Элементы алгебры в курсе математики для учащихся начальных классов

Можно предложить детям выписать значения выражения 40–10:2. Ответы могут получиться разные: у одних значения выражения окажется равным 15, у других 35. Мнения анализируются, после выполнения нескольких подобных задания дети формулируют новое правило, которое через решение специальным образом подобранных упражнений осознанно усваивается учащимися.

* Поставьте вместо звездочек знаки действия так, чтобы равен-

ства были верными:
38 * 3 * 7	38 * 2 * 5 = 24	38 * 3 * 7 = 42	38 * 3 * 7 = 48
12 * 6 * 2 = 4	12 * 6 * 2 = 70	12 * 6 * 2 = 24
12 * 6 * 2 = 9	12 * 6 * 2 = 0

* Из заданных пар выражений выпишите только те, в которых вычисления выполнены по правилам порядка действий:

60 – 20 : 4 = 10	4 × 3 + 20 : 5 = 16
60 – 20 : 4 = 55	4 × 3 + 20 : 5 = 28.

V этап. На данном этапе ведется работа по обобщению знаний учащихся о порядке действий в выражениях, содержащих скобки и арифметические действия разных ступеней: сложение, вычитание, умножение, деление.

Детям предложить записать в тетрадь следующие числовые выражения:

(18 + 2) : 5 + 4 × 8 – 6 × 2 + 35 – 80 : 20 99 + 48 : 6 : 2 – (45 + 15) : 10 + (12 – 6)

и найти их значения.

После обсуждения мнений о правилах поиска значения выражений под руководством учителя дети формулируют правило выполнения порядка арифметических действий в подобных числовых выражениях. Затем вместе с детьми можно составить схему-опору.

Порядок выполнения действий

в числовых выражениях

+, –

Действия 2 ступени

*,

:

Действия 1 ступени

важные

сильные

+, – Сначала действия 1 ступени

*,

:

потом действия 2

ступени

(

),

+ , – , *, : Сначала действия в ( )

затем действия 1 ступени

потом действия 2 ступени

20

21

Числовые равенства и неравенства

В­ практике обучения в начальных классах числовые выражения с самого начала рассматриваются в неразрывной связи с числовыми равенствами и неравенствами. В математике числовые равенства и неравенства делятся на истинные и ложные. В начальной школе вместо этих терминов можно употреблять слова «верные», «неверные».

Процесс обобщения знаний о числовых равенствах и неравенствах можно организовать по-разному, например, так.

Дети имеют глубокое представление о числовых выражениях, о порядке выполнения действий, поэтомуможно предложить написать разные числовые выражения и, выбирая по 2, соединять их знаками отношений < ; > ; =:

18 – 6 = 34 + 2 9 – 5 > 3 + 7 13 – 7 + 2 < 14 + 8.

Сравнивая значения левой и правой частей данных записей, дети убеждаются в том, что числовые равенства и неравенства могут быть верными и неверными (в пассивный словарь детей вводятся термины «истинные», «ложные»). Дети учатся выделять существенные признаки подобных записей.

Два числовых выражения, соединенные знаком равенства, образуют числовое равенство, а знаками неравенства – числовые неравенства.

–Наличие 2-х числовых выражений.

–Наличие в записи знака равенства или неравенства.

Далее дети учатся по этим признакам распознавать их среди различныхобъектов.Затемдетидолжныосознатьтотфакт,чтоневсегда между двумя выражениями можно установить отношение равенства или неравенства. Для этого предложить учащимся найти значение ряда числовых выражений: 7 – 35; 48 : 9; 64 – 118; 21 : 5.

Подвести детей к выводу, что не существует натурального числа, являющегося значением каждого из них. На множестве натуральных чисел выражения не имеют смысла.

4:(8 – 8) 9 : 0 44 : 0.

Такие выражения тоже не имеют смысла на любом числовом множестве. Дети запоминают тот факт, что на нуль делить нельзя.

После закрепления данных заданий ученики смогут сделать вывод, что отношение равенства устанавливается между двумя числовыми выражениями, имеющими смысл. Два числовых выражения равны тогда и только тогда, когда их числовые значения совпадают.

Программапоматематикедляначальнойшколыставитпередучащимися задачу уметь сравнивать числовые выражения и записывать результат сравнения с помощью знаков. Школьники осуществляют сравнение двух выражений либо с опорой на наглядность, либо без наглядности, на основе использования теоретических знаний с применением элементов дедуктивных рассуждений. Предлагаемые задания помогут учащимся постепенно овладеть приемом сравнения. Это позволит им в дальнейшем самостоятельно применять его для использования изученного в новых условиях. Обучение сравнению числовых выражений с последующим обобщением знаний можно осуществить поэтапно.

Для этого нужно уточнить тот факт, что каждое число есть числовое выражение.

I этап. Сравнение чисел в натуральной последовательности. Его цель – показать учащимся возможность использования свойств натурального ряда для их сравнения.

* Учащимся предлагается последовательность чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 . . . Для каждого числа назовите предыдущее и последующиечисла.Длялюбогочисламожноназватьпредыдущеечисло? Последующее число?

Выберите любое число последовательности. Сравните его с предыдущим числом, последующим числом. Сформулируйте правило. Запишите результат сравнения с помощью знаков:

2 * 3 4 * 5 10 * 9 1 * 2. * Дана последовательность «сказочных» чисел:

.

22

23

Сравните	и	,				и	,	и

* Даны два соседних числа:

A < B K > M M > N. Как называется число В для числа А ? Число А для числа В? (Аналогично для других пар).

*	Может ли быть одновременно
1 < 2 и 1 > 2		>	и	<	.

* Сравните числа в каждой тройке: 1, 2, 3 0, 7, 8 8, 9, 10.

Запишите результат сравнения по образцу

2, 3, 4 2 < 3 2 < 3 < 4 2 < 4 3 < 4.

* Дана тройка последовательных чисел:

,

,

, А, B, C

α, β, γ.

Как называется число для числа ?

Число				для числа	?

Сравните числа в каждой тройке. Запишите результат сравнения с помощью знаков.

II этап. Сравните числа и выражения:

* Закончите предложения так, чтобы они выражали верную мысль:

«Если к числу прибавить 1, то оно станет . . .» «Если из числа вычесть 1, то оно станет . . . » а) больше; б) меньше;

в) последующим; г) предыдущим; д) следующим.

•Восстановите предложение: « . . ., то оно станет больше»; « . . . , то оно станет меньше»; « . . . , то оно не изменится».

•Не находя значения суммы, сравните:

3 + 0 * 3	2 * 2 = 0	4 + 4 * 1	3 * 3 + 2.
5 + 1 * 5	6 * 6 + 2	6 + 3 * 6
Сравните:
3 + 5 * 5	4 + 1 * 1	2 + 7 * 7.
Сравните, где возможно:
	+ 1 *	ε + 0 * ε.

24

25

– 1 *	α + 2 *				+ 2
– 2 *	.
III этап. Сравнение числовых выражений (сложных).
• Сравните, не вычисляя:
3824 : 4 * 4268 : 4	3624 : 2 * 3624 : 3
85 – 18 * 85 – 15	24 + 36 * 24 + 6
25 × 147 * 31 × 154.

• Сравните:

(321 – 18) × 304 * (452 – 15) × 204.

• Жители острова Рокфор имели обычай казнить всех чужеземцев. Исключение составляли лишь те, кто справлялся с головоломками Стивенса – мудрейшего жителя этого острова. Разгадайте одну из них:

Проверьте правильность решения с помощью вычислений. Таким образом, у младших школьников формируется осознанное

представление о числовых равенствах и неравенствах, при этом продолжается работа по развитию логического, абстрактного мышления.

Далее рекомендуется провести математические исследования по «открытию» некоторых свойств числовых равенств и неравенств:

a = b(u)	a > b(u)
a + c = b + c(u)	a + c > b + c (u)
a × c = b × c (u)	a × c > b × c(u)
a : c = b : c (u) c ≠ 0	a : c > b : c(u) c ≠ 0.

Далее разрабатываются карточки – задания, в которых требуется произвести ряд действий, выдвинуть гипотезу, сделать вывод.

26

27

Тождественные преобразования числовых выражений

Прежде нужно закрепить знания о числовом выражении, о числовом равенстве. Запись выражения, имеющего смысл, другим выражением из того же класса эквивалентности, при которой оба выражения соединяются знаком равенства, называется тождественным преобразованием.

Далее отрабатываются 2 правила, позволяющие преобразовывать числовые выражения так, чтобы каждое следующее было тождественно равно каждому из предыдущих:

Каждое выражение можно заменить любым другим, тождественно ему равным.

Выражение,получающеесяизданногоприменениякнемусвойств арифметических действий, является тождественно равным данному.

Тождественные преобразования дают возможность получать новые знания. Например, 6 + 3 . Сначала 3 заменяется суммой 2 + 1, затем к 6 прибавляется 2 и к полученному результату прибавляется 1. Это можно записать в виде цепочки тождественных преобразований так: 6 + 3 = 6 + (2 + 1) = (6 + 2) + 1 = 8 + 1 = 9 (Новое знание, прием прибавления по частям). Здесь использованы оба правила. Действительно, сначала число 3 заменили равным ему выражением, затем применили свойство ассоциативности сложения, после чего 6 + 2 и 8 + 1 заменили равным им выражением. Тождественные преобразованиячисловыхвыраженийтребуютопределеннойизобретательности, основанной на анализе данного выражения, предшествующем самим преобразованием, а также на знании свойств арифметических действий. Кроме того, тождественные преобразования совершенно точно аргументированы и являются примерами правильных дедуктивных рассуждений. Овладение умением производить тождественные преобразования позволяет младшим школьникам применять на деле свойства арифметических действий, а следовательно, способствует их пониманию и запоминанию, развивает умение обосновывать свои

действия, приучает ум к дедукции. Овладение таким умением является очень важным с точки зрения подготовки младших школьников

кизучению курса алгебры в среднем звене (и в дальнейшем).

Вметодической литературе предлагаются задания для младших школьников, направленные на овладение тождественными преобразованиями.

* Из данных записей выберите те, которые являются числовыми выражениями: 2 , + , 28 : 4, (18 + 15) – (32 × 4), m + n, (29 – 32) : 5.

* Найдите значения тех выражений, которые сможете вычислить:

2 + (5 – 4); (3 – 6) + 2; (8 + 12) – (5 – 5); (28 : 1) – (28 × 1); (135 × 29) : (234 – 234).

*Сравните выражения и найдите их значения: (8 + 6) : 2 + 22 : 1 * (8 + 6 : 2 + 22) : 11;

(((42 – 2) – 4) : 9) – 3 * ((42 – 2) – 4) : (9 – 3).

*С помощью тождественных преобразований найдите значения выражений:

168 : 7 + 4 × 25 – 24; 28 000 + 12 000 : 6 × 7 – 24 : 8;

60 × 3 : 2 × 6 – 81 : 9;

630 : 70 + (20 – 5) – (13 + 2).

*Поставьте скобки в данном выражении так, чтобы его значение было равно 0; 40; 100:.

18 + 21 : 3 – 5 × 5.

*Составьте выражения, равные данному, так, чтобы количество действий увеличилось на одно, на два, на три:

63 : 7

21 × 2

24 – 4.

28

29

Буквенные выражения

В начальных классах предусматривается проведение подготовительной работы по раскрытию смысла переменной в тесной связи с изучением нумерации и арифметических действий. Подготовительная работа проводится по уровням.

1 уровень – ознакомление с буквами латинского алфавита. Нужно объяснить детям, что на уроках математики будут исполь-

зованы малые буквы латинского алфавита, научить писать, читать буквы, использовать для записи алгебраических выражений.

2 уровень – решение задач с недостающими данными. Предлагаются тексты, например, такие: Миша прочитал . . . книг

и . . . сказок. Сколько всего книг прочитал Миша? Подбирая числа вместо точек, дети получают задачи одинакового содержания. Одну задачу подробно разбирают вместе с учителем, с остальными дети работают по аналогии. Задач можно составить много. Числа подбираются по мере изучения.

3 уровень – запись выражений, отражающих определенную си - туацию и выполнение расчетов. Желательно обыграть сюжет посещения детского кафе. Детям раздаются меню кафе. Они выясняют, что в кафе можно купить и по какой цене.

Например: чай – 6 рублей, булочка – 12 рублей, сосиска в тесте – 17 рублей, кофе – 10 рублей и т.д.

Учитель предлагает кратко записать содержание меню: ч – чай, к – кофе, в – вода (минеральная), б – булочка, г – гамбургер и т.д.

Учатся записывать кратко заказ и просчитывать его стоимость. Например: ч + б + 2 г (чай, булочка, 2 гамбургера); 2 ч + 3 к + 5 с + 2 в.

4 уровень – определение значений выражений: 3 a + 8 – b при a = 5, b = 1;

7 y – 3 x : c при y = 2, x = 8, c = 6.

На этапе ознакомления с буквенными выражениями дети работают с выражениями, содержащими «окошечки»:

× 2		+ 5		.

Что означает «окошечко» (некоторое число); подставляя в него конкретное число, дети находят значение выражения.

Затем анализируются записи заказов и выделяется их сходство и отличие. Договоримся (математически договорились) вместо «окошек», букв в заказе использовать малые буквы латинского алфавита a × 2 b + 5 : c.

Дети должны осознать, что буква – это некоторое число. Они учатся составлять различные записи типа 3 × a + b + c + 127;

a x + b + 8 – 5; выделяют в них существенное:

1)запись;

2)состоит из чисел и букв, соединенных знаком арифметических действий.

По этим признакам дети учатся распознавать подобные записи среди других.

Младшие школьники, таким образом, получают представление

обуквенном выражении. Нужно при этом использовать словарную карточку:

Буквенное выражение

Для овладения младшими школьниками представлений о буквенном выражении можно использовать такие типы заданий:

Чтение буквенных выражение: x + y; a + b + c; 3 × a + 2 × b; 7 × x – y.

Переход от буквенных выражений к числовым: b + d; b = 15;

d = 3; 15 + 3, придавая буквам различные числовые значения, выяснить, сколько числовых выражений можно получить.

Нахождение числовых значений буквенных выражений при заданных значениях букв: k – c, при k = 10, c = 2.

Подбор детьми числовых значений букв, входящих в выражение и нахождение значения выражения c x m.

30

31

Формирование понятия «постоянная»:

15	8	записать сумму	15 + 8
7	8		7 + 8
6	8		6 + 8
3	8		3 + 8
a	8		a + 8.

Предложить понаблюдать за выражениями и спросить, что заметили? (2-е слагаемое одинаковое, постоянно).

Преобразование таблицы с тремя графами в таблицу с двумя графами и наоборот:

b	20	20	20	20	m	5 8 11 15
m	5	8	11	15	20 – m
b – m

Дети должны понять, что буква может принимать не только разные, но и одинаковые значения.

Формирование понятия «область определения выражения» (в не-

явном виде): d – 25; 13 k; m + 13; 16 : a; c : d. Какие значения может принимать переменная (буква)?

Использование букв как средства обобщения знаний:

–записывать при помощи букв свойства арифметических действий:

a + b = b + a a + (b + c) = (a + b) + c;

–записывать связь между компонентами и результатом действия:

a + a + a + a + a = 5 × a 8 b = b + b + b + b + b + b + b + b;

–прочитать записанные с помощью букв свойства, отношения, зависимости:

a > b

(a + b) – c

a × b = b × a;

–выполнить тождественные преобразования на основе знания свойств арифметических действий (5 + с) × 4;

–доказать справедливость высказываний при помощи числовых подстановок:

c + 12 > 1 + 10

d × 1 = d.

В алгебре символы служат для обозначения предметов.

– Встречаются ли в жизни графические символы? (ДА).

Детям предлагается рассмотреть ряд символов и ответить, что они означают:

$ &

–Придумать и нарисовать знаки-символы «не кричать», «учителям вход воспрещен», «твое имя», «парк отдыха», «продукт несъедобен».

–Написать символы для каждой из картинок.

Сложить символы.

Например: a + 2a + 4a = 7a

b + 5b + 6b =

10a + 3a + 2a =

4s + 3s + 7s =

9p +20p + 8p =

14p +20p + p =

t + 2t + t + 5t =

a + 5a + 16a =

15x + 5x + 16x =

26a + a + 2a + 3a =

q + 7q + 10q + q = 2m + 3m + 2m + 10m =

15z + 12z + z + z =

12a + 10a + a =

15d + 10d + d + 4d =

20x + 17x + 3x = .

32

33

Например: 2a + 3a + 3b + b =		5a + 4b
a + 2a + 3b =	2a + 5a	+ 4b + 2b =		6p + 2t + 5p + 4t =
4s + s + 3r + s =	5q + p + 2p + 6q		=	10p + 4q + q + 2q =
3x + 2y + x + 5y =	10a + 2c + a + 3c		=	7t + q + 3q + 3t =
h + h + 5h + 2j =	2s + 5s + x + s =			4k + 6y +k + 3y =
5x + x + t + 8t =	4e + 8c + 5e + c =			e + e + t + 9e + t =
12a + d + 9a + d =	b + 19k + 8k + 9b =			10y + x + 21y + y = .

Внимание: разные символы не складываются, не вычитаются. Вывод: использование буквенной символики способствует повышению уровня знаний, приобретаемыхмладшимишкольниками,го-

товит их к изучению систематического курса алгебры.

Уравнения в начальном курсе математики

Уравнение в начальном курсе математики трактуется как равенство, содержащее букву. Решить уравнение – значит узнать, при каких значениях буквы уравнение обращается в верное равенство. Одной из целей введения уравнений в начальный курс математики является обеспечение преемственности между начальным и средним звеном общеобразовательной школы. Понятие «уравнение» является одним из основных понятий математики. Можно выделить 3 этапа формирования представлений об уравнении в начальной школе.

1 этап – подготовительный. На этом этапе работа осуществляется по двум направлениям:

1) условие связи между компонентами и результатом арифметических действий:

7 + 8 = 15	34	– 11 = 23	18 × 2 = 36		45	: 5	= 9
15 – 7 = 8	23	+ 11 = 34	36 : 18 = 2		9 × 5 = 45
15 – 8 = 7	34	– 23 = 11	36 : 2 = 18		45	: 9	= 5 .

Нужно добиться, чтобы дети усвоили 8 правил. (Если из суммы вычесть первое слагаемое, то получим второе слагаемое и т.д.). Осознание учащимися этих правил осуществляется в процессе выполнения практических упражнений, при решении простых задач, при изучении состава числа;

2) подбор специальных упражнений – записей с «окошками», в процессе выполнения которых у младших школьников формируется представлениеопеременной,верноминеверномчисловомравенстве. Такие задания решаются способом подбора. Этот способ формирует осознанный и математически верный подход к решению уравнений, так как ученик сразу ориентируется на то, что подобранное им число он должен проверить, т.е. подставить его и выяснить, верное или неверное числовое равенство получили.

34

35

‪+ 3 = 12. Так, подставляя в «окошко» число 5, ученик убеждается, что при этом получится неверное числовое равенство 5 + 3 = 8 , а число 9 – верное числовое равенство.

В практике обучения чаще используют только такие задания, в этом случае функции заданий сужаются до закрепления состава чисел,испособподстановкитеряетсвойалгебраическийсмысл.Поэтому лучше задания формулировать так: «Какое равенство получим, если вставить в окошечко число 10», или «Объясни, почему числа 1, 2, 9, 5 нельзя вставить в окошко», или «Какое число нужно вставить в окошко, чтобы получить верное равенство». При подборе чисел ученик должен подумать, с какого числа его целесообразно начать. Идет подготовка к проверке решения уравнения. При нахождении значений числовых выражений учащиеся могут воспользоваться как знанием состава числа, так и вычислительными приемами (присчитывание и отсчитывание по частям). Способ подбора формирует не только осознанный подход к решению уравнений, но и предоставляет ученику возможность упражняться в закреплении вычислительных навыков и приемов.

2 этап. На этом этапе идет знакомство с уравнением и способами его решения. Введение понятия «уравнение» фактически сводится к замене «окошка» латинской буквой. (В математике принято неизвестные, входящие в уравнение, обозначать строчными буквами ла-

тинского алфавита x, y, z …):
‪+ 5 = 12	x + 5 = 12
‪- 8 = 20	y - 8 = 20 .

Вводится термин «уравнение». Дети учатся выделять существенные признаки данного понятия и распознавать их среди других математических объектов.

Сравнение двух видов записей 6 + ‪ = 9 и 6 + z = 9 позволяет детям самостоятельно справиться с поиском решения уравнения способом подбора. Нужно подчеркнуть, что именно такой метод ясно показывает смысл понятий «уравнение», «корень (решение) уравнения». Чтобы дети запомнили эти термины, можно использовать стихотворение:

Уравнение

Когда уравнение решаешь, дружок, Ты должен найти у него корешок. Значение буквы проверить несложно. Поставь в уравнение его осторожно. Коль верное равенство выйдет у вас, То корнем значения зовите тотчас.

Пусть требуется решить уравнение х + 12 507 = 206 734. Решить уравнение – это значит найти такое число, прибавляя к которому 12 507, получили 206 734. Можно заметить, что искомое число приблизительно равно 200000. Но 200000 + 12507 = 212507, что больше 206 734 примерно на 6000. Поэтому проверим число 194 000, полу-

чим 194 000 + 12 507 = 206 507, что меньше, чем 206 734. Увеличим число 194 000 на 200, получим 194 200 + 12 507 = 206 707, что меньше числа 206 734 на 27. Поэтому в качестве решения уравнения можно взять число 194227. Проверим 194 227 + 12 507 = 206 734. Таким об-

разом, корнем данного уравнения является число 194 227.

Все рассуждения, связанные с подбором решения уравнения и его проверкой, осуществляются устно. Способ подбора формирует у учащихся умение «оценивать», «анализировать» записанное уравнение, что создает благоприятные условия для решения уравнений с помощью «правил», например:

х+ 217 = 576

х= 576 – 217

х= 359 ответ: х = 359. 359 + 217 = 576

576 = 576 (u)

При решении уравнений детям полезно использовать памятку «Как решить уравнение»:

1.Прочитай уравнений по-разному.

2.Назови, что известно, что неизвестно.

3.Вспомни, как найти это неизвестное.

4.Найди это число, используя нужное правило.

5.Сделай проверку.

6.Запиши ответ.

36

37

3 этап. На этом этапе закрепляются представления об уравнении. Несмотрянато,чтоумениерешатьуравнениясамопосебеважно, значение уравнений выявляется только тогда, когда они применяются для решения задач практического содержания, т.е. выступают как метод моделирования конкретных фрагментов действительности.

Составить уравнение:

Ушофера две одинаковые канистры с бензином. Обе неполные.

Водной не хватает 8 литров, в другой – 4 литра. Чтобы освободить одну из канистр, шофер перелил весь бензин в одну канистру, но она осталась неполной. В ней не хватило 2 литра. Какова вместимость каждой канистры.

х – 8 + х – 4 + 2 = х х – 4 = 8 – 2 х = 10 л.

Каждая канистра имеет объём 10 литров.

Неизвестное число увеличили на 120, получили 270. Чему равно неизвестное число? Задуманное число уменьшили на 30, получили 180. Какое число задумали?

Дети учатся по данному тексту составлять уравнения, а затем его решают.

Полезно предлагать детям решать «задачи с весами».

• Чаши весов сбалансированы (весы находятся в равновесии).

х+х=10						х+х+х+х=12
2х = 10						х × 4 = 12
х = 5						х = 12 : 4
х = 3.

• Груз лежит на одной чаше весов, а гири на другой чаше:

х + х + х = х + х = 10

25 + 4х = 5х

3х = 2х + 10 3х – 2х = 2х – 2х + 10 х = 10.

4х = 2х + 20.

Груз лежит на обеих чашах весов. Можно предложить еще ряд заданий, направленных на овладение понятиями «уравнение», «решение уравнения» и методами решения простейших уравнений.

Задание 1.

1.1. Сравнить выражения:

12 + 0 12 + 2 12 + 5 12 + 8 12 + 20 12 + 28 12 + 100.

Найти значение каждого из этих выражений. Можно ли записывать эти выражения как 12 + х. Придумать еще выражения, которые так же можно записать. Какими числами заменили х в выражении

12 + х, если получились равенства:
12 + х = 12 +			5	12	+ х = 12 + 34	12 + х = 12 + 370.
1.2. Верны ли равенства:
72	: 3	= 6 × 4
72 : 3 + 5 = 6 × 4 + 5					72 : 3 + х = 6 × 4 + х
72 : 3 + 20 = 6 × 4 + 20
72 : 3 + 16 = 6 × 4 + 16
72 : 3 × 2 = 6 × 4 × 2

38

39