1252

4.7.2. Базисные функции иерархического типа

Для треугольных элементов иерархические базисные функции

с С°-гладкостью находятся удивительно просто [2].

Возвращаясь к рис. 4.12, заметим, что L0 вдоль стороны 1—2

треугольника тождественно равна нулю, и, следовательно, в силу уравнений (4.37)

+	(4.43)
Если I — обычная безразмерная локальная	координата элемента

типа использовавшейся при получении иерархических функций

для одномерных	элементов, измеряемая	вдоль	стороны 1—2
(рис. 4.12), то можно записать
•^'ili-2 = 0 £)/2» ^2 li-2=		О ~Ь£)/2|	(4.44)
откуда следует,	что
	| = (Т-2		(4.45)

Это наводит на мысль, что на треугольнике иерархические базис­

ные функции можно было бы генерировать с помощью обобщения

полученных ранее видов одномерных базисных функций. Напри­ мер, используя выражения (4.23), ассоциируем со стороной 1—2

многочлен степени р ( ^ 2), определенный по правилу

Л^а-2, = 1	f4г C(L2 — Li)p — (^i + L2)p] -					Р четно,
	1					(4.46)
	Ц т				(Li + L*y"ll	Р нечетно.
Из соотношений (4.44) следует, что эти базисные функции
равны нулю в узлах 1				и 2. Кроме того, нетрудно показать, что
Np(i_2) будет все			время	равна нулю на сторонах треугольника
О— 1 и 0	— 2,	и,	таким	образом,	обеспечивается С°-гладкость ап­
проксимации		ф.
Следует отметить, что в этом					случае при	3 число иерар­

хических функций, соответствующих узлам на сторонах элемента, недостаточно для определения полного многочлена степени р и требуются внутренние иерархические функции, тождественно рав­

ные нулю на границах; например, при р = 3 можно было исполь­

зовать	функцию	тогда		как при р = 4 можно было ввести
три дополнительные функции				LJLJLJ ,	LaL\L2, L0LjL|.
На	рис. 4.15	показаны	типичные		иерархические линейная,
квадратичная и кубическая			базисные		функции для треугольного

элемента. Аналогичные иерархические базисные функции можно

получить, исходя из альтернативной системы одномерных базис­

ных функций, определенных равенствами (4.28).

Рис. 4.15. Треугольные элементы и ассоциируемые с ними иерархиче­ ские базисные функции линейного (а), квадратичного (б) и кубическо­ го (в) вида.

4.8. Трехмерные базисные функции

Развитые в этой главе общие

процедуры для одномерных и дву­

мерных элементов легко приспо­

собить для трехмерных элемен­

тов в виде -правильных шести­

гранников или четырехгранников Опять могут быть получены стан­

дартные или иерархические бази­

сные функции. Единственная де­

таль, которой получение таких

функций незначительно отличает­

ся от предшествующего анализа,

состоит в необходимости введения

переменных для граней помимо пе­

ременных для ребер и элемента. На рис. 4.16 показаны типичные трехмерные элементы серендипоиа семейства. Читатель может попрак­ тиковаться в нахождении соответ­

ствующих базисных функций эле­

ментов, решив упражнения в кон­

це этой главы.

4.9. Заключительные замечания

В этой главе было показано, как непосредственно получить базисные функции высших степеней для геометрически простых

элементов. В частности, внимание читателя было привлечено к

иерархическим формам, которые обладают важными достоинствами

простоты и вычислительной легкости. По этой причине читателю еще придется столкнуться в дальнейшем (в конечно-элементных программах) с такими формами.

Очевидно, что для элементов фиксированного вида при после­

довательном возрастании степени многочлена р будет иметь место сходимость (/7-сходимость). Однако отнюдь не ясно, будет ли эта

сходимость быстрее, чем получаемая для элементов фиксирован­

ной степени при последовательном уменьшении величины h (h-схо­

димость). Недавние исследования показывают, что если сравнение производится при общем числе неизвестных параметров Л4, то скорость /7-сходимости всегда выше. Этот факт может быть уста­

новлен из рассмотрения некоторых приведенных выше примеров,

а

Рис. 4.16. Стандартные трехмерные серендиповы элементы квадратичного (а) и кубического (б) вида.

но его формальное доказательство представляется затруднитель­

ным х).

На практике всегда необходим компромисс, поскольку малые элементы могут быть необходимы для моделирования границ и неоднородностей задачи. Таким образом, оптимальным выбором

часто являются многочлены второй и третьей степени.

Упражнения

4.13. Повторить упражнение 3.13, используя а) четыре квадратных серендиповых квадратичных элемента и б) четыре квадратных иерархических квад­

ратичных элемента.	вычислить матрицы элемента для а) лагранже-
4.14. В упражнении 3.13
ва кубического элемента и б)	иерархического кубического элемента.

4.15.Решить задачу кручения из примера 1.5, исследуя четвертую часть сечения с двумя равными иерархическими квадратичными элементами.

4.16.Найти базисные функции для стандартного квадратичного элемента. Повторить задачу кручения из примера 1.5, используя сетку, состоящую из двух таких элементов. (Указание, Можно использовать формулу

4.17.Пусть в упражнении 3.18 элементы 1 и 4 рассматриваются как квадратичные треугольные элементы, тогда как элементы 2 и 4 заменяются одним квадратичным серендиповым элементом. Составить результирующую систему уравнений для аппроксимации стационарного распределения темпера­ туры.

4.18.Вывести слабую форму уравнения метода взвешенных невязок для

описанной в упражнении 1.21 задачи об отклонении однородной тонкой упру­ гой пластины. Показать, что если решение ищется методом конечных элемен­ тов, то стандартная теория требует элементов с С1-гладкостью. Найти базис-

х) Не исключено, что в столь	общей форме последнее утверждение вообще
не может быть доказано.—Прим,	ред,

ные функции элемента для прямоугольного кубического элемента с четырьмя

узлами, обеспечивающего гладкость <р, дф/дх, дц/ду, д2у/дхду при переходе через границы элемента, и вычислить результирующие матрицы элементов. (Указание. Использовать базисные функции элемента, являющиеся произведе­ ниями многочленов Эрмита введенного в упражнении 4.12 вида.)

4.19. Повторить упражнение 3.19 для случая линейного треугольного элемента с тремя узлами и сравнить результаты с полученными в разд. 3.8.1.

(Можно использовать формулу интегрирования из упражнения 4.16.)		и кубиче­
4.20. Найти базисные функции элемента для а) квадратичных
ских трехмерных серендиповых элементов, показанных на рис. 4.16,		и б) стан­
дартных квадратичных и кубических четырехгранных	элементов.	В	случае
а) вычислить соответствующие матрицы элементов для	трехмерной		задачи

стационарной теплопроводности.

4.21. Найти иерархические базисные функции элемента для а) квадратич­ ных и кубических шестигранных элементов и б) квадратичных и кубических четырехгранных элементов. В случае а) вычислить соответствующие матрицы элементов для трехмерной задачи стационарной теплопроводности.

Литература

	[1] Conte S. D.,		de Boor С. Elementary numerical analysis.—2nd ed. — New
York: McGraw-Hill,			1972.	Pasini A., Sardella L. Adaptive approximations
	[2] Peano A., Riccioni R.,
in finite element structural analysis. — Bergamo: ISMES, 1978,
Рекомендуемая литература
Vol.	Becker	E. B., Carey G. F.,		Oden J.		T. Finite elements: An introduction.
	1. — Englewood		Cliffs: Prentice		Hall,	1981.		Press, 1980.
	Davies	A. J. The finite element			method.—Oxford: Clarendon
mic	Fried I. Numerical solution			of	differential		equations. — New	York: Acade­
	Press,	1979.
	Hinton	E. Owen	D .R .J. An	introduction to			finite element computations.—
Swansea: Pineridge Press, 1979.
Zienkiewics О, C. The finite element						method.—3rd ed. — London: McGraw-
Hill,	1977,

ОТОБРАЖЕНИЕ И ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ

5.1. Понятие отображения

5.1.1. Общие замечания

Высокая степень точности, которая может быть достигнута

с помощью введенных в предыдущей главе элементов высших

степеней, означает, что приемлемые для практических целей ре­

шения часто могут быть получены при использовании весьма

небольшого числа таких элементов. К сожалению, простота форм рассматривавшихся до сих пор элементов несколько ограничивает

их применение при анализе практических задач, где часто тре­

буется моделировать границы весьма сложного вида. Это ограни­

чение было бы снято, если бы можно было «отобразить» простой

элемент	типа	прямоугольника	в	локальной	системе	координат
(2, л) в	более	сложную фигуру	в	глобальной	системе	координат

(х, у). Под отображением здесь понимается единственное взаимно­ однозначное соответствие между координатами (£, г|) и (х, у). Характерные особенности такого преобразования квадратного эле­

мента приведены на рис. 5.1, где показано, как происходит не­ прерывное искривление координатных прямых в плоскости (£, г|).

Читатель знаком, например, со связью	между полярными и
декартовыми координатами
х = г cos 0, r/ = rsin 0.	(5.1)

Это преобразование является не чем иным, как отображением, переводящим прямоугольник в плоскости (г, 0) в область на плоскости (х, у), изображенную на рис. 5.2.

Отображение обычно описывается некоторой функциональной зависимостью между двумя системами координат, которая в общем виде может быть выражена как

* = М 6 . л). у =/.(5. Л).

(5-2)

Если взят конкретный вид отображения и для каждого эле­

мента координаты выбраны таким образом, что происходит их

отображение в соприкасающиеся области, то базисные функции,

записанные для локальной области (|, г|) элемента, могут быть

использованы для представления изменения функции на элементе в глобальной области (х, у) без нарушения межэлементных тре­

бований непрерывности.

г

О

X

Рис. 5.1. Общее отображение квадратного элемента в плоскости (£, г|).

При вычислении матриц элементов для различных дифферен­

циальных уравнений, с которыми мы до сих пор имели дело,

необходимо было найти производные от базисных функций по

координатам (х, у). Чтобы облегчить отыскание таких производ­

ных, заметим, что в предыдущей главе были определены базисные функции прямоугольного элемента в локальной системе коорди­

нат (£, т]) элемента, а именно Nf = ./Vf(£, т)). Согласно правилу

дифференцирования сложной функции, всегда можно записать1)

dN\	dN\	дх ,	dNj	ду dNei	dNeL дх .	dN\	ду	,с	оч
д\	— дх	ду	a g *	ач	— дх а л '*'	ду	а л ’	к	’

и искомые производные дЩ/дх и дЩ/ду могут быть получены отсюда по правилу

\дМудх\_	\дЩ/д1 ]	_ \дх/дЪ	ду/дЦ	,
[dNf/dyJ	[3(Vf/3riJ’	[dxjdr\	ду/дrjJ

при условии, что матрица Якоби преобразования J не вырож­

дена.

Например, при переходе от полярных к декартовым коорди­ натам, задаваемом равенствами (5.1), имеем

				(5.5а)
и, таким образом
\dNydx1 _	fdNydr] _	[cose	— (sin0)/л 1 ГdNj/dr]
[дЫ уду\ -*	[ 3^/<30J “	[sin0	(cos0)/r J [ 3 ^ / 3 0 j -	(5'5 )

Кроме того, компоненты матриц элементов (см., например, ра­ венства (3.36)) обычно выражаются через интегралы в координа­ тах (х, у), и было бы полезно перейти в этих интегралах к ло-

*) В случае трех измерений аналогичные преобразования записываются просто с помощью добавления еще одной независимой переменной.

Рис. 5.2. Соответствие между декартовыми координатами (х, у) и полярными коор­ динатами (г, 0).

кальным координатам элемента (£, т)). Таким образом, элемент

площади dxdy следует заменить эквивалентным элементом в си­

стеме координат (I, т]). Без доказательства [I ]1) приведем соот­

ношение

dx dy = det (J ) dx\,

(5.6)

дающее в случае полярных координат, согласно (5.5а), известный результат

					dxdy = rdr d0.	(5.7)
Теперь	очевидно,	что		любой интеграл вида
		/	=	J	k(dNj/dx) (dNeJdx) dx dy	(5.8a)
			Q*
можно	преобразовать			в	интеграл по квадрату
		1	1
	/=	J	$	k (дЩ/дх) (dNeJdx) det (J) dl dr\,		(5.86)
		- 1	- 1
где dNydx и dNem/dx				представляются функциями от		£ и г| с п о ­
м о щ ь ю	соотношений (5.4). Если эти интегралы достаточно просты,

то таким образом можно вычислить все требующиеся при конечно­ элементной аппроксимации матрицы элементов.

Теперь уже ясно, как практически использовать отображение

при конечно-элементном анализе. Элементы могут быть определены

их декартовыми координатами в плоскости (х, у). Затем к каж­

д) См, также любой курс математического анализа, —Прим, ред.

дому элементу применяется отображение и результирующие ма­

трицы элементов получаются использованием выражений типа приведенных в (5.8). После этого ансамблирование и решение

задачи осуществляются с помощью в точности тех же самых про­ цедур, что и для простых элементов.

Пример	5.1.	В этом примере будет снова рассмотрена		обсуж­
давшаяся в	гл.	3	задача теплопроводности, 'описываемая	общим
уравнением	(3.31)		с полными матрицами элементов, заданными
равенствами	(3.36). Предположим, что исследуемая область лежит
между двумя концентрическими окружностями радиусами				г —а

и г = Ь.	Тогда для		представления				области в плоскости				(х, у)
удобно использовать простые секционные элементы. На рис. 5.2, а
показан	типичный	элемент,			ограниченный				линиями	0 = 0О,	0 =
= 0О+ Д0, r = r0,		r =	r0-f-A/', с			узлами		в	углах 0,	1, 2	и 3.
Прямоугольный элемент,				получающийся				при применении к этому
элементу	отображения		в	плоскость (г, 0), задаваемого соотноше­
ниями (5.1), изображен				на	рис.	5.2,	б.	Применение		линейного
отображения

£ = 2(г—г0)/Дг— 1,		г] = 2 (0—0„)/Д0— 1
гарантирует, что отображенный элемент будет квадратом — 1 ^
т] 1. На этом квадрате	можно	использовать простые	билиней­
ные базисные функции от	£ и г|.	Покажем теперь, как	получают­

ся компоненты первой строки приведенной матрицы элемента ке.

Компоненты	этой строки	в явном виде		задаются формулой (см.
равенство (3.44))
kеот __	и dNem	dN%	’ d^ f-)d xd y, т = 0,		1,	2, 3.
	дх	ду
Соответствующие базисные			функции	элемента	на	квадрате
(£, г]) можно	записать в	виде

W = (1 - I ) (1 -т))/4,	Nf = (l +£) (1 —т])/4,
Ni = (1 + 1) (1 + т))/4,	Щ = (1 -	1) (1 + т))/4,
и, следовательно,
dNe0/dr = — (1 — Г1>/(2Дл),	дЩ/дв = -(1 -1)/(2А в),
dNi/dr = ( l — r\)/(2Ar),	д В Д 0 =	- ( 1 + &)/(2Д0),
dNeJdr = (l +г|)/(2Дг),	д В Д 0 =	(1-И)/(2Д0),
д№3/дг = — (1 +^)/(2Аг),	3 ^ /3 0 =	(1 -Щ 2 Д 0 ).

Зависимость между производными по х и у, входящими в выпи­ санный выше интеграл, и производными по г и 0 следует из со-

отношений	(5.5) и, например,					в данном случае дает
		дЩ/дх =		cos 0 дЫЦдг— (sin 0/r) dNeydQ,
		dNydy =		sin 0 дЫЦдг +			(cos 0/r) dNydQ.
Наконец,		используя равенство					(5.7),	имеем
^00 --	1	I	К		dr		dQ	h
	-И*l -i
д г де			COS0		dNl	sin	0 dN%
						+ (sisin 0 dNl			C O S 0	dNo
	-и*1 -1								dr	dQ
д г де			COS0		dNi	sin	0 dJViо	У	„ „ „ о dN{
					dr		- ) { cosQ -d T —

) ] Г dldr\,

sin 0 dN [\ , г ~ ш ) +

		dNl	cos 0 dNe0 \ ( .			a dN{ ,		cos 0	dN{ M	,fc	,
+	(sin 0 dr		r	dQ	)\ smQ- d r + —				- d r ) \ r & ^ ,
Nr Д0		-Йl - i* [ (		dNl	sin 0	dNo			sin 0 dNl
			COS0	dr			XCOS0 dr				) +
		+ ( sin 0 dNl		cos 0 dN l\ (		. ,tdNl		cos 0 dNl ) ]		r dldr\,
			dr
Nr	Д0	И,‘[(		dr	r dQ				sin 0 d N l \
			COS0			г Д	с о з0 _		-----~ ж ) +

cos Q-dNl

+ ( ^ e^ + ^ rS rd0‘) \( 'ta' Tdr+' 57ir T ? ) ] '* * V

где r = r0 + ( S + 1) Ar/2 и 0 = 0о + ( т |+ 1) A0/2.

Хотя вычисления и оказываются достаточно сложными, в § 5.2

будет показано, как можно просто организовать вычисление вы­

ражений такого вида на ЭВМ. Отметим, что использованные сек­ ционные элементы находят значительное практическое применение.

5.1.2. Параметрическое отображение

Весьма удобной формой отображения элемента является его

параметрическое отображение, когда зависимость между локаль­

ными координатами элемента (£, т]) и глобальными координатами (х, у) записывается с использованием интерполяции того же вида,

что и применяемая для аппроксимации неизвестной функции <р. Если Nf(£, т])— стандартный тип конечно-элементной базисной функции для элемента с М + 1 узлами в локальной области, то реализующую отображение зависимость (5.2) для каждого элемента

можно

записать как

х =

N6QX0+ NUi +

• • • +

NeMXMt

Щ=

л),

(5.9)

У =

Моу0+

. . .

+

Мемум1

где (xt, yt)— глобальные

(х,

у)

координаты точки,

в которую тре­

буется отобразить узел I элемента в плоскости (£, ri).

Ясно,

что

если

используемые

глобальные базисные функции

обладают свойством

межэлементной С°-гладкости, то координатные

отображения

будут

иметь

ту

же

гладкость даже

в том

случае,

когда

для каждого элемента используются различные локальные

начала

координат. На

рис.

5.3 и 5.4 показано, как с увеличением

числа

узлов

элемента

М + 1

квадратные элементы

в плоскости

(£, л)

отображаются

в

последовательно

усложняющиеся

фигуры

в глобальной плоскости (х, у).

Если, как это делается здесь, отображение элемента и аппро­

ксимация

ф на элементе

определяются

с помощью

одних и тех

же базисных

функций,

то отображение называется изопараметри-

ческим.

Однако при необходимости отображение может производиться

с использованием только специальным

образом выбранных базис­