Учебное пособие 1699

D : x2 9 + y2 25 ≤1;

6.3.y ≥ 0;

μ = x2 y.

D : 1 ≤ x2 9 + y2 4 ≤ 4;

6.5.y ≥ 0, y ≤ x 2; μ = 8 y x3 .

6.7.D : x2 4 + y2 ≤1;

μ= 4 y4 .

D : x2 9 + y2 25 ≤1;

6.4.y ≥ 0;

μ = 7x2 y 18.

D : x2 9 + y2 ≤1;

6.6.x ≥ 0;

μ = 7xy6 .

D : 1 ≤ x2 4 + y2 9 ≤ 4;

6.8.x ≥ 0, y ≤ 3x 2;

μ = x y.

D : 1 ≤ x2 16 + y2 4 ≤ 4;

6.9.x ≥ 0, y ≤ x 2;

μ = x y.

D : x2 4 + y2 ≤1;

6.11.x ≥ 0, y ≥ 0; μ = 6x3 y3.

6.13.	D : x2	9 + y2	4 ≤1;
	μ = x2 y2 .

D : x2 4 + y2 ≤1;

6.15.x ≥ 0, y ≥ 0; μ = 30x3 y7 .

D : x2 + y2 25 ≤1;

6.17.y ≥ 0;

μ = 7x4 y.

D : x2 4 + y2 9 ≤1;

6.10.x ≥ 0, y ≥ 0;

μ = x3 y.

D : 1 ≤ x2 4 + y2 ≤ 25;

6.12.x ≥ 0, y ≤ x 2;

μ = x y3 .

D : x2 16 + y2 ≤1;

6.14.x ≥ 0, y ≥ 0;

μ = 5xy7 .

D : 1 ≤ x2 9 + y2 4 ≤ 3;

6.16.y ≥ 0, y ≤ 23 x;

μ = y x.

6.18. x + y = 2,	x = y,
z =12x 5,	z = 0.

201

6.19.	D :	x2	4 + y2 9 ≤1;
		μ = x2 .
	D :	x2	9 + y2 ≤1;

6.21.x ≥ 0;

μ =11xy8 .

D : 1 ≤ x2 + y2 16 ≤ 9;

6.20.y ≥ 0, y ≤ 4x;

μ = y x3 .

	6.22.	x2	+ y2	= 2, x = y, x = 0,
		z = 0,		z = 30 y.

		D : 1 ≤ x2 9 + y2 4 ≤ 5;		D : x2 4 + y2 9 ≤1;
	6.23.	x ≥ 0,	y ≤ 2x 3;	6.24.	x ≥ 0,	y ≥ 0;
		μ = x y.			μ = x5 y.
		D : x2 4 + y2 25 ≤1;		D : x2 + y2		4 ≤1;
	6.25.			6.26.	x ≥ 0,	y ≥ 0;
		μ = x4 .
					μ =15x5 y3.
		D : 1 ≤ x2	4 + y2 9 ≤ 36;		= 5 y	2, x = 5y 6,
	6.27.	x ≥ 0,	y ≥ 3 x;	x
				6.28.		5
			2	z = 0, z = 6 (3 + y ).
		μ = 9 x y3 .
		D : x2 16 + y2 ≤1;		D : 1 ≤ x2 9 + y2 16 ≤ 2;
	6.29.	x ≥ 0,	y ≥ 0;	6.30.	y ≥ 0,	y ≤ 4 x;
		μ =105x3 y9 .				3
					μ = 27 y x5 .

D : 1 ≤ x2 16 + y2 ≤ 3;

6.31.x ≥ 0, y ≥ x 4;

μ = x y5 .

202

4.1. Задачи по разделу теория поля

Задача 1. Найти производную скалярного поля u(x, y, z) в

точке M по направлению нормали к поверхности S , образующей острый угол с положительным направлением оси

Oz .

1.1. u = 4 ln

(3 + x2

)− 8xyz,

S : x2

− 2 y2 + 2 z2

= 1,

M (1, 1, 1).

1.2. u = x

y + y

z,

S :

4z + 2x2 − y2 = 0,

M (2, 4, 4).

1.3. u = −2ln (x2 −5)− 4xyz,

S : x2 + 2 y2 − 2z2

=1,

M (1, 1, 1).

1.4. u =

1

x

2

y −

x

2

+5z

2

S : z

2

= x

2

+ 4 y

2

M

1

,

− 4,

−2,

, 1 .

4

2

1.5. u = xz2 −

x3 y,

S : x2 − y2 −3z +12 = 0,

M (2, 2, 4).

1.6. u = x

y − yz2 ,

S : x2 + y2

= 4z,

M (2, 1, -1).

1.7. u =7ln(1 13+ x2 )−4xyz, S : 7x2 −4y2 +4z2 =7,

M (1, 1, 1).

1.8. u = arctg(y x)−8xyz,

S : x2 + y2 −2z2 =10,

M (2, 2, -1).

1.9. u = ln

(

)

M (1, -2, 4).

1 + x2

− xy

z ,

S : 4x2 − y2 + z2

=16,

1.10. u =

x2 + y2

− z,

S : x2 + y2 = 24z,

M (3, 4, 1).

1.11. u = x

y −(z + y)

x,

S : x2 − y2 + z2 = 4,

M (1, 1, -2).

1.12. u =

xy −

4 − z2 ,

S : z = x2 − y2 ,

M (1, 1, 0).

1.13. u = (x2 + y2 + z2 )3 2 , S : 2x2 − y2 + z2 −1 = 0,

M (0, -3, 4).

(

)

M(3, 0, -4).

1.14. u =ln 1+x2 +y2

−

x2

+z2 , S: x2 −6x+9y2 +z2 =4z+4,

Найти производную скалярного поля u(x, y, z) в точке M по направлению вектора l .

203

1.15.

u = (x2 + y2 + z2 )3 2 ,

1.16.

u = x + ln (z2 + y2 ),

l = i − j +k,

l = −2i + j −k,

M (1, 1, 1).

M (2, 1, 1).

)

u = x2 y −

xy + z2 ,

(

1.18.

u = y ln 1+ x2

−arctg z,

1.17. l = 2j − 2k,

l = 2i −3j −2k,

M (1, 5, -2).

M (0, 1, 1).

u = x(ln y −arctg z),

u = ln (3 − x2 )+ xy2 z,

1.19. l = 8i + 4j +8k,

1.20. l = −i + 2j − 2k,

M (−2, 1, -1).

M (1, 3, 2).

u = sin (x + 2 y)+ xyz,

u = x2 y2 z −ln (z −1),

1.21. l = 4i +3j,

1.22. l = 5i −6j + 2

5k,

M (π 2, 3π 2, 3).

M (1, 1, 2).

u =

x

−

yz

,

u = x3 + y2 + z2 ,

y

x +

y

1.23. l = j −k,

1.24. l = 2i +k,

M (1, -3, 4).

M (4, 1, -2).

u = xy +

9 − z2 ,

u = 2

x + y + y arctg z,

1.25. l = −2i + 2j −k,

1.26. l = 4i −3k,

M (1, 1, 0).

M (3, 2, -1).

1.27.

u = z2 + 2arctg (x − y),

1.28.

u = ln (x2 + y2 )+ xyz,

l = i + 2j − 2k,

l = i − j +5k,

M (1, 2, -1).

M (1, -1, 2).

204

u = xy −	x		u = ln (x + y2 + z2 ),
		,
	z
1.29. l = 5i + j −k,			1.30. l = −2i − j +k,
M (−4, 3, -1).			M (1, -3, 4).

u= x2 −arctg (y + z),

1.31.l = 3j − 4k,

M (2, 1, 1).

205

Задача 2. Найти угол между градиентами скалярных полей
u(x, y , z)											и υ								(x,						y,					z)в точке М .
2.1. υ =			x3						+ 6 y								3									6z						3					u										yz2														M															1														1
																			+3															,					=																,											2,															,																.
		2																																														x		2																										2																	3
2.2. υ =		4								6			−									6			+		3									u			= x										2	yz						3								M												1								3
																																,																										,										2,												,																	.
								x											9 y									z																																																3								2
2.3. υ = 9													3									y3										4z3																							z		3													1														3
									2x						−											−											,					u						=														,			M										, 2,																				.
																			2						2									3																			xy2																	3														2
		3											4											1																									z																																			1
2.4. υ =								+									−												,					u =																							,						M 1, 2,																															.
					x								y											6z																				x				3		y				2																														6
2.5. υ =			x3													3														3																x2																														1										1
									+ 6 y										+3						6z								,			u			=															,				M 2,																						,															.
		2																																											yz					2																										2								3
2.6. υ = 3												2								y2																3																			z		2													1														2
									2x						−										+3									2z				,					u =																		,				M										,	2,																	.
																						2																																xy2																3														3
2.7. υ = 6									6x			3			−6 6 y											3			+ 2z						3							u						=				xz					2							M						1											1
																																					,																							,																	,											, 1 .
																																																							y															6													6
2.8. υ =							6			−							6					+			2									u =							yz							2									M							1												1								1
																													,																					,																	,													,																	.
				2x											2 y										3z																			x																				2												2
																																																																																											3
2.9. υ = 3									2x			2			−					y2					−3								2z		2							u						=					xy2												M			1																2
																																						,																						,													,			2,																	.
																						2																																	z2													3																3
							3								4										1																						x3 y2																																					1
2.10. υ	=									+									−													,				u			=																			,							M 1,											2,																					.
							x								y										6z																									z																																		6

206

2.11.υ = − 4 x2 +

2.12.υ = 6x + 2y −

2		1			1
	+		, u =				, M	2,
9 y		3z		x	2	yz

	3	3			x	2
			,	u =			, M	2,
	2	2z			y2 z3

1		1
	,				.
3		6
		3
2,					.
		2

						2																	2										2																																		1											1
2.13. υ = x								+							9 y											+ 6z								,				u = xyz,																		M 1,														,												.
																																																																			3											6
			2											3														6														y3																		2										3								1
2.14. υ =							+															−									,				u		=												,						M									,												,						.
			x										2 y													4z																x2 z																		3										2								2
2.15. υ = 2x										2										3y2																2																			2														2									1
														−													−			6			2z					,				u = xy														z,		M 1,																,								.
																							2																																														3									6
2.16. υ = −							6																6							2														x														1									1												1
														+												−							, u					=											,						M							,												,								.
						2x														2 y									3z													yz				2												2									2
																																																																																3
			6								2												3 3																		y2 z3																																					3
2.17. υ =						+												+														,			u =															,						M				2,									2,													.
			x									y									2						2z															x2																																				2
2.18. υ =			1												2 2														3 3															y2 z3																1																		3
											−															−								,			u =																,			M									,					2,												.
				2x																	y									2z																	x													2																		2
2.19. υ = 6												3																	3						3														y											1														1
						6x									−6										6 y					+			2z			,			u =															,		M												,											, ?			.
																																															xz				2													6										6
				2														2										2											yz				2															1									1												1
2.20. υ = x							− y														−3z									,			u =													,					M									,													,									.
																																									x																	2																				3
																																																																			2
2.21. υ =			3x2								−								y2						+						2z			2					u =										z2									M						2														2
																																			,																					,											,			2,												.
						2															2																									x			2 y2															3														3

207

2.22. υ =		x	3					y			3						8z		3								x	2
					−									−						,			u =									,				M			2,					2,
			2								2							3									y2 z3
	3			2										2							2								2				3											1
2.23. υ =			x			+			3y							−		2z				,			u	= x					yz			,				M		2,						,
	2																																											3
2.24. υ =							3							y3							4z3										xy2									1
	9		2x						−									−							,		u =									,		M					,	2,
												2				2							3									z3								3
2.25. υ =					2					3y2														2								1												2
		2x					−									−		6			2z				,		u =										,		M 1,								,
												2																			xy		2		z									3

3 .

2

3 .

2

3 .

2

1

6 .

2.26. υ = x					2		+9 y								2		+ 6z										2					u =						1					M								1						1
																													,												,				1,									,								.
																																					xyz														3									6
2.27. υ =	1										2					2						3					3											x									1													3
									−									−												,		u		=							,		M								,			2,									.
														y											2z												y2 z3																							2
				2x																																											2
					4		2											2											1											2														1						1
2.28. υ = −												+										+										,		u = x							yz,			M					2,							,							.
							x									9 y																																						3						6
																													3z
2.29. υ =		x3										y3							8z3																y2 z3																									3
							−										−											,			u =									,			M				2,							2,									.
					2									2											3											x2																								2
			3x				3					2					2 y			3																					2	z									2						3				1
2.30. υ = −									+																+		8 3z3 ,								u =				x				,	M									,							,			.
																3																																			3						2				2
						2																																		x2
				2								2										2												x										1							1									1
2.31. υ = x						− y								−3z											,				u =									,		M								,								,							.
																																	yz			2								2									2							3

208

Задача 3. Найти векторные линии в векторном поле a .
3.1. a = 4 yi −9xj.	3.2. a = 2 yi +3xj.
3.3. a = 2xi + 4 yj.	3.4. a = xi +3yj.
3.5. a = xi + 4 yj.	3.6. a = 3xi +6zk.
3.7. a = 4zi −9xk.	3.8. a = 2zi +3xk.
3.9. a = 4 yj +8zk.	3.10. a = yj +3zk.
3.11. a = 2xi +8zk.	3.12. a = xi +3zk.
3.13. a = 4zj −9 yk.	3.14. a = 2zj +3yk.
3.15. a = 5xi +10 yj.	3.16. a = 2xi +6 yj.
3.17. a = yj + 4zk.	3.18. a = xi + yj.
3.19. a = 9 yi − 4xj.	3.20. a = 5yi +7xj.
3.21. a = 6xi +12zk.	3.22. a = 2 yj +6zk.
3.23. a = 4xi + yj.	3.24. a = 9zi −4xk.
3.25. a = xi + zk.	3.26. a = 5zi +7xk.
3.27. a = 7 yj +14zk.	3.28. a = 2xi +6zk.
3.29. a = 4xi + zk.	3.30. a = 5zj +7 yk.
3.31. a = 9zj − 4 yk.

209

Задача 4. Найти поток векторного поля a через часть поверхности S , вырезаемую плоскостями P1, P2 (нормаль

внешняя к замкнутой поверхности, образуемой данными

поверхностями).

a = xi + yj + zk. a = xi + yj − zk.

4.1. S : x2 + y2 =1,

P1 : z = 0, P2 : z = 2.

a= xi + yj + 2zk.

4.3.S : x2 + y2 =1,

P1 : z = 0, P2 : z = 3.

a= xi + yj + xyzk.

4.5. S : x2 + y2 =1,

P1 : z = 0, P2 : z = 5. a=(x+y)i −(x−y)j+xyzk.

4.7. S: x2 +y2 =1,

P: z =0, P : z=4.
1	2

a= xi + yj +sin zk.

4.9.S : x2 + y2 =1,

P1 : z = 0, P2 : z = 5.

Найти поток векторного поля

4.2. S : x2 + y2 =1,

P1 : z = 0, P2 : z = 4.

a= xi + yj + z3k.

4.4.S : x2 + y2 =1,

P1 : z = 0, P2 : z =1.

a=(x−y)i +(x+y)j+z2k.

4.6. S: x2 +y2 =1,

P: z =0, P : z=2.
1	2

a=(x3 +xy2 )i +(y3 +x2y)j+z2k.

4.8. S: x2 +y2 =1,

P: z=0, P : z=3.
1	2	+k.
a = xi + yj
4.10. S : x2 + y2		=1,

P1 : z = 0, P2 : z = 2.

a через часть поверхности S ,

вырезаемую плоскостью P (нормаль внешняя к замкнутой поверхности, образуемой данными поверхностями).

4.11. a=(x+xy2)i+(y−yx2)j+(z−3)k, S: x2 +y2 =z2 (z≥0), P: z=1.

4.12. a = yi − xj +k, S : x2 + y2 = z2 (z ≥ 0), P : z = 4.

210