Системы массового обслуживания (90

распределения с параметром µ = 12 автомашин/ч. Определите параметры системы.

Решение. Данная автозаправочная станция – это одноканальная СМО с

λ	λ		λ
S0	S1	S1+1	S1+2
μ	μ		μ

ограниченной очередью. Размеченный граф состояний имеет следующий вид:

Положим ρ = λ/µ = 10/12 = 5/6. Вероятность того, что на станции

нет

автомашин

(предельная

вероятность

состояния

S0),

равна

р0

1

1 5 / 6

0,322 , р1

р0

р0 (5 / 6) 0,322 0,268 .

m 2

1 (5 / 6) 2 2

1

Аналогично р

р1

р1 (5 / 6) 0,322 0,224 .

1

1

Вероятность отказа р

р

р

(5 / 6) 0,224 0,186 .

1

2

2

отк

Относительная пропускная способность Q = 1 – ротк = 1 – 0,186 = 0,814. Это вероятность того, что заявка будет обслужена.

Абсолютная пропускная способность A=λQ =10 ×0,814 =8,14 автомашин/ч.

Среднее число заявок в очереди

	Lоч 2	1 т (т 1 т )	(5 / 6)2	1 (5 / 6)2 (2 1 2 5 / 6)		0,596	автомашины.
		(1 т 2)(1 )		(1	(5 / 6)2 2)(1 5 / 6)

Отсюда среднее время пребывания заявки в очереди

Точ = Lоч/λ = 0,596/10 = 0,0596 ч = 0,0596 × 60 мин = 3,576 мин.

Среднее число автомашин под обслуживанием (среднее число занятых каналов) Lобсл= 1 – р0 = 1 – 0,322 = 0,678.

Тогда среднее число автомашин на станции Lсист = Lоч + Lобсл = 0,596 + +

0,678 = 1,274 автомашины.

Отсюда среднее время пребывания заявки в системе Тсист = Lсист/λ =

= 1,274/10 = 0,1274 ч = 0,1274 × 60 мин = 7,644 мин.

Пример 6. Автозаправочная станция имеет n = 2 бензоколонки с площадкой, допускающей пребывание в очереди на заправку не более трех автомашин одновременно. Если в очереди находятся т = 3 автомашины, то очередная прибывшая автомашина проезжает мимо автозаправочной станции.

Предполагается, что простейший поток автомашин поступает на станцию с интенсивностью λ = 10 автомашин/ч. Время обслуживания заявки есть случайная величина, которая подчиняется экспоненциальному закону

распределения с параметром µ = 12 автомашин/ч. Определите параметры системы.

Решение. Данная автозаправочная станция – это многоканальная СМО с

ограниченной очередью. Размеченный граф состояний имеет следующий вид:

	λ	λ	λ		λ	λ
S0	S1	2μ	S2	S2+1	S2+2	S2+3
	μ		2μ		2μ	2μ

Положим ρ = λ/µ = 10/12 = 5/6 ≈ 0,833. Вероятность того, что на станции нет автомашин (предельная вероятность состояния S0), равна р0. Предельная

вероятность состояния S1 равна р1																р0 р0					0,833 р0 .
Аналогично	р							р			р				5 / 6		0,347						р0 0,145 р0 ;
		2	1		2				2			2
										2					2
		р2 2								р2 1					р2 1				5 / 6		0,145 р0 0,060 р0 ;
							2						2						2
		р2 3								р2 2					р2 2					5 / 6			0,060 р0 0,025 р0 .
							2						2						2

Так как 1 = р0 + р1 + р2 + р2+1 + р2+2 + р2+3, то 1 = р0 + 0,833р0 + 0,347р0 + +

0,145р0 + 0,060р0 + 0,025р0 = 2,41р0.
Отсюда р0 = 1/2,41 ≈ 0,415; р1 ≈ 0,833р0 ≈ 0,833×0,415 ≈ 0,346;											р2
≈ 0,347р0 ≈ 0,347×0,415 ≈ 0,144; р2+1 ≈ 0,145р0 ≈ 0,145×0,415 ≈ 0,060;											р2+2 ≈
0,060р0 ≈ 0,060×0,415 ≈ 0,025; р2+3 ≈ 0,025р0 ≈ 0,025×0,415 ≈ 0,010.
Вероятность отказа pотк = p2+3 ≈ 0,010 (обе бензоколонки заняты, в
очереди нет свободных мест).
Вероятность того, что обе бензоколонки заняты, равна
	n		1 ( / n)m 1				(5 / 6)2		1 ((5 / 6) / 2)3 1
р				р	0					0,415 0,240 .
зан	n!		1 / n				2!		1 (5 / 6) / 2

Относительная пропускная способность Q= 1 – ротк = 1 – 0,01 = 0,99. Это вероятность того, что заявка будет обслужена.

Абсолютная пропускная способность А=λQ = 10 × 0,99 = 9,9 автомашин/ч.

Среднее число свободных от обслуживания каналов N0 = 2 × p0 + 1 × p1 = =

2 × 0,415 + 1 × 0,346 = 1,176.

Среднее число заявок в очереди равно:

	Lоч	n 1p0(1 ( / n)n (т 1 т / n))			(5 / 6)2 1 0,415 (1 ((5 / 6) / 2)3 (3 1 3(5 / 6) / 2))	0,141
		n n!(1	/ n)2		2 2!(1 (5 / 6) / 2)2

Среднее число автомашин под обслуживанием равно:

		n m					(5 / 6)2 3			0,825 .
Lобсл 1			p0		(5 / 6) 1				0,415
							23	2!
		n m n!

Тогда среднее число автомашин на станции

Lсист = Lоч + Lобсл = 0,141 + 0,825 = 0,966.

Пример 7. Бригада ремонтников из n = 2 человек обслуживает т = 4

станка. Предполагается, что поломки станков образуют простейший поток

заявок с интенсивностью λ = 0,1 раз/ч. Время ремонта каждого станка есть случайная величина, которая подчиняется экспоненциальному закону распределения с параметром µ = 0,5 станка/ч. Определите параметры системы.

Решение. Это замкнутая СМО. Приведенная интенсивность потока заявок

ρ = λ/µ = 0,1/0,5 = 0,2. Размеченный граф состояний этой замкнутой СМО имеет

4λ	3λ	2λ		λ
S0	S1	S2	S3	S4
μ	2μ	2μ		2μ

следующий вид:

Так как число возможных состояний конечно, существуют предельные вероятности: р0 (вероятность того, что все станки исправны),

р

4

р0 4 р0 4 0,2 р0

0,8 р0 ,

р

3

р 1,5 р1 1,5 0,2 0,8 р0

0,24 р0 ,

2

1

2

1

р3

2

р2 р2 0,2 0,24 р0 0,048 р0 ,

р4

р3 0,5 р3 0,5 0,2 0,048 р0

0,0048 р0 .

2

2

Так как р0 + р1 + р2 + р3 + р4 = 1, то 1 = р0 + 0,8р0 + 0,24р0 + 0,048р0 +

+

0,0048р0 = 2,0928р0.

Отсюда р0 = 1/2,0928 ≈ 0,478;

р1 = 0,8р0 ≈ 0,8 × 0,478 ≈ 0,382;

р2

= 0,24р0 ≈ 0,24 × 0,478 ≈ 0,115;

р3 = 0,048р0 ≈ 0,048 × 0,478 ≈ 0,023;

р4 =

0,0048р0 ≈ 0,0048 × 0,478 ≈ 0,002.

Средняя длина очереди Lоч = 1 × р3 + 2 × р4 = 1 × 0,023 + 2 × 0,002 = 0,027.

Среднее число заявок в системе Lсист = l × p1 + 2 × p2 + 3 × p3 + 4 × p4 =

= 1

× 0,382 + 2 × 0,115 + 3 × 0,023 + 4 × 0,002 =0,689.

Среднее число свободных от обслуживания ремонтников

N0 = 2 × р0 + l × р1 = 2 × 0,478 + 1 × 0,382 = 1,338.

Пример 8. В пункте химчистки имеется n = 2 аппарата для чистки. Поток посетителей предполагается простейшим с интенсивностью λ = 5 человек/ч.

Время обслуживания каждого посетителя есть случайная величина, которая подчиняется экспоненциальному закону распределения с параметром µ = 4

человека/ч. Среднее число посетителей, покидающих очередь, не дождавшись обслуживания, равно ν = 3 человека/ч. Определите предельные вероятности этой СМО, среднюю длину очереди, среднее число заявок в системе,

абсолютную и относительную пропускные способности, среднее число занятых аппаратов.

Решение. Размеченный граф состояний этой многоканальной СМО с

	λ	λ	λ	λ		λ
S0	S1	S2	S3		S4
	μ	2μ	2μ+v	2μ+2v		2μ+3v
λ		λ	λ	λ		λ
	S	S6		S7	S8	…
	5					…
2μ+3v		2μ+4v	2μ+5v	2μ+6v		2μ+7v

ограниченным временем ожидания имеет следующий вид:

Вероятность того, что оба аппарата свободны (предельная вероятность состояния S0), равна р0. Предельная вероятность состояния S1 равна

р1 р0 54 р0 1,25 р0 .

	Аналогично	р2			р1				5	1,25 р0			0,781 р0 ;
			2				2		4
		р3					р		2	5			0,784 р0 0,355 р0 ;
				2						2 4 3
										5
		р4							р3					0,355 р0 0,127 р0 ;
				2 2							2 4 2 3

р5					р4	5		0,127 р0 0,037 р0 ;
			2 3			2 4 3 3
р6					р5	5		0,037 р0	0,009 р0 ;
			2 4
						2 4 4 3
р7					р6	5		0,009 р0	0,002 р0 ;
			2 5			2 4 5 3
р8					р7	5		0,002 р0	0,000 р0 .
			2 6			2 4 6 3
Поэтому 1 = р0 + р1 + р2 + р3 + р4 + р5 + р6 + р7 + … ≈ р0 + р1 + р2 + р3 + р4 + + р5
+ р6 + р7 ≈ р0 + 1,25р0 + 0,781р0 + 0,355р0 + 0,127р0 + 0,037р0 + 0,009р0 +										+
0,002р0 = 3,561р0.

Отсюда р0 = 1/3,561 ≈ 0,281; р1 = 1,25р0 ≈ 1,25 × 0,281 ≈ 0,351; р2 = 0,781р0 ≈

0,781 × 0,281 ≈ 0,219; р3 = 0,355р0 ≈ 0,355 × 0,281 ≈ 0,100; р4 = 0,127р0 ≈ 0,127 ×

0,281 ≈ 0,036; р5 = 0,037р0 ≈ 0,037 × 0,281 ≈ 0,010; р6 = 0,009р0 ≈ 0,009 × 0,281 ≈ 0,003; р7 = 0,002р0 ≈ 0,002 × 0,281 ≈ 0,000.

Средняя длина очереди – это математическое ожидание числа посетителей, находящихся в очереди: Lоч = 1 × р3 + 2 × р4 + 3 × р5 + 4 × р6 = 1 × 0,100 + 2 × 0,036 + 3 × 0,010 + 4 × 0,003 = 0,214.

Среднее число заявок в системе – это математическое ожидание числа заявок в системе: Lсист = 0 × р0 + 1 × р1 + 2 × р2 + 3 × р3 + 4 × р4 + 5 × р5 + 6 × р6 = 1

× 0,351 + 2 × 0,219 + 3 × 0,100 + 4 × 0,036 + 5 × 0,010 + 6 × 0,003 = 1,301.

Некоторые посетители, не дождавшись обслуживания, уходят из очереди с интенсивностью v. Поэтому без обслуживания систему покидают в среднем vLсист человек/ч, то есть из λ посетителей будет обслужено лишь А = λ – vLсист = = 5 – 3 × 1,301 = 1,097 человек/ч. Это абсолютная пропускная способность.

Относительная пропускная способность Q = А/λ = 1,097/5 = 0,2194.

Среднее число занятых аппаратов Nзан = А/µ = 1,097/4 = 0,274.

Практические расчетные задания

Задача 1. Одноканальная телефонная линия. Заявка-вызов, поступившая в момент, когда линия занята, получает отказ. Простейший поток заявок поступает с интенсивностью λ = 60 звонков/ч. Время обслуживания заявки есть случайная величина, которая подчиняется экспоненциальному закону распределения. Средняя продолжительность разговора tобсл = 2,5 мин.

Определите показатели эффективности работы СМО.

Задача 2. Трехканальная телефонная линия. Заявка-вызов, поступившая в момент, когда все n = 3 канала заняты, получает отказ. Простейший поток заявок поступает с интенсивностью λ = 50 звонков/ч. Время обслуживания заявки есть случайная величина, которая подчиняется экспоненциальному закону распределения. Средняя продолжительность разговора tобсл = 2,5 мин.

Определите показатели эффективности работы СМО.

Задача 3. Первый магазин с одним продавцом, второй магазин с двумя продавцами. Предполагается, что в обоих случаях простейший поток покупателей поступает с интенсивностью λ = 10 человек/ч. Время обслуживания заявки есть случайная величина, которая подчиняется экспоненциальному закону распределения с параметром μ = 15 человек/ч.

Определите: среднее время пребывания покупателя в очереди; среднюю длину очереди; среднее число покупателей в магазине; среднее время пребывания покупателя в магазине; вероятность того, что в магазине не окажется покупателей; вероятность того, что в магазине окажется ровно 4

покупателя.

Задача 4. На склад для разгрузки поступает простейший поток грузовиков с интенсивностью λ = 3 грузовика/ч. Разгрузка одного грузовика занимает tобсл =

15 мин = 0,25 ч. Найдите параметры одноканальной СМО с фиксированным временем обслуживания.

Задача 5. Автозаправочная станция имеет п = 1 бензоколонку с площадкой, допускающей пребывание в очереди на заправку не более трех автомашин одновременно. Если в очереди находятся т = 3 автомашины, то очередная прибывшая автомашина проезжает мимо автозаправочной станции.

Предполагается, что простейший поток автомашин поступает на станцию с интенсивностью λ = 8 автомашин/ч. Время обслуживания заявки есть случайная величина, которая подчиняется экспоненциальному закону распределения с параметром µ = 10 автомашин/ч. Определите параметры системы.

Задача 6. Автозаправочная станция имеет n = 3 бензоколонки с площадкой, допускающей пребывание в очереди на заправку не более двух автомашин одновременно. Если в очереди находятся т = 2 автомашины, то очередная прибывшая автомашина проезжает мимо автозаправочной станции.

Предполагается, что простейший поток автомашин поступает на станцию с интенсивностью λ = 30 автомашин/ч. Время обслуживания заявки есть случайная величина, которая подчиняется экспоненциальному закону распределения с параметром µ = 20 автомашин/ч. Определите параметры системы.

Задача 7. Бригада ремонтников из n = 3 человек обслуживает m = 5

станков. Предполагается, что поломки станков образуют простейший поток заявок с интенсивностью λ = 0,2 раз/ч. Время ремонта каждого станка есть случайная величина, которая подчиняется экспоненциальному закону распределения с параметром µ = 0,4 станка/ч. Определите параметры системы.

Задача 8. В пункте химчистки имеется п = 4 аппарата для чистки. Поток посетителей предполагается простейшим с интенсивностью λ = 6 человек/ч.

Время обслуживания каждого посетителя есть случайная величина, которая

подчиняется экспоненциальному закону распределения с параметром µ = 5

человек/ч. Среднее число посетителей, покидающих очередь, не дождавшись обслуживания, равно v = 4 человека/ч. Определите предельные вероятности этой СМО, среднюю длину очереди, среднее число заявок в системе,

абсолютную и относительную пропускные способности, среднее число занятых аппаратов.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Проектирование процесса оказания услуг [Текст]: учеб. пособие / Г.В.

Верхов [и др.]; под общ. ред. Н.М. Комарова. – М.: Дело и Сервис, 2009. –

288 с.

2.Просветов, Г.И. Управление в сфере услуг: задачи и решения [Текст]: учебно-

практическое пособие / Г.И. Просветов. – М.:. Альфа-Пресс, 2009. – 184 с.

Системы массового обслуживания

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к семинарским занятиям по дисциплине

«Сервисная деятельность»

Составитель Тарасова Наталия Владимировна

Редактор Е.А. Федюшина

Подписано в печать

2012. Формат 60х84 1/16. Бумага офсетная.

Ризография. Печ. л. 1,5. Тираж 50 экз. Заказ №

Издательство Липецкого государственного технического университета.

Полиграфическое подразделение Издательства ЛГТУ.

398600, Липецк, ул. Московская, 30.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ