Электродинамика сплошных сред

В момент перехода в сверхпроводящее состояние магнитное поле выталкивается из тела (рис. 2.21). Это явление можно описать как возникновение отрицательной намагниченности M = −H.

T>TK	T<TK
	Рис. 2.21

В силу граничных условий нормальная составляющая внешнего магнитного поля Hn = 0 у поверхности, поэтому внешнее магнитное поле является тангенциальным к сверхпроводящему телу. В действительности в сверхпроводящем теле образуются поверхностные токи такой величины, что магнитное поле в теле обращается в ноль, т.е. среднее магнитное поле поверхностных токов компенсирует приложенное внешнее поле. Величина скин-слоя в данном случае порядка нескольких сот ангстрем ( 10−8 м). Следует отличать поведение сверхпроводника от поведения идеального проводника, у которого σ → ∞ и у которого магнитные силовые линии становятся «вмороженными» в среду. Идеальный проводник не является диамагнетиком, а является, как правило, обыкновенным линейным магнетиком, поэтому в нем создается распределение магнитного поля, определяемое внешними источниками.

Таким образом, сверхпроводник является идеальным диамагнетиком, т.е. у него µD 1, чтобы B = µDH → 0. В связи с этим можно рассмотреть два явления, связанные с поведением сверхпроводника в магнитном поле. В первом случае над токовым кольцом помещают сверхпроводящую сферу (рис. 2.22). На ее поверхности индуцируется ток, и вследствие диамагнитного эффекта возникают силы отталкивания.

161

Сфера висит над кольцом. В другом случае над кольцом из сверхпроводника помещают постоянный магнит. При этом он индуцирует в кольце незатухающий ток. Ток создает свое магнитное поле, которое будет отталкивать поле постоянного магнита. Магнит висит над кольцом.

B	B
	B
j	j

Рис. 2.22

Ранее было указано, что объяснение явления сверхпроводимости может быть достигнуто лишь с помощью методов квантовой теории поля. Однако некоторые существенные черты этого явления поддаются феноменологическому описанию с помощью дополнительных уравнений к уравнениям Максвелла. Для описания сверхпроводимости по «двухжидкостной» модели вводится представление о том, что в сверхпроводнике электроны разделяются на два типа: «нормальные» (которые ведут себя так же, как и в обычном металле), которые рассеиваются и испытывают сопротивление, и «сверхпроводящие», которые проходят сквозь металл без сопротивления. Ниже температуры TK весь ток переносится «сверхпроводящими» электронами. Для плотности тока запишем

j = jn + js,

(2.87)

где jn = σE – плотность тока нормальных электронов; js – сверхпроводящих. Так как сверхпроводящие электроны сопротивления не испытывают, то в присутствии электрического поля E каждый из них равномерно ускоряется согласно уравнению движения

m e¯	∂Us	= e¯E.	(2.88)
	∂t

162

C другой стороны,

js = Ns e¯Us,

(2.89)

где Ns – число сверхпроводящих электронов в единице объема. Поэтому

∂js		Ns e¯2
	=		E.	(2.90)
∂t
		m e¯

Будем считать, что сверхпроводник не обладает ферромагнитными свойствами, и пренебрежем токами смещения, тогда

∂B

∂t = − rot E,

C помощью (2.90) получим

∂B

∂t = −

Далее

rot B = µ0js.

	m e¯		rot	∂js	.
	Ns e¯			∂t

∂B		= −α rot rot	∂B			m e¯
				,	α =		.
∂t			∂t			µ0Ns e¯

Преобразуя двойной оператор ротора и учитывая, что

дим к уравнению

4B = 1 B,

α

(2.91)

(2.92)

div B = 0, прихо-

(2.93)

где B = ∂tB.

Уравнение (2.93) показывает, что при углублении в сверхпровод-
ник значение производной поля по времени B, описываемое решением
		/	√
к нулю.	h			i
B = B0 exp	−x			α , экспоненциально убывает и в пределе стремится

Однако вследствие идеального диамагнетизма сверхпроводника необходимо, чтобы значение самого поля было равно нулю, B = 0, что не следует из этого уравнения.

Основное предположение теории Ф. и Г. Лондонов состоит в том, что поле в сверхпроводнике удовлетворяет не только уравнению (2.93),

	но и уравнению	1
	4B =		B.			(2.94)
		α
	Решение этого уравнения выглядит так:
			√
	B(x) = B0 exp [−x/λL] , λL = α,					(2.95)

163

где λL называется лондоновской глубиной проникновения магнитного поля, т.е. на этой глубине поле убывает в e раз. Это аналог толщины скин-слоя для проводников. Индуцированный ток присутствует лишь в поверхностном слое, ограниченном глубиной проникновения. Вместо соотношения (2.92) согласно теории Лондонов нужно использовать следующее:

B = −µ0α rot js.

(2.96)

Уравнения (2.90) и (2.96) называются уравнениями Лондонов для сверхпроводника. Предсказания, полученные на основе уравнений Лондонов, качественно справедливы. Количественное соответствие было достигнуто с помощью теории Бардина, Купера Шриффера. Эти уравнения необходимо рассматривать как дополнительные условия, добавляемые к уравнениям Максвелла для описания сверхпроводящих токов. Сами же уравнения Максвелла остаются по-прежнему справедливыми и в этом случае.

Эффект квантования магнитного потока является следствием теории сверхпроводимости. Эффект возникает в несверхпроводящей среде, окруженной кольцом из сверхпроводника. Сверхпроводящие токи имеются в поверхностном слое глубиной λL сверхпроводящего кольца. На эту же глубину проникает вглубь кольца и внешнее магнитное поле.

Рассмотрим замкнутый контур l, проведенный в этом слое кольца, охватывающий его отверстие. Движение зарядов q со скоростью U, образующих ток, происходит под действием внешнего магнитного поля. Будем рассматривать в данном случае заряды, а не электроны. Условие квантования Бора-Зоммерфельда, примененное к импульсу заряда pq, проинтегрированному по упомянутому контуру l, выглядит следующим образом:

I I

pq · dl = (mqU + qA) · dl = nh, (2.97)

l l

где n – целое число, h – постоянная Планка.

164

Подставим сюда определение плотности сверхпроводящего тока (2.89) для заряда q и воспользуемся интегральным определением векторного потенциала:

IZ

	A · dl = B · dS = Qm,
l	S

где Qm – магнитный поток. Тогда уравнение (2.97) примет вид

Nsq2	Il	js · dl + Qm = q .	(2.98)
mq		nh

Левая часть уравнения определяет величину, квантованную условием Бора-Зоммерфельда. Эта величина называется флюксоидом. Если теперь переместить контур интегрирования достаточно глубоко внутрь кольца, то часть флюксоида, определяемая током js, обратится в нуль и уравнение (2.98) будет условием квантования магнитного потока Qm, проходящего сквозь отверстие в кольце,

Qm =	nh	= nQm.	(2.99)
	q	0

Здесь Qm0 – квант магнитного потока, называемый флюксоном. Квантование магнитного потока было предсказано Ф. Лондоном, а затем экспериментально подтверждено. Измерения флюксона показывают, что его значение соответствует q = 2 e¯, т.е.

Qm =	h	.	(2.100)
0	2 e¯

Таким образом, сверхпроводящий ток связан с движением частиц, обладающих удвоенным зарядом электронов, а именно – куперовских пар.

2.6.Взаимодействие плазмы с электрическими и магнитными полями

2.6.1. Виды плазмы

Фазовым состоянием большей части вещества (по массе около 99,9 %) во Вселенной является плазма. Все звезды состоят из плазмы,

165

идаже пространство между ними заполнено плазмой, хотя и очень разреженной. К примеру, планета Юпитер сосредоточила в себе практически все вещество Солнечной системы, находящееся в «неплазменном» состоянии (жидком, твердом и газообразном). При этом масса Юпитера составляет всего лишь около 0,1% массы Солнечной системы, а объем

итого меньше – всего 10−15%. При этом мельчайшие частицы пыли, заполняющие космическое пространство и несущие на себе определенный электрический заряд, в совокупности могут быть рассмотрены как плазма, состоящая из сверхтяжелых заряженных ионов.

Плазма – это частично или полностью ионизированный газ, в котором плотности положительных и отрицательных зарядов практически одинаковы. Не всякую систему заряженных частиц можно назвать плазмой. Плазма обладает следующими свойствами.

Достаточная плотность: заряженные частицы должны находиться относительно близко друг к другу, чтобы каждая из них взаимодействовала с целой системой близко расположенных частиц, состоящей из многих ионов. Условие считается выполненным, если число заряженных частиц N в сфере влияния (сфера радиусом Дебая RD) достаточно для возникновения коллективных эффектов (подобные проявления – типичное свойство плазмы):

RD3 N 1.

(2.101)

Приоритет внутренних взаимодействий: радиус дебаевского экранирования должен быть мал по сравнению с характерным размером плазмы. Этот критерий означает, что взаимодействия, происходящие внутри плазмы, более значительны по сравнению с эффектами на ее поверхности, которыми можно пренебречь. Если это условие соблюдено, плазму можно считать квазинейтральной:

RD	1.	(2.102)
L

Плазменная частота: среднее время между столкновениями частиц τ должно быть велико по сравнению с периодом плазменных колебаний 1/ωp, где ωp – частота плазменных колебаний (см. ниже). Эти колебания вызываются действием на заряд электрического поля,

166

возникающего из-за нарушения квазинейтральности плазмы. Это поле стремится восстановить нарушенное равновесие. Возвращаясь в положение равновесия, заряд проходит по инерции это положение, что опять приводит к появлению сильного возвращающего поля, возникают типичные механические колебания. Когда данное условие соблюдено, электродинамические свойства плазмы преобладают над молекулярнокинетическими:

τωp 1.

(2.103)

Плазма обычно разделяется на идеальную и неидеальную, низкотемпературную и высокотемпературную, равновесную и неравновесную, при этом довольно часто холодная плазма бывает неравновесной, а горячая равновесной.

Для описания плазмы в физике удобно измерять температуру не

вградусах, а в единицах измерения характерной энергии движения частиц, например в электрон-вольтах ( эВ ). Для перевода температуры

вэВ можно воспользоваться следующим соотношением:

1эВ = 11600 K .

Внеравновесной плазме электронная температура существенно превышает температуру ионов. Это происходит из-за различия в массах иона и электрона, которое затрудняет процесс обмена энергией. Такая ситуация встречается в газовых разрядах, когда ионы имеют температуру около сотен, а электроны около десятков тысяч K. В равновесной плазме обе температуры равны. Поскольку для осуществления процесса ионизации необходимы температуры, сравнимые с потенциалом ионизации, равновесная плазма обычно является горячей (с температурой больше нескольких тысяч K ). Понятие высокотемпературная плазма употребляется обычно для плазмы термоядерного синтеза, который требует температур в миллионы K .

Для того чтобы газ перешел в состояние плазмы, его необходимо ионизировать. Степень ионизации пропорциональна числу атомов, отдавших или поглотивших электроны, и больше всего зависит от температуры. Даже слабо ионизированный газ, в котором менее 1% частиц находятся в ионизированном состоянии, может проявлять некоторые

167

типичные свойства плазмы (взаимодействие с внешним электромагнитным полем и высокая электропроводность). Степень ионизации определяется как

α =

Ni

,

(2.104)

Ni + Nn

где Ni – концентрация ионов; Nn – концентрация нейтральных атомов. Концентрация свободных электронов в незаряженной плазме N e¯ определяется соотношением N e¯ = hZiNi, где hZi – среднее значение заряда ионов плазмы.

Для низкотемпературной плазмы характерна малая степень ионизации (до 1%). Поскольку такие плазмы довольно часто употребляются в технологических процессах, их иногда называют технологичными плазмами. Чаще всего их создают при помощи электрических полей, ускоряющих электроны, которые в свою очередь ионизируют атомы. Электрические поля вводятся в газ посредством индуктивной или емкостной связи. Типичные применения низкотемпературной плазмы включают плазменную модификацию свойств поверхности (алмазные пленки, нитридирование металлов, изменение смачиваемости), плазменное травление поверхностей (полупроводниковая промышленность), очистка газов и жидкостей (озонирование воды и сжигание частичек сажи в дизельных двигателях).

Горячая плазма почти всегда полностью ионизирована (степень ионизации 100%). Обычно именно она понимается под «четвертым агрегатным состоянием вещества». Примером может служить Солнце.

Наиболее типичными являются следующие формы плазмы. Искусственно созданная плазма:

•вещество внутри газоразрядных люминесцентных и неоновых ламп, плазменная панель;

•плазма в исследованиях, посвященных управляемому термоядерному синтезу;

•электрическая дуга в дуговой лампе, сварке, в плазмотроне;

•плазменные ракетные двигатели;

•плазма, создаваемая при помощи воздействия на вещество лазерным излучением.

Земная природная плазма:

168

•ионосфера;

•молния;

•пламя (низкотемпературная плазма). Космическая и астрофизическая плазма:

•Солнце и другие звезды (те, которые существуют за счет термоядерных реакций);

•солнечный ветер;

•космическое пространство (пространство между планетами, звездами и галактиками);

•межзвездные туманности.

2.6.2.Плазменные волны

До этого момента мы говорили о поперечных электромагнитных волнах. Теперь рассмотрим продольную электромагнитную волну. Рассмотрим холодную плазму, которая содержит в единице объема N одинаковых частиц с массой m и электрическим зарядом q. Для плазмы характерно дальнодействие кулоновских сил, благодаря чему она может рассматриваться как упругая среда. Если группу электронов в плазме сдвинуть из их равновесного положения (тяжелые ионы считаем неподвижными), то на них будет действовать электростатическая возвращающая сила, что и приводит к колебаниям. Ищем решение уравнений Максвелла в виде продольной волны k||E. Для нее rot E = 0, поэтому

d

1

d

d2

rot H =

−

rot rot E =

j + εε0

E = 0.

dt

µµ0

dt

dt2

Для производной по времени плотности тока в плазме

d

d

d

qE

j =

(NqhUi) ≈ Nq

(hUi) = Nq

.

dt

dt

dt

m

Отсюда следует, что

Nq2

d2

Nq2

− ω2εε0! E = 0.

E + εε0

E =

m

dt2

m

Уравнения Максвелла имеют решение в виде продольной волны,

Ez(z, t) = Ez0 e i (ωpt−kz),

169

лишь тогда, когда
ω = ωp = q r		N		= e¯ r		N e¯			(2.105)
							.
		mεε0				m e¯εε0

Здесь Ez – электрическое поле в направлении оси z; ε – диэлектрическая проницаемость плазменной среды; ωp – плазменная частота.

Таким образом, возмущения плазмы приводят к свободным колебаниям электронов вблизи положения равновесия с собственной частотой ωp. Плазменные электроны ведут себя как резонансная система. Этот собственный резонанс плазмы приводит к интересным эффектам. Например, при прохождении радиоволн сквозь ионосферу обнаруживается, что они могут пройти только в том случае, если их частота выше плазменной частоты, иначе они отражаются обратно. Поэтому для связи с космическими аппаратами используются высокие частоты. Если же мы хотим связаться с радиостанцией, расположенной где-то за горизонтом, то необходимы частоты меньшие, чем плазменная частота, иначе

сигнал не отразится обратно к земле.
Из специальной		формы			дисперсионного соотношения
ω(k) = ωp = C следует, что для плазменных волн
uph =	ω	=	c	,	ug = dω/dt = 0.
	k
			n

Для k < ωp/c или n < 1, что характерно для плазмы, фазовая скорость uph больше скорости света. С другой стороны, в холодной плазме не может распространяться волновой пакет, волны не переносят энергию. Поэтому чаще говорят не о плазменных волнах, а о плазменных колебаниях – их еще называют ленгмюровскими волнами. В теплой плазме эти колебания распространяются с малой групповой скоростью.

В физике для описания плазменных колебаний вводится квазичастица – плазмон, отвечающая квантованию плазменных колебаний, которые представляют собой коллективные колебания свободного электронного газа. Энергию плазмона можно оценить в модели почти свободных электронов как

s

Ep = ~ N e¯ e¯2 . m e¯εε0

170