- •Часть 1
- •1. Линейная алгебра
- •1.1. Основные классы квадратных матриц
- •Задачи для самостоятельного решения
- •1.2. Определители. Ранг матрицы
- •1.2.1. Вычисление определителей
- •1.2.2. Вычисление ранга матриц
- •Задачи для самостоятельного решения
- •1.3. Обратная матрица
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Как изменится матрица , если совершить аналогичные преобразования со столбцами матрицы а?
- •1.4. Жорданова нормальная форма
- •1.5. Возведение матриц в степень. Нильпотентные матрицы. След матрицы
- •Задачи для самостоятельного решения
- •1.6. Многочлены
- •Задачи для самостоятельного решения
- •2. Введение в анализ
- •2.1. Метод математической индукции
- •Алгоритм метода математической индукции
- •Решение. Используем метод математической индукции.
- •Задачи для самостоятельного решения
- •2.2. Пределы последовательностей
- •Упражнение 14. Найти
- •Примеры решения задач
- •Пример 2. Пусть , . Найти .
- •Задачи для самостоятельного решения
- •1. Вычислить пределы:
- •2.3. Предел функции. Непрерывность
- •Примеры решения задач
- •Пример 8. Доказать, что если функция непрерывна на отрезке и имеет обратную функцию, то она монотонна на этом отрезке.
- •Задачи для самостоятельного решения
- •3.1. Производная функции. Вычисление производной по определению
- •Если он существует и конечен, называется правосторонней (левосторонней) производной и обозначается . Если существует производная , то будем говорить, что дифференцируема в точке .
- •Теорема 2. Если существует производная , то функция непрерывна в точке .
- •Примеры решения задач Пример 1. Пусть Подобрать коэффициенты a и b так, чтобы функция была дифференцируемой в точке .
- •Заметим, что как произведение бесконечно малой функции на ограниченную , после замены получим
- •Задачи для самостоятельного решения
- •1. Показать, что функция , где – непрерывная функция и , не имеет производной в точке .
- •2. Пусть
- •3.2. Вычисление пределов функций с использованием методов дифференциального исчисления
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •1. Вычислить пределы
- •3.3. Выпуклые и вогнутые функции. Точки перегиба
- •Важную роль при исследовании функции на выпуклость вверх (выпуклость вниз) играют точки, в которых происходит изменение направления выпуклости функции.
- •В этом разделе будут рассмотрены основные свойства выпуклых вниз (вверх) функций, заданных на отрезке .
- •Задачи для самостоятельного решения
- •3.4. Основные теоремы дифференциального исчисления
- •Примеры решения задач
- •Обратим внимание на то, что является точкой перегиба функции . Оказывается, что этот факт верен для любой дважды дифференцируемой функции.
- •Так как , то , что и требовалось доказать.
- •Задачи для самостоятельного решения
- •6. Исследование функции нескольких переменных на экстремум
- •7. Доказательство тождеств с использованием свойств дифференцирования
- •Задачи для самостоятельного решения
- •3.6. Производные высших порядков
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Заключение
- •Часть 1
- •394006 Воронеж, ул. 20-летия Октября, 84
Министерство образования и науки РФ
Государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Воронежский государственный архитектурно-строительный университет»
А.И. Барсуков, М.Ю. Глазкова, В.И. Минаков
ЗАДАЧИ ПОВЫШЕННОЙ СЛОЖНОСТИ
ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ
Часть 1
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ
Воронеж 2013
УДК 510(07)
ББК 22.1я73
Б261
Рецензенты:
кафедра высшей математики и механики Воронежского
аграрного университета;
Азизов Т.Я., доктор физ.-мат. наук, проф. кафедры теории функций
и геометрии Воронежского государственного университета
Барсуков, А.И. Задачи повышенной сложности по высшей
Б261 математике: учеб.-метод. пособие / А.И. Барсуков,
М.Ю. Глазкова, В.И. Минаков; Воронежский ГАСУ. – Воронеж,
2013. − 120 с.
ISBN 978-5-89040-469-5
Учебное пособие содержит примеры решения задач повышенной
сложности по линейной алгебре и математическому анализу. Приводятся решения типовых задач нестандартными методами.
Предназначено для студентов всех специальностей и направлений. Также пособие может быть использовано для работы в математических кружках.
Ил. 4. Библиограф. 6 назв.
УДК 510(07)
ББК 22.1я73
ISBN 978-5-89040-469-5 |
© Барсуков А.И., Глазкова М.Ю., Минаков В.И., 2013 © Воронежский ГАСУ, 2013 |
ВВЕДЕНИЕ
В Воронежском ГАСУ, начиная с 2004 года, проводятся студенческие математические олимпиады. На олимпиадах, как и всяких соревнованиях, есть победители, которые получают премии и призы, но большинство участников не получают ни премий, ни призов. Однако здесь нет побежденных. Даже само знакомство с новыми оригинальными задачами и нестандартными методами их решения откроет перед вами новые горизонты.
Ни для кого не секрет, что научно-технический прогресс невозможен без развития фундаментальных наук, особое место среди которых занимает математика.
Математические модели, применяемые ранее для решения задач меха− ники, физики, используются сейчас в медицине, экономике, химии, биологии.
Математические олимпиады способствуют повышению интереса к ма−
тематике, помогают не теряться при решении нестандартных задач.
Мы предлагаем начать с решения задач, приведенных в данном пособии.
Учебно-методическое пособие содержит примеры решения задач повышенной сложности по основным разделам курса математики для втузов. Приводятся также решения типовых задач нестандартными методами.
В первой части пособия рассмотрены следующие разделы высшей математики: линейная алгебра, введение в математический анализ и дифференциальное исчисление функции одной переменной. В каждом разделе приведены краткие теоретические сведения, необходимые для решения задач, задачи для самостоятельного решения.
1. Линейная алгебра
В этом разделе рассмотрены свойства и основные способы вычисления определителей, действия над матрицами (в особенности нахождение обратной матрицы и вычисление степеней матриц), а также некоторые вопросы, касающиеся многочленов с комплексными и вещественными коэффициентами.
Обозначим множество всех векторов с комплексными (веществен-ными) координатами символом . Нулевой вектор пространства будем обозначать символом . Вектор х будем обозначать одним из символов или = . Обе эти записи обозначают одно и то же, если мы говорим о векторе . Кроме того, на запись мы будем смотреть как на матрицу с n строками и одним столбцом.
Под скалярным произведением векторов будем понимать комплексное число
где – число, сопряженное к для всех .
Свойства скалярного произведения:
1)
2)
3)
Векторы называются ортогональными, если ; модуль вектора определяется равенством
Матрицу с элементами будем обозначать , где – число строк (столбцов) в матрице . Если , то для обозначения матрицы также будем использовать символ . В случае n≠m (n=m) матрица называется прямоугольной (квадратной).
Пусть , тогда транспонированная матрица определяется равенством ; сопряженная матрица определяется равенством . Из определения следует, что число строк (столбцов) в сопряженной и транспонированной матрицах равно числу столбцов (строк) в исходной матрице.