1499

с начальными условиями qi (zc) = qi0 и Vi (zc) = Vi0, определенными в плоскости катода z = zc.

Распределение потенциала в результате решения уравнения Пуассона после разложения в многочлен принимает форму

	N
	U ( x, y, z ) = ∑ g2k (z)(x2 + y2 )k .
	k =0
	M
Здесь g0	(z) = U (0,0,z); g2k (z) = h−2k ∑bik −[U (ih, jh) −
−U (0,ih)], h –	i=1
	шаг вычислительной сетки, использованной для

расчета распределения потенциала; U (ih, jh) – потенциал узла сетки с координатами r = ih и z = jh, а bik – константы. Тогда аксиальная скорость Vz может быть определена как

2 2−n
Vz = ∑∑Cnk (x2 + y2 )n (Vx2 +Vy2 −Vx20 −Vy20 )k ,	(1.38)

n=0 k =0

где коэффициенты Cnk зависят от распределения потенциала и Vz0:

2

1/ 2

C00 = g0 (z) +Vz 0

;

C01

= −

1

C00

; C02 = −

1

C003 ; C10 =

g2

C00 ; C11

=

g2

C003 ;

2

8

2

8

C20 =

g4

C00

−

g22

C003 .

2

8

Подставляя формулу (1.38) в формулу (1.37), получаем

dqi

1 2−n

= −∑∑2kViCnk (x2 + y2 )n (Vx2 + Vy2 −Vx20 − Vy20 )k −1 ;

(1.39)

dz

n=0 k =1

dVi

2 2−n

= ∑∑2nqiCnk (x2 + y2 )n−1 (Vx2 +Vy2 −Vx20 −Vy20 )k ,

(1.40)

dz

n=1 k =0

где i = 1,2. Решение формул (1.39) и (1.40) может быть найдено в форме [12]

101

Vi 0V0

Vi 0W0

q		A A	q		a a
i	=	11 12	i0		+ 11 12
vi	A21 A22 Vio				a21a22

a a	q W		a a
+ 13 14	i 0 0		+ 15 16
a23a24 Vi 0 R0			a25 a26

q R		+
i 0 0
qi 0V0		(1.41)

,

где i = 1,2; R0 = x02+y02, V0 = Vx02+Vy02, W0 = x0Vx0+y0Vy0. Коэффи-

циенты A удовлетворяют следующей системе дифференциальных уравнений:

	A1′i	+ 2C01 A2i = 0 ; A2′i				− 2C10 A1i = 0 , i = 1, 2;				(1.42)
		a1′l + 2C01a21 = φ 1l ;				a2′l	− 2C10 a1l = φ 2l ,			(1.43)
где	l = 1, 2…, 6;	α =	α	dz	и φ	1l φ	2l зависят от	C	nk и	ij
		′	d			,				A .
	Решение формул			(1.42)		и	(1.43), как и		формул (1.39)

и(1.40), позволяет определить зависимости текущих координат

искоростей от начальных значений координат.

Начальные скорости электронов в пучке определяются температурой эмиттера и обычно находятся в диапазоне ниже 1 эВ. Плотность пространственного заряда высока и значительно изменяет потенциальное распределение. Облако эмитированных электронов перед катодом создает потенциальный минимум вблизи катодной поверхности.

Распределение эмитированного тока с катода управляется положением и глубиной этого минимума. Различные участки эмиттерной поверхности могут функционировать в трех возможных режимах: начальный ток, ограниченный пространственным зарядом ток и ток насыщения при заданной температуре катода. Эмитированный ток рассчитывается по точной теории Ленгмюра в применении к каждому виртуальному диоду перед катодом (катодная поверхность разделена на Rк h малые облас-

ти, здесь Rк – радиус катода, а h – шаг вычислительной сетки). Плотность эмитированного тока, место и глубина потенциального минимума рассчитываются по известному точному реше-

102

нию для всех элементарных диодов плоской геометрии. Для каждого диода начальная осевая компонента скорости Vz0, кото-

рая находится в диапазоне от Vmin j = (2e / m Umin )1/ 2 до Vmax, подразделяется группами

n2, j = (Vmax j −Vmin j ) / ∆ Vz 0 ,

где ∆Vz0 – шаг дискретизации скоростей и Umin j – потенциальный минимум перед j-м элементарным катодным участком. Верхняя граница Vmax j для каждого катодного участка определяется как

Vmax j = {2 / m (e Umin + ∆ H )}1/ 2 .

Обычно ∆H = 0,8…1,0 эВ, так как термоэлектроны со скоростями больше Vmax имеют пренебрежимо малый вклад в распределение пространственного заряда. Уравнения (1.41) и (1.42) в этом случае интегрируются для разных Vz0 с учетом применения метода расчета коэффициентов (1.43). Радиальные максимальные скорости V0r = (Vx02+Vy02)1/2, находящиеся в диапазоне от −Vmax j

до Vmax j , разделяются на n3, j = 2Vmax j / ∆ V0r групп с шагом дискретизации ∆V0r. Пространственный заряд каждой группы и участок катодной области рассчитываются по формулам (1.35) и (1.42). При распределении заряда ∆ρ по узлам вычислительной сетки и суммировании вклада всех групп (по скоростям и элементарным участкам катода) находится плотность заряда ρij в каждом узле (ij). Таким образом, число начальных условий (т.е. число эквивалентных траектории), вносящих вклад в формирование пучка, дается выражением

ni

N = ∑n2j n3 j .

j =1

При известном распределении пространственного заряда из уравнения Пуассона рассчитывается распределение потен-

103

циала, и весь процесс повторяется итерациями (с использованием метода сверхрелаксации) до получения устойчивого самосогласованного решения.

1.2.5.3. Примеры численного анализа сварочных электронных пушек

Данные, полученные при компьютерном моделировании формирования пучка с применением фазового анализа, являются более информативными по сравнению с данными, полученными траекторным анализом.

Было упомянуто, что в отсутствие корреляции между движением в xz и yz плоскостях пучок может быть описан распределением точек в двух независимых плоскостях фазового пространства – xx' и yy'. Для каждой фазовой плоскости площадь, занятая этими точками, разделенная на π, определяет один двумерный эмиттанс εx (или εy), который также является неизменным по длине пучка, как и шестимерный эмиттанс. В реальных пучках распределение фазовой плотности тока пучка не является резко очерченным, поэтому распределение разделяют концентрическими контурами (на которых фазовая плотность имеет некоторые одинаковые значения), содержащими определенную часть тока пучка. Эти контуры тоже называются диаграммами эмиттанса для этой части пучка. Зная поведение этих контуров, можно прогнозировать коллективные свойства пучка.

При применении электронно-лучевой сварки знание распределения плотности мощности пучка и его поведения имеет серьезный экономический эффект. Например, переход от сферической формы проплавления к кинжальной (т.е. к глубокому внедрению пучка в материал) связан с достижением пучком критической плотности мощности. Критическая плотность мощности является функцией теплофизических параметров образца и распределения электронов в пучке (радиального, углового, по скоро-

104

0,9n

стям и т.п.). Область значений плотности мощности пучка, в которой она выше критической мощности, может быть названа активной зоной пучка. Позиция этой зоны по отношению к поверхности свариваемых деталей в значительной степени управляет геометрией шва и образованием дефектов в нем.

С использованием результатов фазового анализа технологических электронных пушек становится возможным сравнивать их, оптимизировать их конструкции и прогнозировать их возможности.

На рис. 1.54 показана диаграмма эмиттанса пучка в его первоначальном сечении, т.е. на поверхности катода электроннооптической системы, геометрия которой показана на рис. 1.49, б для случая Ua = 30 кВ; Uw = –1,5 кВ. Результаты траекторного анализа в этом случае показаны на рис. 1.51. На рис. 1.55 представлено изменение фазового контура, содержащего 90 % тока пучка. Можно увидеть, что пучок сходится в сечении z = 2,22 см, что видно из наклона эллипса эмиттанса. При z = zcr = 2,84 см находится кроссовер (каноническое расположение диаграммы эмиттанса), а затем пучок расходится (см. наклон главной оси диаграммы при z = 3,9 см). Эмиттанс, который отвечает показанному фазовому контуру, ε0,9 = 7,64·10–6 м·рад. Интегральные инварианты пучка (т.е. характеристики всего пучка) – нормированный эмиттанс ε 0,9n и нормированная электронная яр-

кость BU – имеют следующие значения: ε 0,9n = 2,5·10–6 м·рад

и BU = 4,7·104 A·м–2 ·рад–2 ·В–1 . Фазовые контуры в поперечном сечении z = 2,0 см и z = 2,9 см, рассчитанные для этого же случая, но при потенциале на управляющем электроде Uw = 0 В, показаны на рис. 1.56. Этот фазовый анализ пучка соответствует траекторному анализу, представленному на рис. 1.51. Для этого режима пушки (Ua = 30 кВ; Uw = 0 кВ) нормированный эмиттанс пучка ε = 2,7·10–6 м·рад и рассчитанная электронная яркость

BU = 8,36·104 A·м–2 ·рад–2 ·В–1 .

105

Рис. 1.54. Диаграмма эмиттанса на поверхность катода. Фазовые контуры содержат 45 и 90 % тока пучка соответственно

Рис. 1.55. Трансформация внешнего фазового контура (90 %) по длине оси пучка в трех поперечных сечениях: 1 – z = 2,22 см; 2 – z = 2,84 см; 3 – z = 3,9 см

106

Рис. 1.56. Внешние фазовые контуры пучка в поперечных сечениях: 1 – z = 2,0 см;

2 – z = 2,9 см, для Uw = 0 В; Ua = 30 кВ

Рассмотрим следующий численный эксперимент, выполненный для анализа осесимметричной сварочной электронной пушки с катодом косвенного накала (как у пушки Баса) из вольфрама, который нагревается с помощью бомбардировки электронами, эмитированными нагревательной спиралью около цилиндрического катода косвенного накала. Такие катодные системы дают большие токи и обладают лучшими электроннооптическими характеристиками в сравнении с прямонакальными проволочными катодами. К тому же они являются более стойкими относительно ионной бомбардировки и имеют увеличенный срок службы. Благодаря этому катоды косвенного накала лучше работают в сварочных пушках, комплектующих установки в невысоком вакууме.

На рис. 1.57 представлены результаты анализа окончательной версии пушки, работающей при ускоряющем напряжении 25 кВ. Геометрия электродов ускоряющего промежутка пушки показана на рис. 1.57, а вместе с траекториями пучка при потенциале на венельте (управляющем электроде)

107

Рис. 1.57. Геометрия электронной пушки и траектории электронов при ускоряющем напряжении 25 кВ:

а– U w = −200 В (нагревательная спираль и катод не показаны);

б– U w = −400 В (не показана геометрия электродов)

U w = −200 В. Можно отметить, что электронные траектории

здесь получены из программы для фазового анализа пучка. Здесь самосогласованное решение для траектории получается после самосогласованного решения для пространственного заряда, и дополнительные итерации не нужны. Вывод траектории из программ фазового анализа сделан для демонстрации возможности получения данных в традиционной форме. В то же время данный пример является иллюстрацией того, что большое число траекторий при большой разнице про-

108

дольных и поперечных размеров пучка приводит к потере информации о внутренней структуре пучка. Анализируя эти рисунки, можно получить только общую качественную картину конфигурации пучка. Результаты расчетов для внутренней части пучка при потенциале управлявшего электрода, равном –400 В, представлены на рис. 1.57, б. На этом чертеже значительно уменьшено число траекторий и введен отличающийся масштаб для продольной и радиальной координат. Однако даже в этом случае остается один от присущих недостатков траекторного анализа. Различные траектории «несут» различное количество заряда, а следовательно, их вклад

вформирование пучка разный. Это нельзя увидеть на рисунке. Именно поэтому при фазовом анализе не рассматривают отдельные траектории, а стараются оценить качество пучка по коллективному переносу заряда и энергии.

Ток пучка – одна из важнейших характеристик сварочной электронной пушки. Изменением тока управляют мощностью пучка в широких пределах. Ток и плотность тока пучка регулируются электрическим полем перед эмитирующей поверхностью. Для этой цели используют электроды с отрицательным потенциалом по отношению к катоду. Изменение величины и градиента электрического поля значительно влияет на величину тока, эмитированного катодом. Участки катода могут находиться в одном из трех состояний: I – режим первоначального тока, II – ток, ограниченный пространственным зарядом, и III – насыщение (температурное ограничение эмиссии). Как уже было отмечено ранее, отличия в работе выхода электронов и в температуре отдельных участков введут к изменению и нестабильности эмитированной плотности тока в режиме насыщения, поэтому

вданной пушке выбран режим работы с ограничением пространственным зарядом, когда минимум потенциала и виртуальный катод перед эмиттером сглаживают эти вариации. Наличие минимума потенциала при величинах управляющих напряжений, подаваемых на венельт, в диапазоне от –200 до –1400 В

109

показано на рис. 1.58. Расположение потенциальных минимумов для различных значений потенциалов управляющего электрода представлено на рис. 1.59.

Рис. 1.58. Потенциальные			Рис. 1.59. Расстояние от
минимумы перед катодом			потенциального минимума
при Uw, В: 1 – (–200); 2 – (–400);			до катода при Uw, В: 1 – (–200);
3 – (–575);	4	– (–800);	2 – (–400); 3 – (–575); 4 – (–800);
5 – (–1000);	6	– (–1200);	5 – (–1000); 6 – (–1200);
7 – 1400			7 – (–1400)

Соответственно, область запирания (от поверхности катода до z (Umin)) содержит не только электроны, движущиеся к аноду, но и электроны, возвращающиеся обратно к катоду. При постоянном нагреве существует динамическое равновесие, при котором ток эмиссий равняется сумме тока пучка и тока, возвращающегося на катод.

Следовательно, пространственный заряд перед катодом работает как резервуар, уменьшающий флуктуации тока пучка. Из рис. 1.58, 1.59 видно, что потенциал управляющего электрода действует как на глубину, так и на позицию потенциального минимума. В случае увеличения отрицательного потенциала на этом электроде потенциал барьера перед катодом растет и отбираемый

110