Обработка стрельб (96

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

чего строят статистический ряд. С этой целью весь диапазон полученных значений случайной величины X делят на несколько интервалов (или разрядов):

x1, x2; x2, x3; . . . xi, xi+1; . . . xl, xl+1,

где x1, x2; xi, xi+1; xl, xl+1 — границы первого, i-го и l-го интервалов.

Обычно число разрядов выбирают равным шести, восьми и реже десяти. Следует заметить, что выбор количества разрядов зависит от числа проведенных опытов. Чем больше опытов, тем больше разрядов.

Подсчитывают число случайных величин X, приходящихся на каждый разряд mi, и определяют частоту pi , соответствующую каждому разряду, по формуле

p =	mi	.	(41)
i	n

Отметим некоторые особенности определения числа случайных величин, приходящихся на данный разряд. Если случайная величина попадает на границу разряда, считают, что она принадлежит соседним разрядам одновременно в равных долях, т. е. по половине в каждом разряде.

Статистический ряд представляют в виде таблицы, связывающей разряды и соответствующие им частоты. Графическим представлением ряда является гистограмма. По виду гистограммы вводится гипотеза о законе распределения случайной величины.

Задача выбора теоретической кривой распределения, отражающей существенные признаки полученного статистического материала, называется выравниванием (или сглаживанием) статистического ряда. Вид теоретической кривой определяется как видом гистограммы, так и сущностью исследуемого физического процесса. Теоретический закон распределения зависит от ряда параметров, поэтому при выравнивании статистического ряда необходимо, чтобы расхождение между значениями этих параметров, полученных для статистического и теоретического законов распределения, было наименьшим.

Для выбора параметров применяется метод моментов, сущность которого заключается в том, что в качестве параметров сравнения используют важнейшие числовые характеристики (момен-

11

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

ты) закона распределения, такие как математическое ожидание, дисперсия и т. д.

Очевидно, что между числовыми характеристиками, полученными в результате обработки статистического материала, и характеристиками выбранного теоретического закона распределения будут существовать некоторые различия. Для выяснения сущности этих различий (случайны они или являются существенными в связи с неправильно выбранным теоретическим законом распределения) вводятся «критерии согласия». Одним из таких критериев является критерий χ2 Пирсона.

Рассмотрим схему применения этого критерия.

Допустим, получен статистический ряд, который представлен в виде табл. 1.

						Таблица 1
Ii	x1, x2	x2, x3	. . .	xi, xi+1	. . .		xl, xl+1
pi	p1	p2	. . .	pi	. . .		pl

где Ii — обозначение i-го разряда;

pi — частота, соответствующая i-му разряду; l — количество разрядов.

Выбрав теоретический закон распределения для полученного статистического материала, определяют вероятности попадания случайной величины в соответствие с этим законом в каждый из разрядов.

Мерой расхождения U между теоретическим и статистическим законами распределения выберем сумму квадратов отклонений (pi −pi), взятыми с некоторыми весовыми коэффициентами сi:

l
X
U = ci(pi − pi)2.	(42)

i=1

Для расчета коэффициентов ci Пирсоном была предложена следующая зависимость:

ci = n . (43) pi

Действительно, для большого числа опытов закон распределения величины U практически зависит только от количества разря-

12

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

дов l и не зависит от функции распределения F (x) и числа опытов n. Другими словами, закон распределения величины U при увеличении числа опытов приближается к распределению χ2.

Распределением χ2 с r степенями свободы называется распределение суммы квадратов r независимых случайных величин, каждая из которых подчинена нормальному закону с нулевым математическим ожиданием и дисперсией, равной единице.

Обозначим меру расхождения U через χ2. Тогда выражение (42) с учетом (43) может быть приведено к виду

U = χ2 = n	l	(pi − pi)2	.	(44)
		pi

X

i=1

Введем общее число опытов n в формуле (44) под знак суммы. С учетом формулы (41) окончательно получим

χ2 = l (mi − npi)2 . (45)

X

i=1 npi

Значение критерия согласия χ2 зависит от числа степеней свободы r. В свою очередь число степеней свободы зависит от числа разрядов l и числа наложенных связей s:

r = l − s.

(46)

Число связей определяется требованиями, предъявляемыми к совпадению тех или иных характеристик теоретического и статистического законов распределения.

Для критерия Пирсона χ2 составлены таблицы. Пользуясь этими таблицами, можно для каждого значения χ2 и числа степеней свободы r найти вероятность p того, что величина, распределенная по закону χ2, превзойдет это значение.

На практике, задаваясь теоретическим законом распределения и числом степеней свободы r, по формуле (45) рассчитывают величину χ2. Далее из таблицы П2 приложения по значениям χ2 и r определяют искомую вероятность p.

Если вероятность p мала, то гипотеза о введенном законе распределения отбрасывается как неправдоподобная. Если же найденная вероятность относительно велика, гипотезу можно считать не противоречащей опытным данным. Обычно считают, что если

13

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

p < 0,1, то необходимо искать другой закон распределения. Если p > 0,1, то данная гипотеза о введенном законе распределения не противоречит опытным данным.

2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧИСЛОВЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ПО РЕЗУЛЬТАТАМ СТРЕЛЬБ

Рассмотрим основные этапы обработки данных, полученных по результатам стрельб. Пусть произведено n выстрелов и зарегистрированы координаты n точек попадания. Выберем начало системы координат xoz таким образом, чтобы все точки попаданий оказались в первой четверти. Отметим каждую точку своим порядковым номером.

Для проведения обработки данных составим таблицу (табл. 2).

										Таблица 2
№	xi	zi	ˉ	ˉ	ˉ	2	ˉ	2	ˉ	ˉ
п/п			xi−Mx	zi −Mz	(xi −Mx)		(zi − Mz)		(xi − Mx)(zi − Mz)
1
2
. . .
n
n
X			0	0
i=1

В первый столбец таблицы заносят номера опытных точек. Второй и третий столбцы предназначены для записи их координат, четвертый и пятый — для вычисления центрированных значений координат случайных величин, шестой и седьмой — для вычисления дисперсий, последний — для расчета корреляционного момента. Для контроля правильности вычислений в последней строке четвертого и пятого столбцов суммы центрированных значений должны быть равны нулю.

Заполнив таблицу, определяем оценки математических ожида-

ний координат ˉ и ˉ с помощью следующих соотношений:

Mx Mz

14

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

n

		xi
	i=1
Mˉx =	X			,
	n
	n
		zi
	i=1
Mˉz =	X		.
	n
				ˉ
Проводим расчеты оценок дисперсий по координатам Dx,

				ˉ
и корреляционного момента Kxz по формулам:
			n
				ˉ		2
		i=1		(xi − Mx)
Dˉx =		X						,
			n	n − 1
				ˉ	2
		i=1		(zi − Mz)
Dˉz =	X						,
			n	n − 1
				ˉ				ˉ
				(xi − Mx)(zi − Mz)
			i=1
Kˉxz =			X						.
						1
				n −

(47)

(48)

ˉ

Dz

(49)

(50)

(51)

В случае неравенства нулю оценки корреляционного момента определяем направление главных осей рассеивания, для которых корреляционный момент случайных значений координат будет равен нулю.

Определяем угол поворота главных осей рассеивания α относительно выбранной системы координат xOz:

		ˉ
tg 2α =	2Kxz			(52)
			.
	ˉ	ˉ
	Dz	− Dx

Уравнение (52) дает два значения угла α: α1 и α2, различающиеся на π/2. Они и будут определять направление главных осей рассеивания. Через центр группирования, определяемый полученными выше оценками математического ожидания, под углом α проводим главные оси рассеивания o1 ξ и o1 η.

15

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Найдем оценки дисперсий по главным осям рассеивания:

ˉ

ˉ

2

α

ˉ

2

ˉ

α,

(53)

Dξ = Dx sin

+ Dz cos

α + Kxz sin 2

ˉ

ˉ

2

ˉ

2

ˉ

α.

(54)

Dη = Dx cos

α + Dz sin

α − Kxz sin 2

Рассчитываем оценки значений средних квадратичных откло-

ˉ

ˉ

нений σξ, ση и вероятных срединных отклонений Eξ,

Eη по глав-

ˉ

ˉ

ным осям рассеивания:

σˉ ξ = q

,

Dˉ ξ

(55)

σ

=

ˉ

(56)

D ,

ˉ

q η

ˉη

(57)

Eξ

= 0, 6745σξ,

ˉ

ˉ

(58)

Eη = 0, 6745ση.

ˉ

Определяем надежность получения оценок числовых характеристик. Для этого находим доверительные интервалы для дисперсий и средних квадратичных отклонений.

Относительные границы доверительных интервалов для оце-

нок дисперсий определяем по формулам r

εDξ = tβ

εDη = tβ

2 ˉ rn − 1Dξ,

2 ˉ n − 1Dη.

(59)

(60)

Величину tβ выбирают с помощью табл. П1 приложения для заданной вероятности β. При проведении лабораторной работы выбираем значение β = 0,8.

Доверительные интервалы для дисперсий по главным осям рас-

сеивания вычисляют с помощью соотношений:
ˉ	ˉ	(61)
(Iβ)Dξ = (Dξ − εDξ	; Dξ + εDξ ),
ˉ	ˉ	(62)
(Iβ)Dη = (Dη − εDη ; Dη + εDη ).

Границы доверительных интервалов для средних квадратичных отклонений можно получить через оценки дисперсий и их

относительных границ:
	ξ = q			,		σ2ξ = q			,
σ1		Dˉ ξ − εDξ					Dˉ ξ + εDξ				(63)
	η = q				,	σ2η = q				.
σ1			Dˉ η − εDη					Dˉ η + εDη			(64)
16

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Таким образом, доверительные интервалы для средних квадратичных отклонений по главным осям рассеивания будут следующими:

(Iβ)σξ = (σ1ξ; σ2ξ),	(65)
(Iβ)ση = (σ1η; σ2η).	(66)

В качестве примера на рис. 1 представлена графическая интерпретация полученных оценок основных числовых характеристик системы двух случайных величин X и Z. Здесь нанесены опытные точки и представлен единичный эллипс рассеивания. Задано положение центра группирования, построены главные оси эллипса. Показаны значения оценок средних квадратических отклонений σˉx, σˉz, σˉ ξ, σˉ η. Обозначены доверительные интервалы для математических ожиданий.

Рис. 1

17

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЗАКОНА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН ПО РЕЗУЛЬТАТАМ СТРЕЛЬБ

Для определения закона распределения случайных величин X и Z воспользуемся данными результатов расчетов четвертого и пятого столбцов табл. 2. Здесь приведены значения центрированных

o

ˉ

o

ˉ

случайных величин xi = xi − Mx, zi = zi − Mz.

Разобьем область наблюдений случайной величины на разряды. При ограниченном числе опытных данных количество разрядов обычно невелико. Пусть длина разряда равна среднему квадратическому отклонению. Тогда общее число разрядов будет равно шести. Покажем границы разрядов для случайной величины X:

o	3	= −3σx		o	2 = −2σx;
1-й разряд: −o			, −o
x		= −2σx	, −	x	1 = −σx;
2-й разряд: −o	2			x
x
3-й разряд: − o1 = −σx, 0;
x
4-й разряд: 0, x1 = σx;
o		o
5-й разряд: x1	= σx, x2 = 2σx;
o		o			σx.
6-й разряд: x2	= 2σx, x3		= 3
По полученным экспериментальным данным строим гисто-

грамму, в которой по оси абсцисс откладывают разряды, а по оси ординат число случайных точек, приходящихся на каждый разряд mi. Подобную же гистограмму строим и для координаты Z. По виду гистограмм вводим гипотезы о возможных теоретических законах распределения.

На рис. 2 построены гистограммы для рассмотренного примера. Здесь по оси абсцисс отложены значения отклонений случайных величин от их математического ожидания. По оси ординат — значения mi, приходящиеся на каждый разряд.

Анализ приведенных гистограмм показывает, что для них можно принять гипотезу о нормальном законе распределения. Принятую гипотезу о законе распределения для каждой из случайных величин необходимо проверить по критерию согласия Пирсона χ2.

В нашем случае для нормального закона распределения вероятность попадания случайной величины в каждый разряд рассчи-

тывается по формуле
	1
pi =			Φˆ	|ui+1| − Φˆ	|ui|	,	(67)
	2
18

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

			Рис. 2
	o		o
где ui+1 =	xi+1	, ui =	xi	;
	0, 6745σx		0, 6745σx
o	o
xi+1,	xi — граничные значения i-го разряда;

Φˆ |u| — значение приведенной функции Лапласа (см. табл. П3 приложения).

Вычисление критерия согласия χ2 для нормального закона распределения удобно вести с помощью табл. 3.

Таблица 3

№

Разряды

o

o

o

o

o

o

o

o

o

o

п/п

−x3

; −x2

−x2

; −x1

−x1

; 0

0; x1

x1

; x2

x2

; x3

1

mi

o

2

ui+1

=

xi+1

σx

0, 6745

o

3

xi

ui = 0, 6745σx

4

ˆ

Φ |ui+1|

5

ˆ

Φ |ui|

19

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Окончание табл. 3

№

Разряды

o

o

o

o

o

o

o o

o

o

п/п

−x3;

−x2

−x2

; −x1

−x1

; 0

0; x1

x1; x2

x2; x3

6

pi = 2 Φˆ

|ui+1| −

1

ui

Φˆ

−

|

|

7

npi

8

mi − npi

9

(mi − npi)2

10

(mi − npi)2

npi

Величину χ2 определяем по формуле

χ2 =

l

(mi − npi)2

,

(68)

X

i=1 npi

где l — количество разрядов (в нашем случае l = 6); n — общее число точек;

mi — количество точек в i-м разряде;

pi — вероятность попадания в i-й разряд, рассчитанная для выбранного теоретического закона распределения.

Суммируя по разрядам значения, полученные в последней, 10-й строке табл. 3, находим значение χ2.

Определяем число степеней свободы по формуле r = l − s, где l — количество разрядов, а s — число наложенных условий (связей). Оно зависит от требований, предъявляемых к данной задаче. При обработке результатов стрельб обычно используют три условия:

1)равенство единице суммы частот;

2)совпадение теоретического и статистического математиче-

ских ожиданий; 3) совпадение теоретической и статистической дисперсий.

Следовательно, в нашем случае s =3.

Зная величины r и χ2, по табл. П2 приложения определяют искомую вероятность p и делают заключение о состоятельности гипотезы о введенном законе распределения.

20