1130

где 6w, 6ш°, 6у, 6Ф ,... — возмущения дополнительного и начального искривления срединной поверхности оболочки, угла сдвига, функции напряжений,...

С учетом системы уравнений (1) уравнения возмущенного состоя­ ния (2) в возмущениях (в предположении их малости) перепишутся следующим образом:

^[Гз131 (671,1 — бДО'п) + Г 3232 (672,2			бШ’22) ] —
f (а; + w°		6ЛД,— (6w + Sw°) •ijNij = 8q\
Dm 1671,11+ Di 122672.12H— £>1212(671,22+ 672,12) =
= Гз131(671	8W'i)h—О п п а п б Г и — 1У\\22&22$Т1,1;
2 ^1212(672,11 + 671,21) +1)2211671,12 +			02222672,22 =
= Г3232 (672— бШ’2) h —ОггпапбГ^г— ^2222^22^ \t2\				(3)
■^■[КппбФ'гггг + 2 (K1212 + K1122) 6Ф’1122 + КггггбФ’пп] =
= ----- ^-6Ш-ц---- бКУ-22- {[(Ш + Ш0)-ц(6Ш+ бШ0)'22+
А22	A l l

+(Ш + Ш°) ’22 (бш + бШ°) ’п — 2 (Ш + W®) '12 (6ш + бш0) ’12] — (Ш-1106Ш'22°+

+Ш’220бШ'11° —2Ш’12°6Ш’12°) } — СС\16 Го,22 — СС226T0ii1.

Далее рассмотрим задачу об устойчивости шарнирно опертой по концам длинной ортотропной цилиндрической оболочки, имеющей на­ чальное осесимметричное искривление срединной поверхности, при рав­ номерном нагреве. (Смещение торцов оболочки вдоль образующей равно нулю.)

Для случая осесимметричного деформирования оболочки уравнения

(1) упрощаются, принимая вид (ось Х\ направлена вдоль образующей):

О ш i7 i.ii = Гз131(71 — w<i)h\

hT3131(71,1 —ш’п) - N n (w + w°)4i		Ф’11 = 0;	(4)
		R22
]_	W’n
h К2222ФТ111	R22

Сжимающее усилие N\\ возникает за счет стеснения перемещений кон­ цов оболочки. При безмоментном напряженном состоянии указанное

усилие равно Nu = —/г(Гцц —Гп^гГгггг- ‘Гггп)обцГ0-

Если начальный прогиб i^°(xi) отличен от нуля, то за счет изгиба­ ния срединной поверхности оболочки это усилие будет несколько уменьшаться. В случае малых прогибов шДа^) и w(xu t) уменьшение величины А^ц будет незначительным, поэтому ниже будем им пренебре­ гать (это приведет к некоторому занижению критического значения па­ раметра — температуры нагрева или времени устойчивой работы обо­ лочки).

Допустим, что

	Z	,	тк
		ft£m°sin — хь

т

R2	Г D		s V		S2K2tl2
Eh					/2^2 (Dl2l2+Dn22) (Ts^1) — r s(2>)
-----D2222IV2* —				Hh
				g2	^ sn *Cs		Jz	^ ll(Cs + Cs°)J		+
		—
. V Г		/ ,	, . ч n			4sm2n2h	i l k ,		1	!
+ 2j [cos(s+m+£)n-l]--- —							\	—(cft+c*0)—Ки1^
vn,h						nK	K L m		h
+ ^ {lm + lmQ)Ahn-'ch \								1
				(s + m+ £) (s — m — k ) (s + m — k ) (s + k — m) ■+
			m + ky	Д		, - .	- .	. Д	1 1JZmk J+
4/e4[-k AML s2S2 — (m + k )2					л	s2— (m — k )2
\ i		/ hn2mi \2
+ 2 J			(U + 6m°) (B2- !r eftmi- 5 Г 1Gefcmi)Zmft= 0,								(7)
причем
i
TShmi= J [cos(s + &— m + i)J I X +					C O S ( S —k — m — i)юс —co s(s+ k + m + i)nx—
о			—cos (s — k + m — i) JW] dx\

l

GSkmi= J [cos(s —k —m-\-i)лх +cos(s-\-k —m —i)nx —cos(s —k + ni-\-i)jix —

о

— cos (s + k + m — i)nx]dx.

Заменяя в уравнениях (5) — (7) операторы Tijia, Кцм упругими посто­ янными и приравнивая нулю определитель, составленный из коэффи­ циентов при искомых неизвестных сн, Г//1), 1У2>, получим уравнение для нахождения критического значения времени до потери устойчивости

оболочки

[2, 3].

Остановимся на влиянии степени ортотропии материала оболочки на ее устойчивость.

Сначала рассмотрим оболочку, выполненную из изотропного мате­ риала с постоянным во времени коэффициентом Пуассона v.

Считая справедливой гипотезу Кирхгофа—Лява, из уравнений (4) имеем

D(l-T)W'lln+ - ^- E {\ - T) w + (аН-ш0)щЛ£(1 - Г )а ц Г 0 = 0,

где D — цилиндрическая	i
	жесткость; Г/= J 9\/ —т)/(т)^т. Отсюда сле-
дует, что при неизменной	6
	во времени температуре нагрева w(x\,t) =

= ш (.*!), т. е. осесимметричный прогиб оболочки остается неизменным во времени. Тогда уравнение (7), которое является неоднородным ин­ тегральным уравнением Вольтерры второго рода, имеет единственное решение cu(t) =const, если температура нагрева оболочки меньше Гмгн — критического значения температуры, отвечающей потере устойчивости оболочкой в начальный момент времени.

Всоответствии с определением устойчивости в условиях ползучести

[2]осесимметричное деформирование оболочки в этом случае устой­ чиво при 0^/<оо (устойчиво в смысле Ляпунова).

6	__ лг	j2	—	Nn = — a8n~l - ^		/г2	^
Psn= ^sn						a	ацГ0;
	A		1 2 ( 1 —v 2 ) / ? 2		o 1
	A " -------W			1 —	0™ £ r '
Параметры gm определяются из уравнения
mAnAh2R2			m2n2h2
12(1—v2)/4 ■+1		12(1—v2)/2
	X- /4	■£K'+-		/2	] (lm + U °)= 0 .			(9)
Сопоставляя уравнения			(8), (9) с аналогичными уравнениями, пред­
ставленными в	работе	[3], заметим,			что они	полностью		совпадают

между собой, если значение внешней осевой сжимающей нагрузки за­ менить сжимающим усилием, возникающим при температурном воздей­ ствии. Следовательно, все выводы относительно устойчивости осесим­ метричного состояния оболочки в условиях нагрева будут подобны вы­ водам, сделанным в случае приложения к цилиндрической оболочке осевой сжимающей нагрузки [3].

Таким образом, из трех рассмотренных типов нагреваемых оболочек только в оболочках, выполненных из изотропного вязкоупругого ма­ териала, наблюдается принципиальное отличие в их реакции на малые неосесимметричные возмущения начального искривления срединной по­ верхности по сравнению с такой же реакцией оболочек, находящихся под действием внешних сжимающих нагрузок.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Потапов В. Д. Устойчивость вязкоупругих пластин и оболочек при повышен­ ных температурах. — Механика композитных материалов, 1979, № 5, с. 811—818.

2.Потапов В. Д. О критерии устойчивости при ползучести. — Прикл. механика, 1973, т. 9, № 9, с. 51—57.

3.Потапов В. Д. Об устойчивости сжатых вязкоупругих ортотропных оболочек. —

Жури, прикл. механики и техн. физики, 1977, № 4, с. 180— 187.

Московский институт инженеров железнодорожного	Поступило в редакцию 19.12.79
транспорта

УДК 624.074:678.067

Н. П. Е р ш о в

ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ГЛАДКИХ И ПОДКРЕПЛЕННЫХ

ОБОЛОЧЕК из волокнистых композитов*

Рассмотрим гладкую и подкрепленную цилиндрическую оболочку из волокнистых композитных материалов, нагруженную внешним дав­

лением q и осевой сжимающей силой Т

Для определения критической

нагрузки оболочки воспользуемся зависимостью [1]

Т

1

m 2 + rqti2= —— (D im4 -\-2D' m 2n2 + Z)2n4) +

2nr

5 2(1 —щр2) т 4

( 1 )

m4 + %\m2n2+ Х2/г4"

Здесь

.

nr

— число полуволн в продольном направлении; п —

m = j

-—r; /

число

волн 2в кольцевом

направлении;

D x= -л—£ '

1П,Л3

0 2= т, — ^— X

1 — ЦЩ2 12

1 —ЦЩ2

/i3/ „

Е\

J x

Е 2

/2 \

-

X TTTI

= I---------- г-; ^ 2 = i----------г" I

— жесткость оболочки при изгибе;

12 \

1 — Ц1Ц2

11

1—Ц1Ц2 k

I

2D ' = D \ p 2+ D 2\i\ +

-g-

D

'

D

"2= G \2^ -

^ D '3=

G X2у ,

^ //з =

/

\

-б

= Gi2 -rM — жесткость оболочки при кручении; Ац = -дг^-(1 —.Ц1 Ц2 ) — tap-i -

^2

/

#1,2

В В

— безразмерные

параметры;

Е

Ц2;

~^2’1

5,=-;-----

-Л;

^2 =

7,2 5 ,5

5 2

1#1,2

£1

F\

n

F 2

F2\

1-Ц1Ц2

t I D

= 1---------- /г

#1 = -------------r

; 5 2=

J-----------—1— жесткость оболочки при

1 - Ц 1 Ц 2

\

1 - Ц 1 Ц 2 1 \

1 - Ц 1 | Л 2 / 2 /

растяжении

(сжатии);

5 Ii2 = 52,I = G X2h | 5 I;2= С ]2у -

;

52,i = Gi2 y-J —

жесткость оболочки при сдвиге;

/2, /,, /2, Т7,, 52 —

моменты инерции,

условные моменты инерции, площади сечений ребер жесткости с при­ соединенной обшивкой; 1 и 12 — шаг продольных и кольцевых ребер жесткости (характеристики жесткости, записанные в скобках, соответ­ ствуют подкрепленной оболочке).

Если при определении упругих свойств воспользоваться обозначе­ ниями для упругих постоянных ортотропного слоя [2] (направления координатных линий совпадают с главными направлениями упругости

	\		1	а22 = ^	1	;	Ц1С	Ц2С	1	b и =
материала)							a12= - b _ = - | j ; а66= _
F Iе	.	Ьоо=		Е 2с	,		_ P2CE IC	Ц1сЕ2с		то
1 — p,lcfi2CJ		^	1 —Ц1СЦ2С’				1 — Ц1СЦ2С	1 — Ц1сц2с ’
для гладкой		оболочки, составленной из п слоев с углом армирования
фг каждого слоя, упругие постоянные вычисляются по формулам
а/11=	V	— [aiil cos4 фг-+ (а66г Н- 2аГ27) sin2 cptcos2 фг-+ а22г‘ sin4 фг];

Доклад, представленный на IV Всесоюзную конференцию по механике поли­ мерных и композитных материалов (Рига, октябрь 1980 г.).

а'22— —^\.а пг sin4 фг4- (аббг + 2а12*)з т 2фг cos2 ф£-|-022* cos4 фг];

		—(ацг + а22г — 2a\2i —0ббг) sin2 2фг+ а12г‘ j
b ' u —	i	\ b n l COS4 фг+ 2(Ь12г + 2666г‘)81Пг фг COS2 фг+ ^22 S in 4 фг] ;
b'-22=	~ ^[Ь \\гsin4фг4”2 (^7l2l~I-2&66l)sin2 фг COS2 фг+ 'Ь22*COS4 фг] J
	i
b ' 6 6 =	V 1	ft*
	2mJ	[ ^ П г 4“ ^22г 2 {Ь\-2г 4“ 2£?ббг) ] S in 2 ф£ COS2 ф г},

где tii — число слоев волокон с углом армирования ф г-. Для оболочки, составленной из двух семейств одинаковых слоев с углами армирования

± ф (перекрестная намотка), постоянные вычисляются по		формулам
а'11 = 0i1cos4 ф 4- (^664-2ai2) sin2 ф cos2 ф 4- а22 sin4 ф ;
0/22 = 0ц sin4 ф 4 - (a6642ai2)sin2 ф cos2 ф 4-022 cos4 ф ;
0/12= -^_ ( 0 ц	+ а22 — 2 а.\2 — 066) s i n 2 2 ф 4- ^ 12',
Ь' п = Ь ц C O S 4 ф 4 - 2 ( ^ 124 ~ 2 6 бб ) s i n 2 ф c o s 2 ф 4 - b22s i n 4 ф		;
b '22 = b n s i n 4 ф 4 - 2 (^ 1 2 4 - 2 6 6б ) 5 { п 2 ф c o s 2 ф 4-& 22 c o s 4 ф ;
Ь' 66 = ^664"	4 " Ь22 — 2 (& 12 4 - 2 6 6б) s i n 2 ф c o s 2 ф.

Для оболочки с углами армирования 0—90° (продольно-поперечная намотка) упругие постоянные равны:

	е	1	,		1			022; ci'12— 4-012;
а П=~Г~.--- Йц4-— ---- 022;			0 22 =		14-е	0 ц 4 -ь
	14-е	14-е				14-е
,,	е ,	1	,	Ь'оо—'		&п4~		b22\ Ь'ье—Ььъ,
b и — -г—— Ьц 4— — — -Ь22\
	14-е	14-е			14-е		14-е

где e = n jn 2 — отношение числа слоев волокон в продольном и кольце­ вом направлениях.

Для оболочки, усиленной ребрами жесткости в продольном и коль­ цевом направлениях, упругие свойства равны:

_ * L	+ £ ,P. а д - Л°		h°	_ F2II2— I10
		£ *2 = £ 2о— _. + £ 2Pl
F J h	Filh		F21/2	F2/l2
	h°		F i/h - h o
E \	^*2=^2° Fi/l1■4-|X2P		Fill 1	F\!l\~\~F2/l2 —2h°
		h°
p*l— "гг* |x*2‘,	G!,'l2=Gi2°lFill\ + F2/l2 —h° 4“ G12RFilh + F t lk - h * ’
где E i°, E2°, ц2°, EI?, E2p, ц2р, G120,		G12P — упругие свойства обшивки и

ребер жесткости; h° — толщина обшивки.

Упругие свойства однонаправленного слоя Ехс, Е2С, pic, р2с, G\2С оп­ ределяются либо экспериментальным путем, либо в рамках структур­

ного подхода. Так, в работе	[3] указанные свойства определяются по
формулам	„„	Г ’Ю-1цв2)- ^ )0 - ^( )	, Ц.-Т-
р р
t l c = l|j£.+ (1- ^ )£ M; £ 2°=	[ ----- ------- +'--------- ij-----------+		£ “T J

E ic	/ ib	1 — тЬ	\—1
м-2с='Фи-вЧ- (1—ч>)м^м; и«1с=-£^гИ2с;	G I2c= \-Q — I— Q —		J

где E B, |iB, GB, Em, |iM, GM — упругие свойства волокон и матрицы; ф — коэффициент армирования.

Рассматривая устойчивость оболочек при внешнем давлении, при-

нимаем в зависимости (1)	тег	(так как ПРИ потере устой­
	Т=0, m = ~2J

чивости оболочки, нагруженной внешним давлением, образуется одна

полуволна в продольном направлении), а также пренебрегаем величи- jfl4

ной Dj-^-no сравнению с D2ti2, величиной т4п2 и Мт2п4 по сравнению

с Х2п6, после чего выражение для внешнего давления можно привести к виду:

n 2D '	D 2	к 4 г 2 В 1 2В i (1	|Xip>2)	1	...
<7= — Г +	— " 2+ '	-------------- ТгПТг,---------------------		r -	(2)
2rl2		1614В	2,1

Минимизируя зависимость (2) по параметру п и проводя необходи­ мые преобразования, получим следующие формулы для расчета кри­ тической нагрузки:

	Якр —1	1,75я	1 Е хЕ2*Юг		■X
		1	1г3<2
	У12®(1-|г1Иа)»
X		^2	£ ,3		Ц1
			-+<■
	У12(1 — Ц1Ц2)			У12(1 — рщ2)
	1 *■		G12	+ 0,5
	+ у У 1 2 3 (1 - Ц1ц2)3.				( 3 )
			у а д
для гладких оболочек;
	Як?—'	1,75л	У£*,£у/г*5/2
				/г3/2
	yi23( l - ^ , p y 3
где
	h : /2- y i		h
		i
	Е*	Л	/2 1
X 0,45	Г4' 1-Ц*.Ц*2	/, + 'l-| X > *2 /2 + 1		° - 4	Ы )
		1Е*Х			+ 0,5 X
			] / A	123 ^ L
		— —

у 123(1 —|ХУК1*2) 3

X	, — для подкрепленных оболочек.

При определении устойчивости оболочек при осевом сжатии, при­

нимая	в зависимости	(1) <7 = 0, а также	вводя	параметры			TQ= ■
		Di	1 2	- 1	/ ^2,1Do		,2
							п?
2лг	yBiD2(l — Ц1Ц2)	т = -	m2;	п =	|/	----	пг
		V^i^2(1 — jxipi2)	г		г	B 1(2Z)i

выражение для осевой сжимающей силы запишем в виде:

_ /	2D'2D1	1/ В и2			В\ 2	\
То = т ( 1+ -			У — ^ -Л + — ^ -Л 2 )
'	D[D~		1	R	D	'
				^2,1	•^2,1
				1		(4)
			-л!	В I,2D2
т	/ £iA>	fli			Л _	_2\
	\ £ 2£>I + £ 2		г	B 2I\D\	h n + n I

После минимизации зависимости (4) по параметрам т и п и проведе­ ния необходимых преобразований получим следующие формулы для расчета критической нагрузки:

		тир	2л	- у е Т м х
			уз (1-IMP*)
	1+ [	У — Ц2	+ У — 1М + 4- gl2- (l-|M|x2)1			л* + /г*2
X		£2	£1	~1Е\Е2		(5)
			1+ У-^ -М а + Л*2
Е	Е
где ?ч = т ---- -рДц1—ц2; Л*=1, — для гладких оболочек;
Ui2	£	1
			2л	•V£*i£Vi*2,
		7"кр —1
			У3(1 -ц *щ *2)
где
			-VT '4 X
	£*.ц*2 А - + £ > * I V			+ T 0*.г(1 -	ц*.ц*2) ( Т - + Т - )
	1 +■	l\	l2	Z	'	М <2 '
						X
				l\	I2
				Л_
			X	я* +	U й 2
				А	/2
X				^2
		i7л+у^Ау^1Я-.-я.»
		72/,	U F,V ,	/, 1* £*2

/г*=								X
1/	£*i	l / _ W i			_
г	£*2	к	£„<•/,	/,2 я"
£*11*%-у+£% И% - у - + у			0*и(1 — ц*1Ц*г) ( -у — I— у - )
	V £*i£*21/ - у			4 -
FS J				( -		S	' Т	т ; ^
X (1 - F£ JГ W
X	Е*1		л	5/ 2	л	h i—
			W	1	h 2
£ * 1 / 1 % ^ + £%|1*1-^ + у			G*,2(l-/l*,/l%) ( 4 у + - ^ )
								'X'

У£*,£*2УА^

/ч

А

X

h

£*,/1*2-А - £ * 2 / 1 * , С*,2(1 -/1*1/1%) { - ^ + 1 г )

X

		у Ё * Ж У ~ -		~
		’	1\	/о
X У - М	/я	— для подкрепленных оболочек.

'/V/ л

При экспериментальной проверке теоретических результатов точ­ ность полученных формул оценивалась на основании анализа опытных данных по оболочкам из стеклопластика.

Для цилиндрических оболочек, нагруженных внешним давлением, оценка расхождения результатов расчета и испытаний осуществлялась так же, как и в работе [4], — путем введения в формулу (3) попра­ вочной функции a\nh + b, где параметры а и b определялись на осно­ вании использования метода наименьших квадратов;

4

hq = h	■j/r/i	H2
	0,45
		У12 (1 — рщ2)

y f + l y . o s u - ^ - ^ - ] +0,5 f

У12 ( 1 —Р!Ц2)