МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ (случайные события) (110

Пусть события А1,А2,, ..., Ап независимы и известны вероятности этих событий:

Р(А1) = р1, Р(А2) = р2, ..., Р(Ап) = рп.

Обозначив вероятности противоположных событий

Р( A 1) = q1, Р( A 2) = q2, ..., Р( A п) = qn,

найдем вероятность того, что ни одно из событий А1, А2, ..., Аn в опыте не наступит:

Р(В) = q1q2 …qn.

В этом случае искомая вероятность, т.е. вероятность появления хотя бы одного события, определяется как вероятность противоположного со бытия

P(B) 1 P(B) 1 q1q2 …qn.

Пример 7. Вероятности своевременного выполнения задания тремя независимо работающими фирмами соответственно равны 0,5; 0,7; 0,9. Найти вероятность своевременного выполнения задания хотя бы одной фирмой. Решение: Пусть событие А – своевременное выполнение задания хотя бы одной фирмой. Ему противоположным будет À - ни одна фирма не уложилась в срок. Тогда вероятности невыполнения задания в срок фирмами соответственно равны: 0,5; 0,3; 0,1. Так как они работают независимо друг от друга, то

Р( А) 1 Р( А) 1 0,5 0,3 0,1 0,985 .

Формула полной вероятности и формула Байеса. Если некоторое событие В совершается с одним из n несовместных событий A1, A2, ..., Аn образующих полную группу событий, то для определения вероятности этого события может быть использована формула полной вероятности

n

P(B) P( Ai )P(B / Ai ),

i 1

где P(Ai) — вероятность события Аi; P(B/Ai) — условная вероятность события В.

Для определения вероятности события Ai при условии, что произошло событие В, используется формула Байеса

11

P(B)

P( Ai / B) P( Ai )P(B / Ai ) .

Пример 8. На автозавод поступили двигатели от трех моторных заводов. От первого завода поступило 10 двигателей, от второго – 6 , от третьего – 4 двигателя. Вероятности безотказной работы этих двигателей в течение гарантийного срока соответственно равны 0,9; 0,8; 0,7. Какова вероятность того, что:

а) установленный на машине двигатель будет работать без дефектов в течение гарантийного срока;

б) проработавший без дефекта двигатель изготовлен на первом заводе?

Решение: Обозначим через А1, А2, А3 события установки на машину двигателей, изготовленных соответственно на первом, втором, третьем моторных заводов. Вероятности этих событий равны:

Р(А1) = 0,5; Р(А2) = 0,3; Р(А3) = 0,2.

а) Вероятность того, что наугад взятый двигатель проработает без отказа в

течение гарантийного срока (событие В), найдем по формуле полной вероятности:

Р(В) = Р(А1) Р(В/А1) + Р(А2) Р(В/А2) + Р(А3)

Р(В/А3) 0,5 0,9 0,3 0,8 0,2 0,7 0,83.

б) Если двигатель проработал без дефектов гарантийный срок, то вероятность того, что он изготовлен на первом заводе, найдем по формуле Байеса:

P( A / B)	P( A1 )P(B / A1 )		0,5 0,9		0,45	0,54.
1	P(B)	0,83		0,83

Формулa Бернулли. Если при проведении испытаний вероятность появления события А не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называются независимыми.

Формула Бернулли определяет вероятность появления ровно m раз события А в серии из п независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равна р:

Pn (m) Сnm pm qn m ,

где

12

	Cnm	n!		, q 1	p
		m!(n m)!

В ряде случаев требуется определить вероятности появления события А менее т раз (X < т), более т раз (X > т), не менее т раз (X ≥ т), не более т раз (X ≤ т).

В этих случаях могут быть использованы формулы

P(X < т) = Рn(0) + Рn(1) + ... + Рп(т - 1),

P(X > т) = Рп(т + 1) + Рп(т + 2) + ... + Рп(п), Р(Х ≥ т) = Рn(m) + Рn(m + 1) + ... + Рп(п), Р(Х ≤ m) = Рn(0) + Рn(1) + ... +Pn(m).

Вероятность наступления события А хотя бы один раз при проведении n независимых испытаний, удовлетворяющих схеме Бернулли, равна

Pn (m 1) 1 q n , где q = 1 - p

Наивероятнейшее значение m0 числа наступления события А в n независимых испытаниях, удовлетворяющих схеме Бернулли, вычисляется по формуле

np - q ≤ m0 ≤ np + p.

Пример 9. Магазин получил 50 пар обуви. Вероятность брака в партии равна 0,05. Найти наиболее вероятное число бракованных пар обуви в этой партии.

Решение. Проводится 50 повторно-независимых испытаний с двумя исходами в каждом (брак, стандарт). Вероятность появления бракованной пары обуви в каждом испытании постоянна и равна р = 0,05; тогда q = 0,95.

Считаем по формуле:

50 0,05 0,95 m0 50 0.05 0.05

1,55 ≤ m0 ≤ 2,55

Так как число пар обуви может быть только целым, то наиболее вероятное число бракованных пар в этой партии равно 2.

13

Приближенные формулы в схеме Бернулли. При большом числе опытов по схеме Бернулли удобнее пользоваться приближенными формулами.

1. Локальная формула Муавра-Лапласа.

				1				1				x2
		(m)								e
Если npq ≥ 10, то	Pn										2
				npq				2

								m np
где вероятность p отлична от			0		и		1 (p 0,5 ), х =				. Для облегчения
									npq
		1				х 2
вычислений функция (х)				e		2	представлена в виде таблицы (прил. 1).
		2

(х) функция вероятности нормального распределения имеет следующие

свойства:

1)(х) четная, то есть ( х) (х). ;

2)точки перегиба х = 1;

3)при х ≥ 4, (х) 0 , поэтому функция (х) представлена в виде таблицы

(затабулирована) для 0 ≤ х ≤ 5 (прил. 1).

2. При больших n и малых р вычисления по формуле Бернулли достаточно трудны и грамоздки.

В этих случаях обычно используется формула Пуассона

P n (m) m e , np. m!

Значения функции даны в приложении 2.

Пример 10. Стрелок выполнил 400 выстрелов. Найти вероятность 325 попаданий, если вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,8.

Решение: npq 400 0.8 0.2 64 10 , следовательно, по формуле Муавра-

Лапласа:

Pn (m)			1					(х),	где			х	m	np		,
			npq
														npq
P (325 )			1			(0,63)				1	0,3271 0,041 .
400			64						8
							14

Пример 11. Завод отправил 5000 доброкачественных изделий. Вероятность того, что в пути разбили одно изделие, 0,0002. Найти вероятность того, что в пути будет повреждено 3 изделия.

Решение:	npq 5000 0,0002 0,9998 0,9998 10 . и р < 0,1, поэтому
применяем формулу Пуассона, где = np = 5000 0,0002 1.
к = 3 : P5000	(3)	13	е 1	1	0,061 .
	3!			6е

3. при больших значениях n, для вычисления вероятности того, что произойдет от k1 до k2 событий по схеме Бернулли, используется интегральная формула МуавраЛапласа:

Рn (k1 ≤ m ≤ k2) = Ф(х2) - Ф(х1),

где х1 к1 np , x2 к2 np ,Ф(x) функция Лапласа. npq npq

Ф(х) имеет следующие свойства:

1) Ф(-х) = - Ф(х) - функция нечетная, поэтому достаточно применять ее для неотрицательных значений х:

			1		х	t 2
	Ф(х)				е 2 dt;
			2
					о

2)функция Ф(х) возрастает на всей числовой оси;

3)при х ≥ 4, Ф(х) 12 ( у 0,5 горизонтальная асимптота при х > 0), поэтому

функция представлена в виде таблицы для 0 ≤ х ≤ 5 (прил. 1); Пример 12. Стрелок выполнил 400 выстрелов, вероятность одного

попадания равна 0,8. Найти вероятность того, что он попадет от 310 до 325 раз. Решение. Р400 (310 ≤ х ≤ 325) = Ф(х2) - Ф(х1), где

х2	к2	np			325 320					5	0,63,	х1	к np				310 320				10	1,25,
													1
										8											8
		npq			64									npq			64

Р400 (310 ≤ х ≤ 325) Ф(0,63) - Ф(-1,25) = Ф(0,63) + Ф(1,25) =

= 0,2357+ 0,3944 = 0,6301.

15

ВАРИАНТ № 1

1.В группе 12 студентов, среди которых 8 отличников. По списку наудачу отобраны 7 студентов. Найти вероятность того, что среди отобранных студентов 4 отличника.

2.Вероятность одного попадания в цель при одном залпе из двух орудий равна 0,38. Найти вероятность поражения цели при одном выстреле первым из орудий, если известно, что для второго орудия эта вероятность равна 0,8.

3.Имеется 3 урны. В первой урне 2 белых и 2 черных шара. Во второй урне 2 белых и 3 черных шара. В третьей урне 3 белых и 5 черных шаров. Вероятность выбора урны соответственно равна: 1/10, 1/5, 3/10. Выбирается наугад одна из урн и вынимается из нее шар. Найти вероятность того, что этот шар белый.

4.Вероятность выигрыша по облигации займа за все время его действия, равна 0,25. Какова вероятность того, что некто, приобретя 9 облигаций, выиграет не менее, чем по 7 из них.

5.Вероятность рождения мальчика равна 0,52. Найти вероятность того, что среди 100 новорожденных окажется 50 мальчиков.

ВАРИАНТ № 2

1.В ящике 100 деталей, из них 10 бракованных. Наудачу извлечены 5 деталей. Найти вероятность того, что среди извлеченных деталей нет бракованных.

2.Для сигнализации об аварии установлены два независимо работающих сигнализатора. Вероятность того, что при аварии сигнализатор сработает, равна 0,9 для первого сигнализатора и 0,85 для второго. Найти вероятность того, что при аварии сработает только один сигнализатор.

3.На сборочное предприятие поступили однотипные комплектующие с трех заводов в количестве: 25 с первого завода, 35 со второго, 40 с третьего. Вероятность качественного изготовления изделий на первом заводе 0,9, на втором 0,8, на третьем 0,7. Какова вероятность того, что взятое случайным образом изделие будет качественным?

4.Сколько раз надо подбросить игральную кость, чтобы наивероятнейшее число выпадений двойки было равно 32?

5.Вероятность появления события в каждом из 2100 независимых испытаний равна 0,7. Найти вероятность того, что событие появится не менее 1470 и не более 1500 раз.

16

ВАРИАНТ № 3

1.В коробке 5 одинаковых изделий, причем 3 из них окрашены. Наудачу извлечены 2 изделия. Найти вероятность того, что среди двух извлеченных изделий окажется одно окрашенное.

2.Студенты выполняют контрольную работу в классе контролирующих машин. Работа состоит из 3 задач. Для получения положительной оценки достаточно решить две. Для каждой задачи зашифровано 5 различных ответов, из которых только один правильный. Студент Иванов плохо знает материал и поэтому выбирает ответы для каждой задачи наудачу. Какова вероятность того, что он получит положительную оценку?

3.В урне 2 белых шара и 4 черных. Последовательно, без возврата, берут 2 шара. Какова вероятность того, что второй из шаров будет черным?

4.На сборочное предприятие поступили однотипные комплектующие с трех заводов в количестве: 15 штук с первого завода, 25 - со второго, 10 - с третьего. Вероятность качественного изготовления изделий на первом заводе равна 0,8, на втором - 0,7, на третьем - 0,7. Какова вероятность того, что взятое случайным образом изделие будет качественным?

5.Для нормальной работы автобазы на линии должно быть не менее 8 автомашин, а их имеется 10. Вероятность невыхода каждой автомашины на линию равна 0,1. Найти вероятность нормальной работы автобазы в ближайший день.

ВАРИАНТ № 4

1.Набирая номер телефона, абонент забыл последние 3 цифры и, помня лишь, что эти цифры различны, набрал их наудачу. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры.

2.На 30 одинаковых жетонах написаны 30 двузначных чисел от 11 до 40. Жетоны помещены в пакет и перемешаны. Какова вероятность вынуть жетон с номером, кратным 3 или 2?

3.В вычислительной лаборатории имеются 6 клавишных автоматов и 4 полуавтомата. Вероятность того, что за время выполнения некоторого расчета автомат не выйдет из строя равна 0,95, а для полуавтомата эта вероятность равна 0,8. Студент производит расчет на наудачу выбранной машине. Найти вероятность того, что до окончания расчета машина не выйдет из строя.

4.В партии смешаны детали двух сортов: 80% первого и 20% второго. Сколько деталей первого сорта с вероятностью 0,0967 можно ожидать среди 100 наудачу взятых деталей (выборка возвратная)?

5.Монету бросают 5 раз. Найти вероятность того, что «герб» выпадет не менее 2 раз.

17

ВАРИАНТ № 5

1.На складе имеется 15 кинескопов, причем 10 из них изготовлены в Китае. Найти вероятность того, что среди пяти взятых наудачу кинескопов 3 изготовлены в Китае.

2.В одной коробке 10 желтых шаров и 10 красных, а в другой 15 желтых и 10 красных. Из каждой коробки берут по одному шару. Какова

вероятность, что шары окажутся одинакового цвета?

3.Количество единиц продукции, изготовленной тремя станками находится в отношении 3:5:2. Соответственно 80%, 70%, 75% единиц продукции этих станков проверено ОТК. Наудачу взятое изделие оказалось без штампа ОТК. Какова вероятность того, что изделие изготовлено на первом станке?

4.При установившемся технологическом процессе фабрика выпускает в среднем 70% продукции первого сорта. Чему равна вероятность того, что в партии из 1000 изделий число первосортных заключено между

652 и 760?

5.Испытывается каждый из 15 элементов некоторого устройства. Вероятность того, что элемент выдержит испытание, равна 0,9. Найти наивероятнейшее число элементов, которые выдержат испытание.

ВАРИАНТ № 6

1.Имеется 6 карточек с номерами 1, 2, 3, 4, 5, 6. Наудачу берутся 3 карточки. Какова вероятность, что произведение номеров карточек делится на 5?

2.Брошены 3 игральные кости. Найти вероятность того, что на каждой из выпавших граней появится 5 очков.

3.В одном ящике 20 стандартных деталей и 5 нестандартных, а в другом ящике 10 стандартных и 2 нестандартных детали. Из первого ящика взяли одну деталь и переложили во второй. Наугад берется деталь из второго ящика. Какова вероятность, что эта деталь стандартная?

4.Вероятность того, что станок в течение часа потребует внимания рабочего, равна 0,6. Предполагая, что неполадки на станках независимы, найти вероятность того, что в течение часа внимания рабочего потребуют не более двух станков из четырех обслуживаемых им.

5.Вероятность появления события в каждом из 100 независимых испытаний постоянна и равна р=0,8. Найти вероятность того, что событие появится не менее 75 раз и не более 90 раз.

18

ВАРИАНТ № 7

1.На пяти карточках написаны цифры от 1 до 5. Последовательно наудачу выбираются 3 карточки и раскладываются в порядке поступления в ряд слева направо. Какова вероятность того, что полученное число не будет содержать цифры 3?

2.В студии телевидения 3 телевизионных камеры. Для каждой камеры вероятность того, что она включена в данный момент равна 0,6. Найти вероятность того, что в данный момент включена хотя бы одна камера.

3.Два датчика посылают сигнал в общий канал связи, причем первый из них посылает вдвое больше сигналов, чем второй. Вероятность получить искаженный сигнал от первого датчика равна 0,05, а от второго – 0,04. Какова вероятность того, что наугад выбранный из общего канала связи сигнал будет искаженным?

4.В новом микрорайоне поставлено 10000 кодовых замков на входных дверях домов. Вероятность выхода из строя одного замка в течение

месяца равна 0,001. Найти вероятность того, что за месяц откажут 3

замка (e-10 = 0,000045).

5.В магазине выставлены для продажи 20 изделий, среди которых 6 изделий некачественные. Какова вероятность того, что взятые случайным образом 2 изделия будут некачественными?

ВАРИАНТ № 8

1.Из 60 вопросов, входящих в экзаменационные билеты, студент подготовил 50. Какова вероятность того, что взятый наудачу билет, содержащий два вопроса, будет состоять из подготовленных им вопросов?

2.В первом ящике находится 1 белый, 2 красных и 3 синих шара. Во втором ящике находится 2 белых, 6 красных и 4 синих шара. Из каждого ящика вынули по шару. Какова вероятность, что среди вынутых шаров нет синих?

3.Сообщение состоит из «точек» и «тире». Помехи искажают 2/5 «точек» и 1/3 «тире» (при искажении каждый сигнал переходит в

противоположный). В сообщении «точка» и «тире» встречаются в отношении 5:8. Определить вероятность того, что принят передаваемый сигнал, если принята «точка».

4.Завод отправил в торговую сеть 500 изделий. Вероятность повреждения изделия в пути равна 0,002. Найти вероятность того, что при транспортировке будет повреждено ровно 3 изделия.

5.Вероятность появления события в каждом из 100 независимых испытаний постоянна и равна р=0,8. Найти вероятность того, что событие появится не менее 75 раз.

19

ВАРИАНТ № 9

1.По телевидению передано 10 снимков, из них 3 с искажениями. Какова вероятность того, что два взятых наудачу снимка: а) не имеют искажений; б) один имеет искажение?

2.На тепловой электростанции 15 сменных инженеров, из которых – 3 женщины. В смену занято 3 человека. Найти вероятность того, что в смену мужчин окажется не более двух.

3.Электролампы изготавливают на трех заводах. Первый завод изготавливает 45% общего количества электроламп, второй – 40%, третий – 15%. Продукция первого завода содержит 70% стандартных ламп, второго – 80%, третьего – 90%. В магазин поступает продукция всех трех заводов. Какова вероятность того, что купленная в магазине лампа окажется стандартной?

4.В урне 10 белых и 5 черных шаров. Чему равна вероятность того, что , вынув наудачу с возвращением 14 шаров, получим белых не менее 12?

5.Найти наивероятнейшее число правильно набитых кассиром чеков среди 19, если вероятность того, что чек набит неверно, равна 0,1.

ВАРИАНТ № 10

1.В коробке находится 6 черных и 4 синих карандашей. Какова вероятность того, что два карандаша, взятые наудачу, окажутся одного цвета?

2.Вероятность поражения цели первым стрелком при одном выстреле равна 0,8, а вторым стрелком – 0,6. Найти вероятность того, что цель будет поражена только одним стрелком.

3.Четыре станка-автомата производят детали на общий конвейер. Вероятность получения брака на первом автомате равна 0,009, а на трех остальных – 0,006. Производительность у первого автомата вдвое больше, чем у каждого из остальных. Какова вероятность того, что наудачу взятая с конвейера деталь окажется дефектной.

4.При установлении режима работы цеха примерно 1% продукции идет с отклонением от нормы (брак). Найти вероятность того, что будут бракованы более двух единиц продукции из 100.

5.Чему равна вероятность р наступления события в каждом из 49 независимых испытаний, если наивероятнейшее число наступлений события в этих испытаниях равно 30?

20