5532

102

мещает страхователю сумму L, а цессионер возмещает цеденту сумму S1-S0. Будем предполагать, что имеет место франшиза β, причём β = К1S, где S — страховая сумма, и

договор перестрахования предполагает комиссию α, где α=KR, R — перестраховочная премия.

Как и выше, страховую премию по оригинальному договору страхования будем обозначать величиной P. Согласно определению договора перестрахования эксцедента сумм, возможны три различные ситуации: S≤S0, S0<S<S1, S1<S. Следовательно, необхо-

димо рассмотреть три случая.

Первый случай: S≤S0. Наступивший убыток компенсируется прямым страховщи-

ком и, следовательно, перестрахования нет.

Второй случай: S0<S≤S1.

Определим матрицу последствий Q. Будем рассматривать задачу принятия решения цедентом. Решений здесь также два: i=1 соответствует принятию решения о передаче риска в перестрахование, i=2 соответствует отказу от передачи риска в перестрахование.

Ситуаций во внешней финансовой среде будет три: j=1 соответствует ситуация ненаступления страхового случая или наступления страхового случая с ущербом L0 ≤ β; j = 2 соответствует ситуации наступления страхового случая с ущербом β<L≤S0; j=3 со-

ответствует ситуации наступления страхового случая с ущербом S0<L1≤S. Тогда элементы матрицы Q находятся из формул: q11= P-R+α, q12=P-R-L+α, q13=P-R-S0+α, q21=P, q22=P-L, q23=P-L1. Матрица Q принимает вид:

Q

P

R

P

R

L

P

R

S0

,

L

S0

L1 S . (41)

P

P

L

P

L1

Матрица Q построена для условной франшизы. Для безусловной франшизы мат-

рица последствий Q1 имеет вид:

Q1

P

R

P

R

L

P

R

S0

,

(42)

P

P L

P

L1

L S0 L1

S .

Применим правило Вальда для матрицы (42). Для этого найдём минимальные элемен-

ты q1 и q2 первой и второй строк:

q

P

R

S0

,

q

2

P

L1 . Для выбора

1

максимального элемента из двух q1 и q2 решим неравенство q1 > q2. Решение имеет вид:

L1

S 0

R

.

(43)

Таким образом, получаем следующий вывод:

103

–при выполнениинеравенства(43)следует принятьрешениеопередачерискавперестрахование;

–при выполнении неравенства

L1 S0 R

(44)

следует принять решение об отказе в передачи риска в перестрахование. Неравенства

(43) и (44) опять содержат случайную величину L1. Тем не менее, пользуясь ограниче-

ниями на параметры перестраховочного договора, можно получить детерминистские варианты условий принятия решений. Так, например, если выполняется неравенство

R	0 ,	(45)
то неравенство (43) выполняется при любых значениях ущерба L1, так как выполняется
условие L1>S0. Неравенство (45) в терминах относительных величин имеет вид
r 1 K T	K1.	(46)

Отсюда следует вывод: при выполнении неравенства (46) следует передать риск в перестрахование. Неравенство (46) содержит основные показатели перестраховочного договора. В отличие от квотно-пропорционального перестрахования, в условии (46)

присутствует и перестраховочная квота r (в части премии). При задании трёх показате-

лей четвёртый находится из условия (46). Тариф по оригинальному договору известен.

Если при этом задать процент комиссии K и коэффициент франшизы, то из (46) можно

выбрать квоту r. Если теперь предположить выполнение неравенства
	S		S0 R	,	(47)
то неравенство (44) выполняется при любых значениях L1, так как по условию задачи
L1≤ S. В терминах относительных показателей неравенство (47) имеет вид:
1		S0	rT 1 K	K1 .	(48)
		S

Отсюда следует вывод:

–при выполнении неравенства (46) следует принять решение о передаче риска в перестрахование;

–при выполнении неравенства (48) следует принять решение об отказе в передаче риска в перестрахование.

Если выйти из условий полной неопределённости в части убыточности страховой

суммы, то условия (43) и (44) принятия решений имеют вид:
– при выполнении неравенств	S0 / S rT 1 K K1 ,	S0 / S следует при-
нять решение о передаче риска в перестрахование;

104
– при выполнении неравенства S0 / S	S0 / S rT 1 K K1 следует принять

решение об отказе в передаче риска в перестрахование.

На основании применения правила Вальда можно сделать ряд выводов:

1.Для безусловной франшизы найдены частные детерминистские условия принятия решений.

2.При наличии статистики убыточности страховой суммы найдены общие детер-

министские условия принятия решений.

3. Правило Вальда в задаче принятия решения о перестраховании и при квотно-

пропорциональном перестраховании и при эксцеденте сумм перестрахования даёт спо-

соб принятия решения, если фактически ориентироваться на наступление страхового случая, так как наихудшим состоянием при каждом решении является наступление

страхового события.

Проведём анализ принятия решения о перестраховании на основании критерия Сэвиджа. Построим матрицу рисков для матрицы последствий (41) (условная франши-

за). Максимальные элементы ωj, j=1,2 по первым двум столбцам определяются равен-

ствами ω1=Р,	ω2=P-L.	Для определения	ω3	необходимо решить	неравен-
ство P R S0	P	L1 . Решение имеет вид:
		L1 S0	R	.	(49)
Таким образом, необходимо рассмотреть два варианта.
1. Пусть выполняется неравенство (49). Тогда матрица рисков имеет вид:

	B	R		R		0	,	S0 L1	S .
			0	0	L1	R S0
Для	принятия			решения		необходимо		решить	неравенство
R	L1 R S0			. Решение имеет вид:
				L1	2 R	S0 .			(50)

На основании неравенства можно сделать следующий вывод:

–при выполнении неравенства (50) следует принять решение о передаче риска в перестрахование;

–при выполнении неравенства

2 R

S0 L1 R

S0

(51)

следует принять решение об отказе в передаче риска в перестрахование.

2. Пусть выполняется неравенство

			105
		L1	S0	R	.		(52)
Тогда матрица рисков имеет вид:
Â	R	R	L1	R	S0	,	S 0 L1 S .
	0	0		0
Для принятия решения необходимо решить неравенство
		max R	, L1	R	S0		0 .

Это неравенство следует из неравенства R>α и L1>S0.

Отсюда следует вывод: при выполнении условия (52)следует принять решение об

отказе в передаче риска в перестрахование.

Объединяя неравенства (51) и (52), можно сделать следующий вывод:

– при выполнении условия (52) следует принять решение о передаче риска в перестрахование;

– при выполнении условия L1 2 R S0 следует принять решение об отка-

зе в передаче риска в перестрахование.

Аналогично можно получить детерминистский вариант условий принятия реше-

ний: при выполнении неравенства 1 S0 / S 2Tr 1 K следует принять решение об от-

казе в передаче риска в перестрахование.

Если выйти из условий полной неопределённости, то стохастические условия

можно также заменить детерминистскими:
– при выполнении условия	S0 / S	2Tr 1	K	следует принять решение о пере-
даче риска в перестрахование;
– при выполнении условия	S0 / S	2Tr 1	K	следует принять решение об от-

казе в передаче риска в перестрахование.

Применим к исследованию задачи критерий Гурвица. Рассмотрим вначале условную франшизу и матрицу (41). В первой строке максимальный элемент равен P-R+α, минимальный элемент – величине P-R-S0+α. Во второй строке максимальный элемент равен величине Р, минимальный – величине Р-L1. Для принятия решения необходимо

найти максимальный из двух элементов			1		P		R S0	1	P R	,
2	P L1 1	P.
	Решая неравенство ω1>ω2, получим:
		L	S		1	R	.			(53)
				0
		1

Отсюда, согласно критерию Гурвица, можно сделать следующий вывод:

– при выполнении неравенства (53) следует принять решение о передаче риска в

		106
перестрахование;
– при выполнении неравенства	L	S	0	1 R	следует принять решение об
	1

отказе в передачи риска в перестрахование.

В детерминистском варианте этот вывод формулируется следующим образом: при выполнении неравенства 1 S0 / S 1Tr 1 K следует принять решение об отказе в

передаче риска в перестрахование.

В условиях частичной неопределённости соответственно имеем:

– при выполнении неравенства	S0 / S	1Tr 1	K	следует принять решение о
передаче риска в перестрахование;
– при выполнении неравенства	S0 / S	1Tr 1	K	следует принять решение об

отказе в передаче риска в перестрахование.

Третий случай: S1<S.

Построим матрицу последствий при принятии решения цедентом. Решение будет,

как и выше, два: i=1, 2. Ситуаций во внешней финансовой среде будет четыре: j=1 со-

ответствует ситуации наступления страхового случая с ущербом L0 ≤ β; j=2 соответ-

ствует ситуации наступления страхового случая с ущербом β<L≤S0; j=3 соответствует ситуации наступления страхового случая с ущербом S0<L1≤S1; j=4 соответствует ситуа-

ции наступления страхового случая с ущербом S1<L2. Тогда элементы матрицы послед-

ствий Q при безусловной франшизе находятся из формул:

q11=P-R+α; q12=P-R+α-L+β; q13=P-R+α-S0+β; q14=P-R+α+β-L2-S0+S1; q21=P; q22=P-L; q23=P-L1; q24=P-L2.

Матрица Q принимает вид:

Q	P R	P R	L	P R	S0	P R	L2 S0	S1	, (54)
	P	P	L	P	L1		P L2

	L S0	L1 S1	L2	S .
	При условной франшизе матрица последствий имеет вид:
Q1	P R	P R		L P R	S0 P R	L2 S0	S1	,	(55)
	P	P	L	P	L1	P L2

L S0 L1 S1 L2 S .

Применим правило Вальда для матрицы (54). Для этого найдём минимальные элементы q1 и q2 первой и второй строк. На основании неравенства (54) q1 P R L2 S0 S1 , q2 P L2 .

107
Для выбора максимального элемента из двух q1	и q2	решим неравенство q1>q2.
Решение имеет вид:
S1 S 0 R	.	(56)

Неравенство (56) содержит основные показатели перестраховочного договора и носит детерминистский характер, то есть не содержит случайных величин-ущербов.

Следовательно, на основании критерия Вальда можно сделать обоснованный вывод:

– при выполнении неравенства (56) следует принять решение о передаче риска в

перестрахование;
– при выполнении неравенства S1 S0 R	следует принять решение об

отказе в принятии риска в перестрахование.

Таким образом, неравенство (56) может служить основой для переговорного про-

цесса между цедентом и цессионером.

Рассмотрим теперь условную франшизу и матрицу (55). Аналогичным образом

найдём минимальные элементы q1				и q2 первой и второй строк матрицы (55) на основа-
нии неравенства (55): q		P	R		L2 S0		S1 , q	2	P L2 .
	1
Для выбора максимального элемента из q1						и q2	решим неравенство q1 > q2.
Решение имеет вид: S1			S0	R	.
Таким образом, на основании критерия Вальда в случае условной франшизы
можно сделать вывод:
– при выполнении неравенства S1					S0	R	следует принять решение о пе-
редаче риска в перестрахование;
– при выполнении неравенства S1					S0	R	следует принять решение об от-
казе в передаче риска в перестрахование.
Отметим	здесь, что	в	практике		перестраховочных				договоров соотношение
S1 S0 R	, как впрочем, и соотношение S1					S0	R		реализуется значитель-
но реже, чем неравенство S1			S0	R	или (56). Это объясняется тем, что величины

собственного удержания цедента и предела ответственности цессионера имеют порядок страховых сумм, в то время как правая часть, например, неравенства (56) имеет поря-

док страхового тарифа. Отсюда следует, что правило Вальда рекомендует скорее реше-

ние о передаче риска в перестрахование, чем отказ от перестрахования. Применим те-

перь к проблеме принятия финансового решения о передаче риска в перестрахование критерий Сэвиджа минимизации риска упущенной выгоды для случая условной фран-

108

шизы. Построим матрицу рисков на основании матрицы финансовых последствий.

Максимальный элемент первого столбца ω1=Р, второго столбца ω2=Р-L. Макси-

мальный элемент ω3=Р-L1 при условии

L1

S0

R

. Максимальный

элемент

ω4=Р-L2 при условии S1

S0

R

.

Для дальнейшего анализа необходимо рассмотреть четыре случая.

1. Пусть выполняется система неравенств

L1

S0

R

,

S1

S0

R

.

(57)

Тогда матрица рисков имеет вид:

B

R

R

R

S0

L1

R

S0

S1

.

0

0

0

0

Максимальный элемент δ1 первой строки этой матрицы, ввиду условий, (57) определя-

ется равенством 1 R . Так как δ1>0, то следует принять решение об отказе в передаче риска в перестрахование. Учитывая тот факт, что первое неравенство системы (57) является следствием второго неравенства, можно сделать следующий вывод. Согласно правилу Сэви-

джа, для условной франшизы при выполнении второго неравенства системы (57) следует принять решение об отказе в передаче риска в перестрахование.

2. Пусть выполняется система неравенств

L1 S0 R , S1 S0 R .

(58)

Тогда матрица рисков имеет вид:

B	R	R	R	S0	L1		0		.
	0	0		0	R		S0	S1
Максимальный элемент δ1			первой строки определяется равенством δ1=R-α, второй
строки – равенством 2		R	S0 S1 . Для принятия оптимального решения необ-
ходимо решить неравенство δ1<δ2. Решение имеет вид S1						S0	2 R		.
Отсюда на основании критерия Сэвиджа можно сделать следующий вывод:
– при выполнении неравенства S1				S0	2 R	и системы (58) следует при-
нять решение о передаче риска в перестрахование;
– при выполнении системы (58) и неравенства S1						S0	2 R		следует при-
нять решение об отказе в передаче риска в перестрахование.
3. Пусть выполняется система неравенств L1 S0 R						,	S1 S0	2 R	.
Ввиду неравенства S1 ≥ L1			постановки задачи, эта система неразрешима. Следова-

109

тельно, такой вариант не реализуется.

4. Пусть выполняется система неравенств L1

S0

R

,

S1

S0 2 R

.

Тогда матрица имеет вид:

B

R

R

0

0

.

0

0

R

S0

L1

R

S0 S1

Максимальный

элемент

первой строки

δ1=R-α,

второй

строки

– элемент

2

R

S0 S1 .

Для принятия оптимального решения необходимо решить нера-

венство δ1<δ2. Решение имеет вид S1

S0

2 R

.

На основании вышеизложенного можно сделать следующий вывод:

– при выполнении данной системы и неравенства

S1

S0

2 R

следует

принять решение о передаче риска в перестрахование;

– при выполнении данной системы и неравенства S1

S0

2 R

следует принять

решение об отказе в передаче риска, в перестрахование. Объединяя варианты

1 – 4, можно

сделать следующий вывод. На основании критерия Сэвиджа для условной франшизы:

– при выполнении неравенства

S1

S0

2 R

следует принять решение о

передаче риска в перестрахование;

– при выполнении неравенства S1

S0

2 R

следует принять решение об

отказе в передаче риска в перестрахование.

Таким образом, в случае условной франшизы критерий Сэвиджа также предлагает

детерминистский инструмент принятия решения. Отметим, также, что при выполнении условия S1 S0 2 R (условная франшиза) оба критерия Вальда и Сэвиджа ука-

зывают на принятие решения о передачи риска в перестрахование. При выполнении неравенства S1 S0 2 R (условная франшиза) оба критерия Вальда и Сэвиджа указывают на принятие решения об отказе в передаче риска в перестрахование.

Применим теперь к задаче критерий Гурвица. Рассмотрим случай безусловной фран-

шизы (матрица финансовых последствий (54)). Максимальный элемент перовой строки, в

силу условий (54), равен величине P-R+α. Аналогично минимальный элемент равен вели-

чине P R L2 S0 S1 . Следовательно, для первой строки средневзвешен-

ное значение ω1 между наибольшим и наименьшим элементами определяется равенством

1 P R L2 S0 S1 1 P R .

			110
Аналогичным образом можно найти					1	P	L2	1	P P L2 .
Для принятия оптимального решения необходимо решить неравенство ω1>ω2. Ре-
шение имеет вид S S	1 R	.
1	0
Отсюда на основании критерия Гурвица для безусловной франшизы можно сде-
лать следующий вывод:
– при выполнении неравенства		S	S	0		1 R			следует принять решение о
		1
передаче риска в перестрахование;
– при выполнении неравенства		S	S		0	1	R		следует принять решение
		1

об отказе в передачи риска в перестрахование.

Здесь можно отметить, что при λ=1 критерий Гурвица и Вальда дают одинаковый результат. Это следует из теории принятия статистических решений. При условии

λ=1/2 критерии Гурвица и Сэвиджа дают одинаковый результат. Значение λ=1/2 соот-

ветствует тому, что оптимизируется среднее арифметическое между наилучшим и наихудшим результатами по каждому решению. Если цедент выбирает значение λ<1/2,

то это означает, что он склоняется к более оптимистическому для себя развитию ситуа-

ции (ненаступление страхового случая). Такой подход к определению параметра λ мо-

тивирован оценкой вероятностей различных событий: вероятность ненаступления стра-

хового события существенно больше, чем вероятности иных рассматриваемых собы-

тий.

Отметим также, что в случае, когда страховая сумма по договору страхования превосходит предел ответственности цессионера (S>S1) все три критерия Вальда, Сэви-

джа и Гурвица для всех типов франшизы представляют детерминистский результат в задаче о принятии финансового решения о передаче риска в перестрахование.

3.3Моделирование принятия решения о перестраховании

вусловиях частичной неопределённости

Условия частичной неопределённости отличаются от условий полной неопреде-

лённости, как известно, наличием статистической информации. В частности, подразу-

мевается наличие вероятностных характеристик или вероятностей наступления иссле-

дуемых событий. Страховая группа в системе ФПГ при перестраховании рисков нахо-

дится как в условиях полной, так и в условиях частичной неопределённости в качестве и цедента, и цессионера. На рисунке 25 изображено перераспределение рисков про-

111

мышленной группы (ПС) через страховую организацию (СОСГ) и перестраховочную организацию (Ре СГ) страховой группы в условиях частичной неопределённости.

В данном случае страховая группа, находясь в системе ФПГ, имеет полную стати-

стическую информацию о распределении рисков ПГ. При этом страховая организация выступает в качестве цедента, проводя первичное перераспределение рисков в пере-

страховочную организацию СГ и страховые организации внешней финансовой среды

(СОВФС). Перестраховочная организация СГ выступает в качестве и цессионера, полу-

чая риски от СОСГ и цедента, проводя вторичное перераспределение рисков в СОВФС.

ПГ

СОСГ

РеСГ

СОВФС

Рисунок 25 – Перераспределение рисков в условиях частичной неопределённости

Как было показано в предыдущих разделах, кэптивные страховые организации могут развиваться наиболее эффективно, привлекая страховые финансовые ресурсы из внешней среды, то есть превращаясь, по сути, в универсальные страховые организации. Однако при этом они попадают в условия полной неопределённости, участвуя в системе вторичного перераспределения рисков. На рисунке 26 изображено перераспределение рисков ВФС в системе страховой группы ФПГ в условиях полной неопределённости. При этом и СОСГ, и Ре СГ выступают и как цеденты, и как цессионеры. Вместе с тем следует отметить, что условия полной неопределённости для элементов СГ несколько различаются. Получая риски в качестве цессионеров от перестраховщиков внешней финансовой среды, СГ находится в условиях, когда предыстория полученных рисков в значительной степени теряется. Перераспределяя риски, непосредственно полученные от страхователей ВФС, как СОСГ, так и Ре СГ имеют возможность получить некоторую дополнительную статистическую информацию, например убыточность страховой суммы. Как было показано в подразделах 3.1 и 3.2, даже этой информации достаточно, чтобы получить детерминистские выводы о принятии того или иного финансового решения. Таким образом, в системе управления рисками ФПГ страховая группа находится в условиях частичной неопределённости. В системе поддержания