	+ N∑−1 ∑N b x	+ ∑N b x2.	(5.16)
o	i=1 i i	i=1 j=i+1 ij ij	i=1 ii i

50