1367

для изопараметрического представления шестигранника с линей­ ным распределением перемещений. Поле перемещений для прямо­ угольной формы этого элемента, задаваемого формулой (10.16), записывается непосредственно через безразмерные координаты (£, Л* О* изображенные на рис. 10.9. Таким образом, выполняя опе­ рации, описанные в разд. 8 .8, можно непосредственно построить изопараметрическую форму этого элемента. Однако алгебраические

Рис. 10.10. Шестигранный элемент, используемый в качестве искривленного обо­ лочечного элемента.

сложности таковы, что явное выражение для результирующих коэф­ фициентов жесткости получить затруднительно даже для этого элемента, являющегося самым простым из шестигранников. В об­ щем случае является существенным численное определение соот­ ветствующих энергетических интегралов. Читателю рекомендуется обратиться к работам [10.13—10.15] для ознакомления со многими аспектами формулировок изопараметрических трехмерных эле­ ментов.

Изопараметрические трехмерные элементы полезны также для представления оболочечных конструкций. На рис. 10.10 изображен двадцатиузловой изопараметрический элемент, построенный в виде, удобном для анализа подобных задач. Применение этих элементов при анализе толстых оболочек дает прекрасные результаты, однако при уменьшении толщины элемента получаемое решение не стре­ мится к решению для тонких оболочек. Как указывалось в п. 9.3.2, это происходит потому, что возникают члены, характеризующие избыточную жесткость в представлении энергии деформации сдвига. В работах [10.16] и [10.17] показано, что можно получить хорошие

результаты для тонких оболочек, если аппроксимировать вклад энергии деформаций сдвига и сохранить точность задания слагае­ мых энергии нормальных деформаций. Так как этот тип элемента требует выполнения численного интегрирования при подсчете энер­ гии деформации, легко осуществить это, понижая порядок чис­ ленного интегрирования выражений для энергии сдвиговых дефор­ маций. Численные результаты обсуждаются в разд. 12.6.

Альтернативным подходом к анализу оболочечных конструкций с использованием трехмерных элементов является подход, при ко­ тором рассматриваются дополнительные несовместимые моды. Этот подход описан в п. 9.3.2 и обсуждается в [10.18]. Такая схема поз­ воляет использовать простейший вид шестигранного элемента, ко­ торый базируется на линейных полях перемещений и имеет только восемь узлов в вершинах шестигранника.

Литература

10.1.Hughes J. R., Allik Н. Finite Elements for Compressible and Incompressible Continue.—Proc. of Symp. on Application of Finite Element Methods in

Civil Eng., Vanderbilt Univ., Nashville, Tenn., Nov. 1969. p. 27—62.

10.2.Rashid Y. R., Smith P„ D., Prince N. On Further Application of the Finite Element Method to Three-Dimensional Elastic Analysis.—Proc. of Symp. on High Speed Computing of Elastic Structures, Univ. of Liege, Belgium, 1970, 2, p. 433—454.

10.3.Fjeld S. A. Three-Dimensional Theory of Elasticity.— In: Finite Element

Methods in Stress Analysis.— Trondheim, Norway: TAPIR Press, 1969, p. 333—364.

10.4. Clough R. W. Comparison of Three Dimensional Finite Elements.—Proc. of Symp. on Application of Finite Element Methods in Civil Eng., Vander­ bilt Univ., Nashville, Tenn., Nov. 1969, p. 1—26 (printed by the American Society of Civil Engineers).

10.5.Argyris J. H. Matrix Analysis of Three Dimensional Media—Small and Large Displacements.—AIAA J., 1965, 3, No. 1, p. 45—51. [Имеется перевод: Ракетная техн. и космон.— М.: Мир, 1965, № 1.]

10.6.Argyris J. Н., Fried I., Scharpf D. W. The TET 20 and the TEA 8 Elements

for the Matrix Displacement Method.—Aero J., July 1968, 72, No. 691,

p.618—623.

10.7.Argyris J. H. The LUMINA Element for the Matrix Displacement Method.—

Aero J., June 1968, 72, No. 690, p. 514—517.

10.8.Argyris J. H., Fried I., Scharpf D. W. The Hermes 8 Element for the Matrix Displacement Method.—Aero. J., July 1968, 72, No. 691, p. 613—617.

10.9.Melosh R. J. Structural Analysis of Solids.—Proc. ASCE, J. Struct. Div., Aug. 1963, 89, No. ST-4, p. 205—223.

10.10.Rigby G. L., McNeice G. M. A Strain Energy Basis for Studies of Element Stiffness Matrices.—AIAA J., 1972, 10, No. 11, p. 1490— 1493. [Имеется пе­ ревод: Ракетная техн. и космон.— М.: Мир, 1972, № 11.]

10.11.Anonymous. Three-Dimensional Continuum Computer Programs for Structu­ ral Analysis.—ASME Special Publication, 1972.

10.12.Rashid Y. Three-Dimensional Analysis of Elastic Solids.— Int. J. Solids and

Struct., Part	I,	1969, 5,	p.	1311 — 1332; Part II, 1970, 6, p. 195—207.
10.13. Zienkiewicz	O.,	Irons	B.,	Scott F. C., Campbell J. S. Three-Dimensional

11*

Stress Analysis.—Ргос. of Symp. on High Speed Computing of Elastic Stru­ ctures, Univ. of Liege, Belgium, 1970, 1, p. 413—432.

10.14. Ergatoudis J., Irons В. M., Zienkiewicz О. C. Three-Dimensional Analysis of Arch Dams and Their Foundations.—Symp. on Dams at the Institution of Civil Engs , London., Mar. 1968.

10.15.Irons В. M. Quadrature Rules for Brick Based Finite Elements.— Int. J. Num. Meth. Eng., 1971, 3, No. 2, p. 293—294.

10.16.Pawsey S. F., Clough R. W. Improved Numerical Integration of Thick Shell Finite Elements.— Int. J. Num. Meth. Eng., 1971, 3, p. 575—586.

10.17.Zienkiewicz О. C., Taylor R. L., Too J. M. Reduced Integration Technique

in General Analysis of Plates and Shells.— Int. J. Num. Meth. Eng., 1971, 3,

p.275—290.

10.18.Wilson E. et al. Incompatible Displacement Models.— In: Numerical and Com­ puter Methods in Structural Mechanics, S. J. Fenves et al. (eds.).—New York, N. Y.: Academic Press, 1973, p. 43—57.

10.19.Gallagher R. H., Padlog J., Bijlaard P. P. Stress Analysis of Heated Comp­ lex Shapes.—ARS J., May 1962, 32, No. 5, p. 700—707.

СПЛОШНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ: ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ

На практике при проектировании конструкций существуют две ситуации, когда напряженное состояние в теле трехмерно, но его можно исследовать с помощью двумерных пред­ ставлений; это — соответственно плоское деформированное и осесим­ метричное состояния. В данной главе рассматриваются указанные ситуации, а также особый случай несжимаемых материалов, ха­ рактерный для всех классов упругих конструкций.

Плоское деформированное состояние возникает тогда, когда раз­ мер конструкции в одном из направлений, скажем в направлении оси г, велик по сравнению с размерами в других направлениях (в направлении осей х и у), а прикладываемые нагрузки действуют в плоскости х — у и не меняются в направлении г. Пожалуй, наибо­ лее важные практические приложения — это представления, свя­ занные с расчетом плотин, туннелей и других геотехнических со­ оружений, хотя в плоском деформированном состоянии при опре­ деленных нагрузках находятся и такие небольшие по размеру кон­ струкции, как стержни и ролики. Основные аспекты конечно-эле­ ментного представления для анализа плоской деформации описаны в разд. 1 1 .1 .

Еще один частный класс трехмерных задач порождается осесим­ метричными конструкциями. Многочисленные инженерные объек­ ты в области машиностроения, ядерной и аэрокосмической промыш­ ленности, включая бетонные и стальные резервуары, ядерные реак­ торы, роторы, поршни, оболочки и ракетные двигатели попадают в класс осесимметричных конструкций. В отличие от общих трех­ мерных задач здесь для задания соотношений используются цилин­ дрические, а не прямоугольные координаты. В некоторых случаях получающиеся упрощения выражений компенсируются за счет усложнения процесса интегрирования энергии деформации при получении матрицы жесткости.

Осесимметричные конструкции часто нагружаются осесимметрич­ но, что позволяет еще больше упростить процесс формулировки

элементов. Этот случай рассмотрен в разд. 11.2. Однако в некоторых задачах проектирования нагрузки несимметричны. В таких слу­ чаях исследователь должен решить, будет ли он разлагать рассмат­ риваемые представления по гармоникам в окружном направлении или использовать аппарат общего трехмерного анализа. С точки зрения экономичности вычислений целесообразно использовать первый подход, который подробно описывается в разд. 11.3.

Для несжимаемых материалов, таких, как резина, с коэффициен­ том Пуассона ц=0.5, характерные трудности связаны с построе­ нием выражений для потенциальной энергии, так как члены матри­ цы преобразований от деформаций к напряжениям делятся на ве­ личину (1— 2 р). Однако, чтобы обойти эти трудности, можно легко модифицировать традиционный подход, основанный на рассмотре­ нии потенциальной энергии. В этом случае также выгодно исполь­ зовать подходы, базирующиеся на рассмотрении дополнительной энергии или функционала рейсснеровского типа. В разд. 11.4 изу­ чаются оба класса операций при исследовании несжимаемых ма­ териалов.

11.1. Плоско-деформированное состояние

Условия плоского деформированного состояния изображены на рис. 11.1. Прямоугольный стержень, размер которого в направле­ нии оси z больше, чем в направлениях х и у, закреплен так, чтобы

исключить смещения вдоль оси г. Нагрузки Т зависят лишь от ко­

те*. >0 |

i i l L L L i i i i

ТТТТТТТПТ

Рис. 11.1. Условия при анализе плоского деформированного состояния.

ординат х н у . Заметим, что при указанных условиях продольная деформация е2 и касательные напряжения тхг и i yz равны нулю. Полагая в соотношениях между деформациями и напряжениями

(4.14) е* равной нулю, получим для изотропного материала

t	Е	Е	Е	(11.1а)
*
,	_ ° *	\ io v	Ц 0	г
		Е	Е	(1 1 .1b)
*	Е
,			рст*
	а «	Е	Е	(1 1 . 1с)
'у	Е

Разрешая первое уравнение относительно <Jz, подставляя получен­ ное выражение в последние два уравнения и добавляя соотноше­ ние между уху и тxyt получим

		1
р		1	=L
Ь У	Е	(i-w
У ху		О
		L

о,Г—*ю\

О

0 1

0

сч (l-Ю j

оX

оУ

(П.2)

X'

Х У )

и после обращения матрицы

"1— ц

|д

0

' 8* ’

* У

(l+ * i)(l-2*i)

			Г	о	-S?
	1-----	о	о	ю 1
					1

< г у > (П.З)

УХу

Линейные соотношения, связывающие перемещения и деформа­ ции, относятся лишь к заданию геометрических характеристик деформации и применимы как в случае плоского напряженного, так и плоского деформированного состояния. Следовательно, соответст­ вующие соотношения содержатся в (4.7), и принципиальное раз­ личие между конечно-элементными формулировками для плоско­ напряженного и плоско-деформированного состояний заключается в различии законов, связывающих деформации и напряжения, т. е. законов (11.3) и (9.3). Поэтому здесь справедливы построения из гл. 9, включая использование концепции элементов высоких по­ рядков, рассмотрение альтернативных вариантов с использованием в элементах дополнительных узлов и степеней свободы в виде про­ изводных от перемещений, а также применение изопараметрического представления геометрии элемента.

Другое отличие от случая плоского напряженного состояния заключается в неравенстве нулю компоненты напряжения о2. После нахождения узловых перемещений значение а 2 можно вы­ числить с использованием соотношений (11.3), (4.7), (11.1а).

Часто конструкции, изображенные на рис. 11.1, имеют конеч­ ные размеры в направлении оси г, и смещениям их в этом направле­

нии ничто не препятствует, поэтому предположение, что ez= 0, не выполняется. В этих случаях обычно полагают ez=const (случай

обобщенного плоского деформированного состояния). Чтобы постро­ ить конечно-элементное представление для этого случая, можно использовать соотношения трехмерной теории упругости (10.3), связывающие напряжения с деформациями, полагая уЖ1= у у1= 0 и ez=const. Деформации гх, е„ и уху выражаются через предполагае­ мые поля перемещений и и о обычным образом. Результирующие гло­ бальные уравнения жесткости формулируются затем в терминах узловых значений величин и и о и одной константы в*.

11.2. Осесимметричные тела

11.2.1. Основные соотношения

Осесимметричный конечный элемент имеет форму кольца постоян­ ного поперечного сечения. Элемент задается в цилиндрической сис­ теме координат, ось симметрии которой г, а радиальное расстояние определяется координатой г. Бесконечно малая площадка попереч­ ного сечения такого элемента, включая участок внешней поверх­

Рис. 11.2. Элементарная площадка попе­ речного сечения для осесимметричного спло­ шного элемента.

ности ds, лежит в плоскости г — г, как показано на рис. 1 1 .2 . Ок­ ружная координата, не участвующая в данном рассмотрении, зада­ ется углом 0. Узлы элемента, по сути, представляют собой узловые окружности. Поэтому расчет осесимметричных тел при осесиммет­ ричных нагрузках сводится к расчету двумерной задачи, так как поле перемещений может описываться только двумя компонентами в плоскости поперечного сечения, а именно радиальным перемеще­ нием и и осевым смещением w.

Соответствующими компонентами деформации в цилиндрических координатах являются радиальная ег, окружная е0, осевая е2 и сдвиговая yrz деформации; соответствующими компонентами на­ пряжений — компоненты аг, ае, ах и %гг. Окружные напряжения и деформации существуют благодаря тому, что равномерное радиаль­ ное смещение увеличивает длину окружности. Приведем линейные

соотношения между деформациями и перемещениями [1 1 .1]

	ди	и	dw	ди , дш	(11.4)
	Яг ~ дг ’ 8в — 7 •		е* — дг ’	^ Г2~ д г ^ " д г
	и уравнения состояния
		о=[Е]е—[Е] einit,			(4.15)
	где				(11.5)
	о = 1 о , о в о 2 хг г _\\
	г =	L ег ®е е , Yr* J т >			(1 1 .6)
	glnii _	^ glnit emlt gHiit у nit JT			(H.7)

Вчастности, для изотропного материала при изменении температуры

Гпо сравнению с температурой свободного от напряжений тела

имеем e^nit= e 0nlt=e^nit= aT , у^и=0. Матрица упругих констант совпадает с матрицей для плоско-деформированного состояния лишь с тем отличием, что здесь для учета третьей компоненты напряже­

ний необходимо добавить строку и столбец. Для					изотропного мате­
риала имеем
		'(1 - ц )			1
[Е]		р	О — М-)	(Симметрично)
	О + ц Н ! ^ )	р	р	(1 —р)	» (1 1 -8)
			О	О	( 1 - 2 р )

где строки и столбцы записаны так, чтобы соответствовать векторам напряжений и деформаций (11.5) и (11.6).

Благодаря осевой симметрии в выражении для потенциальной энергии интеграл по объему можно преобразовать в интеграл по площади. Бесконечно малый элемент объема, отвечающий беско­

нечно малой	площади, изображенной	на рис. 1 1 .2 , равен d (vol)=*
= 2ял2Л, а	площадь поверхности,	соответствующая длине ds,

равна dS=2nrds. Поэтому выражение для потенциальной энергии примет вид

Ц р = я J е [Е]ъг dА — 2я J е [Е] einitr dА—

А	А
	—2я J (и • T r + w T z) rds, (11.9)
	s

где е, 8,nit и [El определяются согласно (11.6)—(11.8), а Тг и Т%— заданные усилия на единицу площади поверхности.

11.2.2. Осесимметричный кольцевой элемент с треугольным поперечным сечением

Осесимметричные сплошные элементы являются обобщением плос­ ко-напряженных элементов и так же, как и в случае плоской де­ формации, здесь применимы многие построения из гл. 9. Поэтому ниже рассмотрим подробно соотношения лишь для изображенного на рис. 11.3 простейшего треугольного осесимметричного элемента. Элемент расположен произвольным образом в плоскости г — г так, что ни одна из сторон его не направлена вдоль оси симметрии.

Рис. 11.3. Сечение треугольного кольце­ вого элемента.

Для данного типа элемента пригодно линейное поле перемещений. Так как находится в обратно пропорциональной зависимости от радиуса, то возникают дополнительные трудности при построении матрицы жесткости элемента даже для случая линейного поля пе­ ремещений. Чтобы понять, в чем состоят эти трудности, удобно воспользоваться обобщенными перемещениями. Поэтому выберем

u = a j+ a 2 г+ а3 г, w=aA+abr+a(,z.

(1 1 .10)

Дифференцируя эти функции в соответствии с формулами (11.4), получим

	е'	-	0	1	0	0	0	0
		1	11Г	1	г/г	0	0	0	г — [С]{а}. ( 11. 11)
	•.	(	0	0	0	0	0	1
	Vr* > _		0	0	1	0	1	0

Подстановка последнего в (11.9) приводит к следующему выраже­ нию (для простоты начальные деформации исключены):

п р= а/2L а J lk fll {а}+К«,

(1 1 .12)

где символом Va обозначен потенциал заданных сил, выраженных через параметры {а}, а основная матрица жесткости определяется формулой

ik‘]=	2 п Е
	(1 + И)(1- 2ц)• ^[С]т [Е]'[С]г<М	(11.13)

,А

где матрица | j [С)Т[Е]' [С] rdA имеет вид

а г		а г		а 3	<*а		0	$
Г(1 -	л)Л						a
h		2/,					■
							i
О -	д)Л	h	(1 -	u)h + (i -	M)T,	(Симметрична
							a
0		0		6	0		ia
0		0		•1	0	( i -Л )/,	i
- М*,		2ui,			6	0	• (1 -	y<)/J
								(11.14)
Здесь
=			I t = ^ d r d 2 ,		l3— ^\zdrdz,		(11.15—11.17)
=		^	= ^	T drdz'	l* = \ ] td r d z -		(П .18-11.20)
Величины / 1,		/ 8 и /j легко вычисляются. Имеем
уi = . (rj.-\-r2 + rS)[r1 (li — Z3) +6li(Z3— Z1)-\-r3 (ZX- Z t)\ ’								(11.15а)
у	[fi (га— Zs)-\-r2 (г8— гр +				'з (zt —г2)|			(11.16а)
у	(2i + г2+ г 8) l a			(гг — г3) +	г2 (г3— г,)-\-г3 г, — г2)|			(Ц.17а)

Выражения для / 4, /6 и У, содержат переменную г						в знаменателе и
результирующие выражения имеют более сложный вид:
		у	з	Ow+iiiii+ifi)	jn Л _	(11.18а)
			V
		4		(г.— '7+0	r i+ 1 '	к
		1ь =	Й ц + Н гг + Н 31,			(11.19а)
где для I, /= 1, 2, 3
H	U =	( 3 r / - r		i , - z / ( З г , - Г / ) ] + у 1		п ^ ,
						( 11.21)
и	для /, / = 1,2, 3		7e = ^i« + ^23 + (Jsi'			(11.20а)
где
G,, = 7 ^ = ^ [ г 1		(1 lrf— 7rfr7 + 2г?) +
‘ ‘7 - 1 8 ( г , - г у)

+2г,2у (2.5/i— 1 1г(Гу + 2 5^) +

+гЦПг] — 7г(гj + 2г})\ +