Поведение конструкций из композитных материалов

Для синусоидальной импульсной нагрузки (рис. 3.5, а)					функция F( t)
и интеграл типа свертки P(t)		имеет вид
F ( t ) = F0 sin(тг/’/т ,)
F(t) = О	t > t ,
р ( () = f^F ( 0	sin Чн« 0	T )(1T
_ F 0r1[irsinMM, / - Ww,/,_ S in(^//,)]				for	(3142))
p ( f ) = F0* t] [sin Ummt + sin			)j,	f o r/ >	(3.143)

^- ‘ W r , , n

Для ступенчатой импульсной нагрузки (рис. 3.5, б) :

P ( t ) = ('F ( T ) sin ытл( / -	т) дт= - ^ - [1 - cos <omnf] 0 < f <
•'о	Ч и п

(3.144)

Р ( / ) = ■^-[coswm„ ( / - / 1) - c o s « mn/] / >г ,

(3.145)

Для триангулярной импульсной нагрузки (рис. 3.5, в ):

F{t) = F0{\ - / / < , )		0 < f	<г,
F(/) = 0		/ > / ,
Р(/) = ^ V ( T ) sin		-	r )d r
/г	Г		1	(3.146)
= —	1 - cos « „ ,„ /+ ----- - sin 0)mnt - ///,
^m/i

P ( 0 = F„

C O S (0„ /

cos o>mn(t - t]/2) sin « „ .„ (V * )

t > t ,

(3.147)

(О2 Л wmn 1

Изображенный на рис. 3.5, д триангулярный импульс моделирует нагружение при ядерном взрыве [10]. При этом в первой фазе длитель­ ность воздействия давления составляет несколько секунд, а во второй -

в течение нескольких милисекунд действует отраженная ударная волна.

Втечение этой короткой фазы давление вдвое больше, чем в первой фазе:

F ( / ) - F „ ( l - / / / , )

0 < / < / ,

F(t) = F0( \ - t / t 2)

0 < / < / 2

F(t) = 0

t > t 2

р (0 = Г ^ ( т )

sin 0)mn(t - T )d r

Jo

О)

1 -

cos u>m„t +

sin

^ ( 0 = ^0

------(1

- /

/ /3) c o s w mn( ' - '

i )

CO

1

COS

1

.

/

4 ,

1

•

mn*

----- ;----

Sin « „„,(/- /1 ) + —----

Sin

9

wmn13

w m n13

coz 11

co2

1

+ F, ы,1

{ \ - t / t 2) - ^ - ( \ - t / t 2)cosamn{t~t\)

+ ^

1

•

/

ч

—

Sin w„„, ( / - / , )

^nin

P( 0 - K

—

(1

-

' i / b )

cos <om„ ( / -

Г,)

w . . , „

1

cos am„t +

1

, .

/

V,

——

(sin u„„t -

sin umn(t -

Г,)}

JL<3

(3.148)

(3.149)

г— {sin «„,(< ~ h ) ~ sin wm„(/ - /,)} ( > t 2

(3.150)

И наконец, на рис. 3.5, г приведен экспоненциальный импульс модели­ рующий воздействие обычного неядерного взрыва. При этом параметр затухания а определяется эмпирически в результате сравнения с измене­ нием давления при реальном взрыве. Для этого случая имеем

F(/) = F0e - “'

P(t ) = ('F (T ) sin umn(t - т) d r

Jo

F) [Чия e at ^ c

Отметим, что хотя описанные выше функции нагружения приведены здесь для исследования поведения пластины из композитного материала при динамическом воздействии, они могут быть использованы и для дру­ гих целей.

Некоторые примеры таких задач рассмотрены в работе [10], в част­ ности, задача об ударе упругой сферы. Эта задача является нелинейной, и ее решение слишком сложно, чтобы приводить здесь. В упомянутой работе приводится также сравнение полученных результатов с решением методом конечных разностей. Кроме того, показано, что уравнения данно­ го раздела позволяют проанализировать поведение панели из композит­ ного материала в условиях динамического нагружения и вызывают труд­ ности лишь немного большие, чем при анализе статического нагруже­ ния. Разработана программа для настольного компьютера на языке Бэйсик, позволяющая решать задачи при разных видах динамического нагру­ жения. Это дает возможность отказаться от задания аппроксимированных кривых и приближенных функций динамического нагружения.

Изложенные в данном разделе материалы позволяют получать необхо­ димые выражения для пластин из композитного материала с учетом поперечной сдвиговой деформации под действием разных статических и динамических нагрузок при их раздельном или совместном рассмотрении. Точно такие же функции нагружения могут быть использованы для балок, оболочек и других видов элементов конструкций. После определения а(х, у), Р(х, у) и w могут быть определены максимальные прогибы и

напряжения для дальнейшей оценки прочности и устойчивости конструк­

ции.

Дополнительные сведения о поведении композитных пластин с учетом влияния поперечной сдвиговой деформации можно получить в работе [ 2].

3.12. НЕКОТОРЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ О КОМПОЗИТНЫХ КОНСТРУКЦИЯХ

До сих пор в этой главе рассматривались пластины, изготовленные из композитных материалов или изотропных, но рассматриваемых как композитные. Существуют более сложные изделия, рыполненные из композитных материалов, например, трехслойные панели, которые бу­ дут рассмотрены ниже, а также балки коробчатого сечения (рис.3.6), кото­ рые могут быть использованы для изготовления лопастей ветряных мельниц, водных лыж и многих других изделий. Такая балка может испытывать растягивающие или сжимающие нагрузки по оси х, изгиб и кручение вокруг оси х. Для каждого случая необходимо построение существующих матриц жесткости: при растяжении —ЕА, при изгибе — EI и при кручении —GJ для прямоугольного поперечного сечения.

Предположим, что в рассматриваемой балке верхняя и нижняя панели являются одинаковыми, так же как и перпендикулярные им стенки, поэ-

Рис. 3.6. Балки коробчатого сечения

тому достаточно индексов 1 и 2. Дня каждой панели соотношение при рас­ тяжении в направлении х при отсутствии смешанных жесткостей имеет вид Nx = Л ! i е°, где Nx —усилие, приходящееся на единицу ширины панели.

Простым суммированием усилий, приходящихся на единицу ширины панели, получим общую нагрузку Р> воспринимаемую всей конструкцией: Р = 2NX, b + 2NXlh = [2(АУ,) jfe + 2(Л, , ) 2Л]е".

Жесткость ЕА при растяжении проямоугольной конструкции, изобра­ женной на рис. 3.6, определяется равенством ЕА = 2 (А х { t Ъ + 2 (A ,,) 2h .

Аналогично, если коробчатая балка подвержена изгибу в плоскости х - z, то полный изгибающий момент М, связанный с полной кривизной кХ9 будет

	М = 2(Du ),b + 2(Au ),b	)2h3	(3.152)
		12

Если верхняя и нижняя поверхности тонкие по сравнению с общей высотой профиля /г, то первый член пренебрежительно мал по сравнению с другими, поэтому

( EI)

= 2 (A n )]b(h/2)2 +

(3 Л53)

Подобное выражение может быть также получено и для жесткости при кручении. Рассмотрим конструкцию, приведенную на рис. 3.6, под дейст­ вием крутящего момента Т вокруг осих Очевидно, что

т= 2( Nxyi Щ) + 2(	Nxyi) Ь( f)	(3.154)
Из гл. 2 известно, что	для обоих элементов Nxyi	= 2A66iexyj, (/' =

= 1,2).

Если i/j является углом закручивания в результате действия момента Т на длине L , то для элементов 1 и 2

<#>=	ф =	(3.155)
	(А/2)	Ь/2
Также очевидно, что
	2 L	(3.156)
€ . v„		2L

r=2(,V , ,.),* ! +2(Nxy)2h ^ = 2bh(A(A)l€xyi + 2bh(A6b)2exyi

= м ( л 66) Л + &л(л66) А

7’= Ц [ ( Л , б ) , А + ( Л б б И ф

Таким образом, жесткость при кручении

GJ = ^[{А ьь)\Ь + ( Abb)ib\

(3.157)

Приведенные выше результаты достаточно хорошо иллюстрируют возможность и необходимость применения основ механики материалов в некоторой переработке к задачам растяжения, изгиба и кручения балок прямоугольного профиля, возможно изготовленных из весьма специаль­ ных композитов, для различного назначения.

3.13. МЕТОДЫ АНАЛИЗА И ОПТИМИЗАЦИИ ТРЕХСЛОЙНЫХ ПАНЕЛЕЙ С СОТОВЫМ ЗАПОЛНИТЕЛЕМ И НЕСУЩИМИ СЛОЯМИ ИЗ КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ

Широко используемая трехслойная конструкция с сотовым заполни­ телем показана на рис. 3.7. Причина столь большого успеха объясняется значительной изгибной жесткостью сотовых панелей благодаря большой несущей способности, которой обладают несущие слои, разделенные заполнителем и работающие по схеме двутавровой балки.

Для указанной конструкции существует несколько форм разрушения под действием сжимающей нагрузки Nx = - Nx . Одна из них, наиболее

Рис. 3.7. Трехслойная конструкция с сотовым заполнителем:

а - вид в плане; б - вид сбоку; в - вид в плане сотового заполнителя

очевидная, имеет место при превышении допускаемых напряжений. Прежде всего необходимо отметить, что заполнитель сотовой панелИ не воспринимает нагрузки. Следовательно, нагрузка воспринимается несу­ щими слоями, т.е.

	a F,	(ЗЛ58)
		2/F

где Nx — нагрузка, приходящаяся на единицу ширины пластины; tp — толщина несущего слоя; орх — напряжение в несущем слое под дейст­ вием приложенной по направлению оси х нагрузки.

При превышении напряжений пластина может потерять устойчивость, если нагрузки, действующие в ее плоскости, сжимающие. Этот вид поте­ ри несущей способности будет рассмотрен в следующих разделах, где будут исследованы: общая потеря устойчивости; потеря устойчивости заполнителя при сдвиге; потеря устойчивости несущих слоев.

Общая потеря устойчивости

Этот случай подобен потере устойчивости композитной пластины, которая обсуждалась в предыдущих разделах этой главы. Если пластина шарнирно оперта по всем краям, то имеет место целое число полуволн в направлении х и одна полуволна прогиба в направлении у. Для других граничных условий форма потери устойчивости будет иной, также как и для простой пластины композитной или изотропной.

Все сказанное в этом разделе основано на результатах работы [19], в которой, в свою очередь, обобщены результаты многих других работ. В дальнейшем принимается, что несущие композитные слои в такой конструкции могут быть уподоблены ортотропным пластинам с изгибной жесткостью Dx в направлении х, Dy в направлении у, Dxy при кру­ чении. Модули упругости в направлениях х и у соответственно —Е/х и Efy \ vxy и vyx - коэффициенты Пуассона, причем E f j v xy = Efy /vyx . Все особенности свойств слоистых композитов, рассмотренные ранее,

справедливы	и для этих ортотропных пластин, если Bif = 0, ( ) 1 6 =
= ( Ь б = (	> 4 5 = 0 .

Критическое напряжение, соответствующее общей форме потери устой­ чивости пластины, может быть записано в виде

(3.159)

где все члены, кроме Кт , были определены ранее. В работе [21 ] значение Кт предложено определять выражением

		С3	К	„ 1
к -	В ХСХ+ 2В2С2 + - j ^ +A .			-1
	К	I с		К.ГЛ
1 + (Я|С| + ВуС2) Q		+ I В) + в £ г ] К		+ Q
где
А = С,С3 -	Вгс \ + В3с 21 В,с, + 2Л2С2 + ^			)

Я .=

В2= - ^ % г = 2 5 3 + 5 Л>,

v

(3.160)

(3.161)

	Ч , = с с'Л
ь р хг	Uy: = G^hc

Gcx = 4/3(tc/d)Gc - эффективная жесткость сотового заполнителя при поперечном сдвиге в направлении дс; = 8/15(rc/rf)Gc - эффективная жесткость сотового заполнителя при поперечном сдвиге в направлении у; Gc — модуль сдвига заполнителя.

Другие константы в уравнении (3.160) относятся к граничным усло­ виям, где величина л, конечно, целое число и определяется из условия минимума Кт при заданной геометрии и материалах конструкции.

Для пластин, все края которой шарнирно оперты Сх = С4 = д2/и2Ь2,

С2 = 1, С3 = п2Ь2/а2.

Для пластины, нагруженные края которой шарнирно оперты, а другие заделаны: С, = (16/3) (а2/и2Ь2), С2 = 4/3, С3 = л2Ь2/а2, С4 = (4/3)Х

Х(а2/п2Ь2).

Для пластины, нагруженные края которой заделаны, а другие шарнир­ но оперты: Сх = С4 = (3/4)(а2/Ь2) для п = 1, Сх = С4 = [1/(л2 + 1) ]X Х(а2/Ь2) дляп > 2, С2 = 1, С3 = [(л4 + 6л2 + 1)/(л2 + 1)] (Ь2/д2).

+ 1)/("2 + 1) ] / ( ь2А*2).

Обратим внимание на то, что общая потеря устойчивости реализуется только в случае, если осг, определенное по формуле (3.159), будет мень­ ше или равно напряжению определяемому равенством (3.164), и если

(3.162)

где к х принимает следующие значения, соответствующие перечисленным выше граничным условиям: 1; 3/4, 1, 3/4. Таким образом, к х =1,если ненагруженные края пластины шарнирно оперты, и к х = 3/4, когда ненагруженные края (у= 0,Ь) защемлены.

Потеря устойчивости заполнителя при сдвиге

Обратим внимание, что если Vx > (5/2)\jEfy /Efx к и то может иметь место другая форма потери устойчивости, реализующаяся при нагрузке меньшей, чем для общей формы и называемая потерей устойчивости за­ полнителя при сдвиге. Такая форма потери устойчивости показана на рис. 3.8. Это имеет место, когда жесткость несущих композитных слоев настолько велика, что заполнитель теряет устойчивость от нагрузок, действующих в плоскости пластины. Такая форма разрушения обычно распространяется на все сечение панели в направлении^.

Рис. 3.8. Потеря устойчивости заполнителя при сдвиге

Этот вид потери устойчивости реализуется, если приложенные напря­ жения, определяемые согласно (3.158), достигают критической величи­ ны, приведенной ниже, и если V> (5l2)yjEfy/Efx fc,.

<*,r	(3.163}
	2/F

•q

Потеря устойчивости несущих слоев

Третий вид потери несущей способности трехслойной панели имеет место, если несущие слои слишком тонкие, когда вся конструкция и заполнитель имеют большую сопротивляемость потере устойчивости, чем несущие слои, которые могут рассматриваться Как тонкие пласти­ ны на упругом основании. Хотя устойчивость теряЮт только несущие слои, это приводит к выходу из строя всей панели. В этом случае возни­ кающие напряжения, определенные по (3.158), достигают величины осг и панель теряет несущую способность (рис. 3.9):

	16	к	tс \ Ч	Е' Л	1/2
О.,г					(3.164)
	9	\ h K	о ) ( \ -	vgyvyx)

где Ес —модуль упругости материала сердцевины в направлении z.

Л

Рис. 3.9. Потеря устойчивости несу­ щих слоев

С заполнителем при этом ничего не происходит, однако несущие слои изгибаются в противоположные стороны с очень малой длиной волны по всему сечению пластины в направлении у. Как отмечалось выше, это приводит к непригодности несущих слоев для дальнейшего восприятия нагрузки, а поскольку они являются несущим компонентом, то и вся панель разрушается.

Потеря устойчивости обшивки в пределах ячейки сотового заполнителя

В заключение отметим, что возможна еще одна форма потери устой­ чивости, когда размер ячейки заполнителя является достаточно боль­ шим. Если несущий слой теряет устойчивость в пределах одной ячейки заполнителя, то неясно, потеряет вся панель свою несущую способность, или нет. Однако, если такая выпучина образуется на поверхности, обте­ каемой аэродинамическим потоком, который в результате становится турбулентным и изменяются аэродинамические характеристики, или это приводит к нарушению адгезионной связи и отрыву несущего слоя от заполнителя,, тогда возможна потеря несущей способности всей панели. Это может произойти если напряжения достигают величины, большей или равной критическому значению, определяемому равенством

У £ г,£ г. / / р \ 2

О - \ грх) ' а '