Лекции по высшей математике Часть 1

где di} и	Ь\ (/,у = 2,5) - новые значения коэффициентов и правых частей
системы.
Второй шаг прямого хода.		Считая <4 * 0, исключим неизвестное

х2 из всех уравнений системы (3), кроме первого и второго. Следующие шаги прямого хода осуществляются аналогично.

Если в ходе элементарных преобразований матрицы получилась строка, в которой все элементы равны нулю, то ее отбрасывают (так как соответствующее этой строке уравнение является тождеством).

Если в результате преобразований матрицы получилась строка, соответствующая уравнению, в котором все коэффициенты при неизвестных равны нулю, а свободный член отличен от нуля, то делают вывод, что система (5.4) несовместна.

Не более, чем через s шагов прямого хода исходная расширенная матрица (5.5) преобразуется в эквивалентную матрицу так называемого

ступенчатого вида:

( Ч 0

Г О

*12

0

*1л ьхN

аи Ь[

От

где	г < 5 и г<п
	Второй этап (обратный ход метода Гаусса) заключается в решении
ступенчатой системы (5.7).		г = п , то ступенчатая система, соответствующая
	Если в матрице (5.7)
матрице , имеет треугольный вид:
	+ -12*2 +"'		=6,,
	а'ъХJ + --		(5.8)
			с
и	является определенной.	Единственное	решение системы (5.8) находим

обратным ходом метода Гаусса: из последнего уравнения вычисляем хт, из предпоследнего уравнения - , и далее, поднимаясь по системе вверх, находим

Хп-2 >• **»*l *

Если в ступенчатой матрице (5.7) г < п , то система, соответствующая ей, является неопределенной (имеет множество решений). В этом случае (п -г ) неизвестных хы,хг+2,...,х„ принимаются за свободные переменные, (т.е. они могут принимать любые значения), и обратным ходом из последнего уравнения системы вычисляется хг через свободные переменные *г+1 ,х„2,...,х т, из

предпоследнего уравнения - *г , через *^, *г + 2 и так далее определяются переменные *г_2,...,*,. При этом неизвестные *,,**,...,*, называются базисными.

Продемонстрируем метод Гаусса на конкретных примерах.

Пример 5.3. Решить систему методом Гаусса:

х\ +х2- *3 = 2, —2*1 + *2 &хз = 2, ДС| +2*2 + хз —6.

Решение, Запишем расширенную матрицу системы, отделив столбец свободных членов вертикальной чертой:

г 1	1	-1	2У
-2	1	6	2
Ч1	2	1	6)

Исключаем неизвестные хг из второго и третьего уравнений. Для этого ко второй строке прибавляем первую строку, умноженную на 2, а к третьей строке прибавляем первую строку, умноженную на-1. Получим:

f \	1	-1 2'		г\	1	-1 2'
0	3	4	6	0	1	2	4
^0	1	2		J)	3	4

(для упрощения вычислений поменяли местами второе и третье уравнения). Исключаем неизвестные х2 из третьего уравнения. Для этого вторую

строку, умноженную на -3, прибавляем к третьей строке:

f \	1	-1	2 ' '1	1	-1	2>
0	1	2	4 ~ 0	1	2	4
	0	-2	~6>	0	1	з,

(последнюю строку разделили на -2).

Полученной матрице соответствует система ступенчатого вида:

JCj +х2- *3 = 2, х2+2дг3 = 4, *3=3.

Эта система имеет единственное решение. Поднимаясь по системе снизу вверх, последовательно находим неизвестные *3, *2, xt . Таким образом,

[*1=7,

*2=-2,

*3= 3.

Пример 5.4. Решить систему методом Гаусса:

2х - у +z =-2,

1х +2y + 3z =-1, x - 3 y - 2 z = 3.

Решение. Запишем расширенную матрицу системы, переставив местами первое и второе уравнения, и преобразуем ее в эквивалентную:

" 1 2	3	- Г	п	2	3 - Г		"1	2	3 - г
2 - 1	1 - 2 ~ 0 - 5				- 5	0 - 0		- 5 - 5 0
- 3 - 2		3 ;	,0 - 5		- 5	4J		0	0

Последней строке матрицы соответствует невозможное равенство 0=4. Следовательно, система несовместна.

Пример 5.5. Решить систему методом Гаусса:

				х + 2у - 4z = 1,
				1
				2x + y - 5 z = - \ y
				х - у - z = -2.
Решение. Преобразуем расширенную матрицу системы:
г\	2	- 4	1 > т 2 - 4			1 '	и	2	- 4	1 '
2 1 - 5			-1	0 - 3	3 -3		0 -3		3	-3
I	- 11 -1		- ь	- 3	3	-з>		0	0	0 ,
Последнюю		строку		матрицы	отбрасываем,			т.к.		соответствующее ей

равенство 0=0 выполняется для любых значений неизвестных. Предпоследнюю

строку разделим на -3. Получим ^ ^	\х +2 y - 4 z =
	г.е. <
	[У- z = l.
Ступенчатая система является неопределенной. Придадим z значение /,

где t - произвольное число. Тогда из последнего уравнения системы у - 1 +1, а из

первого дг = 2f- 1. Таким образом,	система имеет бесконечно много решений,
каждое из которых может быть вычислено по формулам:
* - 2/ - 1,
у =t + 1,	где t - произвольное число.
z =

Каждое отдельное решение системы получается при каком-либо определенном значении /.

Например, если t =0 ,	то <
	К
если / = 2,	[* = 3>
	то <
	h
	* = -5,
если / = - 2,	то

z - - 2.

Пример 5.6. Решить систему методом Гаусса:

1Х \ + *2 + *3 + *4 =

х { + 2 х 2 + 2*4 = 5,

*1 + 3*2 - *3 + 3*4 = 7.

Решение. Преобразуем расширенную матрицу системы:

'1	I	1	1	3"	'1	1	1	1	3Л
1	2	0	2	5 ~ 0 1			-1	1	2 ~
		-1	3	7,	1°	2	- 2	2	4,

f \	1	1	1	3"
0	1	- 1	1	2
о	о	0	0	о>

Последнюю строку отбрасываем и получаем систему ступенчатого

вида:

{* 1 + * 2 + * 3 + * 4 = 3,

которая является неопределенной.

*2 —*3 + *4 = 2,

Т.к. в последнем уравнении три неизвестных, то *3 и *4 придадим произвольные значения г, и t2 соответственно, и из второго уравнения найдем *2, а из первого - *,. Таким образом, получим:

[*, = 1- 2/ь

*2 = 2 +/| —t2,

где /1?/2 - произвольные числа.

хз ='ь

* 4 =/2,

Если положить, например, ^ = 1, t2 = 0, то получим конкретное решение из бесконечного множества решений данной системы:

Ы = - 1,

*2 = 3,

*3=1,

*4 = 0.

5.4.Решение однородных систем линейных уравнений.

Рассмотрим однородную квадратную систему линейных уравнений

аи х1+-- + аХпхп =О,

			а 2\х \ + ‘-' + а 2пх п -			0.					(5.9)
		Рп\х\
	Очевидно,		что эта система всегда совместна						( rang А = rang А )		и
имеет	нулевое (тривиальное) решение хх =х2 =... = х„ =0 .
	Из	правила Крамера				вытекают		следующие		утверждения о
решениях рассматриваемой					системы.
								а \\		а \п
	Утверждение 5.1. Если определитель А= ...									* 0, то	система
								а п\		апп
(5.9)	является		определенной			и	имеет	только	тривиальное		решение:
*1 = *2 =■•■ = *#»= 0 ■
	Утверждение 5.2.			Если определитель А = 0, то система (5.9) является
	неопределенной.
	Замечание.		Если	система (5.9) является неопределенной (д = о), то
бесконечное множество ее решений находится методом Гаусса.
							Зх + 2 у - z = 0,
	Пример 5.7. Решить систему						2х -у +3г = 0,
							х + Ъу - 4г = 0.
	Р еш е ние .		Вычислим определитель А.
				3	2	- 1
			Д= 2 -1 3 = 12 +6-6-1 +16-27 = 0.
				1	3	- 4

В силу утверждения 5.2 система является неопределенной. Для нахождения ее решений применим метод Гаусса. Запишем расширенную матрицу системы, поставив последнее уравнение первым:

	г \	3 - 4		0"	г \	3	- 4 0Л		( \	3	- 4
	3	2	- 1	0	0	- 7	11	0
									1	1	'О
	,2	- 1	3	о,	1°	- 7	11	о,	0

Таким образом, имеем неопределенную систему:

:	)	•
х + Зу -		4z = 0

-7>/ + llz = 0

Для упрощения вычислений придадим z значение 7 / , где / - любое число, и выразим из второго уравнения у , а из первого уравнения найдем *. Получим

Г* = -5 /,

Jу - 11/, где / - произвольное число.

[* = 7/,

Пример 5.8. Решить однородную систему

3*, + 2 х 2 + *3 = О,

	2*| +3*2 + -«з = 0,
	12*i + *2 + З*3 = 0.
Решение. Вычислим определитель А.
3	2	I
д = 2	3	1= 27 + 4 + 2 - 6 - 1 2 - 3 = 12.
2	1	3

Поскольку д * о, то система имеет в силу утверждения 5.1 только тривиальное решение

х\ =о, *2 =0,

* 3= 0 .

Замечание. В общем случае неквадратные однородные системы решаются методом Гаусса. Однако, однородную систему из двух уравнений с тремя неизвестными можно решить изложенным далее способом.

Итак, рассмотрим систему:

| Д П *1	+ f l l2 * 2 + а |Э*Э = 0 ,		^
l ° 2 l * l	+ а П Х 2 + ° 2 3 Х Ъ = 0 -
Основная матрица системы имеет вид:		0,2	flj3>
		А = \ ° и ° п	0,3
		а 22	а 23з J)

Обозначим д . определитель квадратной матрицы, который получается из матрицы А вычеркиванием j-того столбца:

а 12	"13 ,	Д 2 = ° |1	"13 ,	д 3 = О ц	"1 2
0 2 2	"2 3	"21	" 2 3	"21	" 2 2

По теореме Кронекера-Капелли система (5.10) всегда совместна и имеет бесконечное множество решений, т.к. rang А = rang А < п, п = 3. Найти все решения системы (5.10) позволяют следующие утверждения.

Утверждение 5.3. Если хотя бы один из определителей системы

(5.10) Aj,	j = 1,3	отличен от нуля, то все			решения		системы	(5.10)
определяются по формулам:
		*1 = At/,
		- хг - -д 2/,		где / - произвольное число.
		* э = Д з'>
Утверждение 5.4.			Если	AJ =A2= A3=0 ,	то система (5.10)			имеет
бесконечное множество решений:
			='i>
		■х2=/2,			где /|,г2		- произвольные
		*3 =		(fl2l*l + а 22^)>
Пример 5.9.		Решить систему
				JЗх+2у - 2 =0,
				[2х-у +32=0.
Решение.		Вычислим определители Д,,Д2,Д,.
12	-1|		3 -1 = 9 + 2 = 11,		3	2
					д 3 =
Н - .	з г б - , = 5 ’		д >= 2 3		2 -1

Всилу утверждения 5.3 имеем:

х=5/,

	«у = - 11/,	где / - произвольное число.
	2 = -It,
Пример 5.10.	Решить систему	Зх+2y - z ~ 0,
		-9х-6у +32 =0.
Решение.	Вычислим определители А,, д2, А3.
А		-	= 0 .
			J

Очевидно, что система эквивалентна одному уравнению Зх +2у - z - о . Чтобы найти все множество ее решений, двум неизвестным придадим произвольные значения, а третье найдем из уравнения. Получим

Глава 2. Векторная алгебра

§6. Векторы

6.1.Основные понятия

При	изучении физических явлении		приходится иметь	дело с
величинами двух видов: скалярными и векторными.
Величины, которые полностью определяются своим численным
значением,	называются скалярными.	Примерами скалярных		величин

являются площадь, длина, объем, температура, масса и т.д.

Другие величины, например, скорость, ускорение, сила определяются не только своим числовым значением, но и направлением. Они называются векторными величинами.

Вектор - это направленный отрезок . Если точка А является началом

—►

вектора, а точка В- его концом, то вектор обозначается символом АВ или при однобуквенном обозначении а . Начало вектора называют точкой его

приложения. Вектор ВА (с начальной точкой В и конечной точкой А)

-4

называется противоположным вектору АВ. Вектор, противоположный

—►

вектору а , обозначается - а .

Числовой характеристикой вектора является его длина. Длиной (модулем) вектора называется число, равное длине отрезка, изображающего

вектор. Обозначается длина вектора АВ\ или

Вектор называется нулевым, если начало и конец его совпадают. Нулевой вектор не имеет направления и длина его равна нулю. Это позволяет отождествлять его с числом ноль.

Векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых,

—> -* называются коллинеарными. Коллинеарность векторов а и Ь обозначается

Два вектора называются равными, если они коллинеарны, имеют одинаковую длину и одинаково направлены. Из данного определения следует, что векторы, имеющие разные точки приложения и получающиеся один из другого параллельным переносом, равны.

Векторы, лежащие в одной плоскости или в параллельных плоскостях, называются компланарными.

Замечание. Вектор можно полностью охарактеризовать, указав его длину, расположение в пространстве и направление.

Под линейными операциями над векторами понимают операции сложения и вычитания векторов, а также умножение вектора на число.

/. Сложение векторов

Суммой двух

векторов

а

и

ь является

вектор с = а + 6 , который

можно найти по правилу треугольника или по правилу параллелограмма.

Правило треугольника. Если начало

—>

-»

вектора ь совпадает с концом вектора а ,

то вектор

с

= а +

Ь идет из начала

—>

—>

вектора а

в конец вектора Ь (см. рис. 1).

Рис. 1.

Правило

параллелограмма.

Если векторы

—►

—►

ь приложены к

а

и

одной точке,

то

вектор

с

= а +

Ь -

диагональ

параллелограмма,

построенного на векторах

—►

и

—►

а

ь ,

идущая из общего начала векторов

Рис. 2

—► —►

а И Ь (СМ. рИС. 2).

Для

нахождения

суммы

нескольких

векторов

а х + а 2 + ... + а к

( к е N ) применяется правило многоугольника.

Правило

многоугольника.

Суммой,

например,

четырех

векторов

a i,<*2, а з ,в 4

называется вектор d,

начало которого совпадает с началом

а А

вектора

a i,

а конец

с концом

d = fli + д 2+ д 3+ а А

вектора

а 4

при условии,

что точки

Рис. 3.

приложения

векторов

а 2,аз, я 4

совпадают

с

концом

предыдущего

слагаемого вектора (см. рис. 3).

Операция сложения векторов обладает следующими свойствами'.