Мишулина Основы теории вероятностей 2011

F(z)
1
	15
0,8	25
			5
0,6			3
0,4
0,2
0
0	1	2	3	4	5	z
Рис. 4.7. Функция распределения вероятностей закона Фишера
	для n1 = n2 = 3, 5, 15, 25

f (z)
1,2
1		25
0,8		15
0,6		5
0,4		3
0,2
0
0	1	2	3	4	5	z
Рис. 4.8. Плотность распределения вероятностей закона Фишера
	для n1 = n2 = 3, 5, 15, 25
Распределение Фишера широко применяется в дисперсионном
анализе. В статистических приложениях случайная величина Z
(4.44) называется отношением дисперсий.

191

Контрольные вопросы и задачи

1.Как связана случайная величина, распределенная по закону Рэлея, с нормальной случайной величиной?

2.Какова область возможных значений случайной величины, распределенной по закону Рэлея?

3.Выведите общую формулу (4.21) для начальных моментов распределения Рэлея.

4.Композиция каких распределений порождает гаммараспределение с целочисленным параметром?

5.Какова область возможных значений случайной величины, имеющей гамма-распределение?

6.Какие параметры имеет гамма-распределение?

7.Чему равны математическое ожидание и дисперсия случайной величины, имеющей гамма-распределение с целочисленным параметром? Приведите обоснование ответа.

8.Почему гамма-распределение является композиционно устойчивым?

9.Что называется гамма-распределением с действительным параметром?

10.Чему равны математическое ожидание и дисперсия случайной величины, имеющей гамма-распределение с действительным параметром?

11.Как формулируется свойство композиционной устойчивости гамма-распределения с действительным параметром?

12.При каких значениях параметров гамма-распределение совпадает с распределением Рэлея?

13.Какое преобразование независимых нормально распределенных случайных величин приводит к случайной величине,

имеющей 2 -распределение?

14.Какой параметр характеризует 2 -распределение?

15.Принимая во внимание формулу связи случайной величины

X, имеющей 2 -распределение, с независимыми нормально распределенными и нормированными случайными величинами, выве-

192

дите выражения (4.34) для математического ожидания и дисперсии случайной величины X.

16.Выведите выражение, связывающее функцию плотности

-распределения с известной плотностью 2 -распределения.

17.Какую геометрическую интерпретацию можно дать слу-

чайным величинам, имеющим 2 - и -распределения?

18.Выведите выражение для плотности распределения частного от деления двух независимых случайных величин с известными плотностями распределения вероятностей.

19.Частным от деления каких случайных величин является случайная величина, имеющая распределение Стьюдента?

20.Какими параметрами характеризуется распределение Стьюдента?

21.Что называется распределением Коши?

22.Что можно сказать о начальных и центральных моментах порядка k ≥ 1 для распределения Коши?

23.К какому распределению стремится распределение Стьюдента, если число степеней свободы стремится к бесконечности?

24.Частным от деления каких случайных величин является случайная величина, имеющая распределение Фишера?

25.Какими параметрами характеризуется распределение Фи-

шера?

26.Какова область возможных значений случайной величины, распределенной по закону Фишера?

27.Случайная величина Z распределена по закону Фишера с параметрами 5, 10. Какому закону распределения вероятностей

подчиняется случайная величина 1/ Z ?

193

ОТВЕТЫ НА КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

Глава 1

§1

5.Результаты опыта (i, j) и (j, i) не различаются, поэтому Ω =

= {ωij, i = 1, 6 , j ≥ i}, где ωij – на гранях выпали числа i и j.

6. А = {ω11, ω12, ω13, ω22}. 7. Обозначим "о" и "р" – выпадение орла и выпадение решки. Тогда Ω = {ω1 = "ооо", ω2 = "оор", ω3 = "оро",

ω4 = "орр", ω5 = "роо", ω6 = "рор", ω7 = "рр"}. 8. А = { ω1, ω2, ω3, ω5}.

§2

3.Да. 12. 4. 13. C = {ω1, ω5, ω8, ω9, ω10}, D = {ω8, ω10}.

§5

2. Попадания в разные точки мишени не являются равновозмож-

ными. 5. 29/72.

§7

21.1019 . 22. 92 . 23. 0,2. 24. 0,25. 25. 23 .

§8

16.1/32. 17. Нет. 18. Нет. 19. Зависимы, несовместны.

§9

9. 3; 4. 10. 0,7.

§ 10

5. 1/3. 6. ~ 0,31. 7. 1.

Глава 2

§14

20.Следует воспользоваться условием нормировки. с = α/2.

§16

	k	~
	16. αk = Ckn mXk n n		X 1 . 29. m = β; d = 2/α2;
		(μ0 = 1). 27. X
	n 0

σ = 2 /α. 32. Да.

§17

8.1/р. 9. 0; 0,6. 10. mX = p; dX = p(1–p); p (1 p) .

194

§ 18

12. Да. 14.			1		(e	j	1)		e	j 0,5 sin 0,5			. 15.		.
			j									0,5		j
Глава 3
										§ 21
12. X1: 2, 4; X2: 1, 3, 5.
	X1								X2					p': 0,5; 0,5.
					1				3		5			p": 0,25; 0,5; 0,25.
	2			0,15					0,1		0,25
	4				0,1				0,4		0,0

§22

14.с = 3/28; P(A) = 1/16; P(B) = 11/28; P(C) = 5/28.

§24

16. mX	1	= 0,2; mX	2	= 0,1; X	1	= 1; X	2	= 0,83;

k12 = –0,52; r12 = –0,63.

§25

9.Да. 10. Нет. 11. Да. 19. –1. 20. 72.

§27

5. (λ) = e jλTmX X (λ) , где mX = M[X].

X

10. X' ( 1, 2 , ..., m ) X ( 1, 2 , ..., n )	i 0,			.
	i (m 1), n

§28

13.m1 = m2 = 0, σ1 = 52 , σ2 = 12 , ρ = 15 .

					2
		2
f (x )				exp		2 x1	.
		5
1					5

Глава 4

§29

5.Равномерное распределение на отрезке [ac+b, ad+b], a > 0.

8. y0 =0; y1 = 1; P(Y = y0) = 0,4; P(Y = y1) = 0,6. 10. arcsin(2x 1) .

14. y0,5 ≈ 0,71.

§ 31

15. 1/ .

195

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.Боровков А.А. Теория вероятностей. М.: УРСС, 2003.

2.Вентцель Е.С. Теория вероятностей. М.: Academia, 2005.

3.Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Высшая школа, 2003.

4.Куликов Е.И. Прикладной статистический анализ. М.: Радио и связь, 2003.

5.Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. М.: УРСС, 2005.

6. Сборник задач по математике для втузов / Под ред. А.В. Ефимова. Ч.3: Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Наука, 1990.

7.Кочетков Е.С., Смерчинская С.О. Теория вероятностей в задачах и упражнениях. М.: Форум, 2008.

8.Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Задачи и упражнения по теории вероятностей. М.: Academia, 2004.

9.Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. М.: Высшее образование, 2006.

196