3230

WKA = {0,5			0,5}T	–	приоритет альтернатив по критерию
1
K2 ;
		= {0,5	0,5}T	–	приоритет критериев относительно
	X

фокуса Ф.

Поскольку векторы приоритетов альтернатив относительно критериев K1 и K2 нормированы, результирующей вектор рассчитывается по формуле (2.3).

При этом матрицы [A] и [L] и вектор X с учетом ранее выполненных расчетов имеют следующий вид:

		K1	K2
	A1	0,2	0		K1	K2
[A] =	A2	0,2	0							0,5
					5 / 7	0	; X =				.
			;[L] =
	A3	0,2	0		0	2 / 7				0,5
	A4	0,2	0,5

A5 0,2 0,5

Производя последовательные перемножения матриц и вектора слева на право, получим следующие результаты:

			K1		K2			A1		0,0715
		A1	0,143		0
								A2		0,0715
		A2	0,143		0
[A][L] =						;[A][L]X = A3				0,143	.;
		A3	0,143		0
								A4		0,143
		A4	0,143		0,143
								A5		0,143
		A5	0,143		0,143
	(0,5)−1			0		0	0		0
[B] =		0	(0,5)−1			0	0		0
	0			0	(0,5)−1		0		0
		0		0		0	(0,5)−1		0
		0		0		0	0			(0,5)−1

71

A1 0,143

W = [A][L]X [B] = A2 0,143 . A3 0,143

A4 0,286

A5 0,286

При не учёте структурного критерия L результирующий вектор приоритетов альтернатив имеет следующий вид:

W ' = [A]X = [0,1 0,1 0,1 0,35 0,35]T .

Из сравнительного анализа двух результирующих векторов W и W ' видно, что в первом случае каждый из альтернатив A4 и A5 (значение 0,286 в векторе) в два раза весомее

любой из альтернатив A1 , A2 или A3 (значение 0,143 в векто-

ре), во втором случае различия между теми же альтернативами большее и равно 3,5 (значение 0,35 против 0,1) для альтерна-

тив в векторе приоритетов W ' .

Рассмотрим МАИ для иерархий (рис. 2.3), у которых в отличие от ранее рассмотренных альтернативы сгруппированы

в подмножества {A , A , K, A }, {A′, A′			, K, A′}, {A′′, A′′, K, A′′},
1 2	m	1 2	s	1 2	l

а элементы каждого из таких подмножеств связанны, в свою очередь, с определенными группами критериев

{K11 , K12 , K, K1m }, {K21, K22 , K, K2n } , {Kn1, Kn 2 , K, Knp } . В

этом случае перевернутое иерархическое дерево состоит из ряда самостоятельных иерархических ветвей.

72

Рис. 2.3. Иерархия с несколькими ветвями

Рассмотрим особенности алгоритма для определения векторов приоритета альтернатив на иерархиях, состоящих из нескольких ветвей. Проиллюстрируем его на примере конкретной иерархии с несколькими ветвями (рис. 2.3).

Шаг 1. Вычисляются векторы приоритетов альтернатив относительно критериев Kij .

W A	,W A ,.....,W A				;
K	K	12	K	1m
11
W A ' ,W A' ,.....,W A' ;
K21	K22		K2 n
W A" ,W A" ,.....,W A" .
Kn1	Kn 2		Knp

Шаг 2. Строится r матриц [ Ai ] , у которых наименованиями сток являются альтернативы, а наименованиями столб-

цов – критерии	Kij . При этом если альтернатива Ai не связана
с критерием Kij	, то в матрице [ Ai ] на пересечении соответст-

вующих строки и столбца проставляются нуль.

Шаг 3. Вычисляются r векторов приоритетов альтернатив Wi A (i =1, r) относительно критериев Ki по выражениям:

W A = [A

][S

][L ]

1

[B

];

X

1

1

1

1

1

W A = [A ][S

][L ]

2 [B ];

(2.4)

2

X

2

2

2

2

W A = [A ][S

][L ]

r [B ].

r

X

r

r

r

r

73

где [Si ] – матрица для нормирования матрицы [ Ai ] ; [Li ] –

структурная матрица для измерения веса альтернатив пропорционально отношению R / N (R – число альтернатив, находящихся под критерием Kij , N – суммарное число альтернатив);

X i – вектор приоритетов критериев Kij относительно критериев Ki ; [Bi ] – диагональная матрица для получения нормированного вектора Wi A , определяемая по выражению (2.4).

Шаг 4. Вычисляется вектор приоритетов критериев X 0 относительно фокуса иерархии K0 .

Шаг 5. Строиться результирующая матрица [ A0 ] , у которой наименованиями строк являются все рассматриваемые альтернативы ({Ai }, i =1, m ,{Ai′}, i =1, s ,{Ai′′}, i =1, t ), а наименованиями столбцов критерии Ki . При этом результирующая матрица [ A0 ] имеет вид:

				K1	K2	…	Kr
			A1
			A2	W A	0	…	0
			...	1
			Am
	[ A0	] =	A2′
			...	0	W A	…	0
			As′		2
			A1′′
			A2′′	0	0	…	W A
			...				r
			At′′

74

Шаг 6. Определяется результирующий нормированный вектор приоритетов W0A всех рассматриваемых альтернатив относительно фокуса иерархии K0 на основе известного вы-

ражения:

W0A = [A0 ][S0 ][L0 ]X 0 [B0 ].

Конец алгоритма.

2.2. Метод аналитических сетей

Метод аналитических сетей (МАС) является развитием метода анализа иерархий и позволяет получить оценки приоритетности всех элементов сетевой структуры относительно заданной цели при наличии взаимных и обратных связей [10]. Этот метод позволяет работать с плохо формализуемыми, многокритериальными проблемами с взаимным влиянием критериев и альтернатив.

Существуют задачи, в которых не только важность критериев определяет приоритетность альтернатив (как в иерархиях), но также важность альтернатив влияет на приоритетность критериев.

Структуры решений с обратными связями нельзя упорядочить сверху донизу, он представляют собой сети содержащие циклы и объединяющие множества элементов (компоненты), которые мы больше не можем называть уровнями, а также петли обратной связи, показывающие связь между элементами одного компонента. Сеть может включать компоненты – стоки. Узел – источник является началом маршрутов влияния (важности) и не может быть точкой завершения како- го-либо маршрута. Узел – сток является точкой заверения одного или нескольких маршрутов и не может быть началом ка- кого-либо пути. Полная сеть может включать узлы – источники; узлы стоки; промежуточные узлы, расположенные между источниками и стоками, а также в циклах. Некоторые сети могут содержать только источники и стоки, в то время как другие

75

могут включать только источники и узлы циклы (с петлей обратной связи) или узлы – циклы и узлы – стоки, или только узлы – циклы.

При проектировании БСС часто возникают проблемы принятия решений, включающие обратные связи. Они могут быть представлены сетями любого вида. Определение приоритетов элементов в сети, в частности, альтернатив решений, представляет собой сложную проблему. Поскольку наличие обратных связей приводит к возникновению циклов, и, следовательно, бесконечных маршрутов, то возникает необходимость применения более сложного, чем в МАИ, алгоритма вычисления приоритетов. Решение сетевых задач требует изобретательности и применения вычислений с высокой точностью.

В настоящее время для преодоления сложности упрощения реальных задач в области принятия решения чаще всего применяют простейшие иерархические структуры, состоящие из цели, критериев и альтернатив. Однако, решения, полученные на простой трехуровневой иерархии, могут отличаться от решений, полученных на более сложной иерархии. В свою очередь, решения, полученные на сети, могут существенно отличаться от решений, полученных даже на сложной иерархии.

Чтобы проверить элементы, например, критерии на взаимную зависимость, можно построить МПС критериев и заполнить ее числами 1 и 0, используя 1 для того, чтобы показать зависимость одного критерия от другого, и нуль в противном случае. При этом не требуется проверка на зависимость критерия от самого себя. Для каждого столбца полученной матрицы строится МПС только для зависимых критериев, вычисляется собственный вектор и дополняется нулями, соответствующими исключительным критериям. Если столбец состоит из одних нулей, то приоритеты влияния представляются нулевым вектором. При парном сравнении критериев каждого столбца первой матрицы задается вопрос: Какой из двух сравниваемых критериев в большей степени зависит от критерия, соответствующего столбцу, с точки зрения сформулированной цели или критерия более высокого уровня иерархии?

76

Предположим, что мы имеем систему из N компонентов, в которой элементы в каждом компоненте взаимодействуют между собой или влияют на некоторые или все элементы другого компонента относительно свойства (критерия), управляющего взаимодействиями в системе, который может иметь смысл энергии или центра влияния (рис. 2.4). На рис. 2.4 представлены три вида компонентов.

Рис. 2.4. Сетевая структура с обратными связями

Заметим, что сеть, объединяющая компоненты системы принятия решения, всегда должна быть связанной, т.е. она не должна быть разделена на отдельные части, т.к. тогда не имеет смысла говорить о влиянии несвязанных частей друг с другом.

Компоненты не имеющие входящих дуг, называются, компонентами – источниками ( C1 и C2 ). Компоненты, не имеющие исходящих дуг, называются стоками ( C5 ); и, наконец, те компоненты, которые имеют входящие и исходящие дуги, будем называть промежуточными или переходными ( C3

77

и C4 ). Кроме того C3 и C4 образуют цикл из двух компонентов т.к. между ними существует двунаправленная связь. Компоненты C2 и C4 имеют петли обратной связи, которые пока-

зывают наличие внутренних зависимостей между элементами. Все остальные дуги рис. 2.4 представляют внешние зависимости между компонентами.

В общем случае, сеть состоит из компонентов и элементов, которые содержаться в этих компонентах. Но при создании структур для представления проблем могут использоваться совокупности компонентов – подсистемы. Таким образом, в порядке уменьшения размера могут выделаться собственно система, состоящая из подсистем; подсистемы, состоящие из компонентов; и компоненты, являющиеся совокупностями элементов. Следует полагать, что целостная система не является суммой ее частей, а может, в соответствии с принципом синергетики, быть больше или меньше этой суммы в смысле обобщенного вклада в главную цель. В дальнейшем в качестве элементов рассматриваются объекты, которые фактически являются компонентами, если они, в свою очередь, составляют более крупные объекты (подсистемы).

Предположим, что сетевая структура принятия решения содержит nm элементов, которые будем обозначать C3 и

Ch , h =1,K, m . Влияния, которые оказывают элементы некото-

рого компонента на другие элементы в системе, можно представить векторами приоритетов, полученными на основе парных сравнений, как в МАИ.

Иногда влияние одного компонента на другой интерпретируется, как в иерархиях, т. к. влияние компонента, у который входит дуга, на компонент, из которого она исходит. Взаимные влияния элементов в сети можно представить следующей суперматрицей:

78

		e11	C1	C2			Cm
	С1	e12	e11e12e1n1	e21e22e2n2		…	em1em2emnm
		...
		e1n1	W11	W12			W1m
		e21
	С1	e22	W21	W22		…	W2m
		...
W=		e2n 2
		…	…	…	…		…
		em1
	Сm	em2	Wm1	Wm2		…	Wmm
		...

emnm

Элементы Wij в суперматрице называются блоками и представляют собой матрица вида:

	wi j				wi		2	j		...	wi j				n j
		1		1					2				1
	wi		2	j	wi		2	j		...	wi		2	j	n j
				1					2
W =	.						. ...						.					.
ij			.				. ...						.
			.				.						.
	wi	n		j	wi	n		j		...	wi	n		j		n
				1						2							j
			i				i						i

Каждый столбец в матрице Wij представляет собой главный

собственный вектор влияния элементов i-того компонента сети на элементы j-того компонента. Нулевые элементы вектора соответствуют элементам, не оказывающим влияния. Поэтому, проводя парные сравнения, используются не все элементы

79

компонента, а только те, которые имеют влияние. На рис. 2.5 и 2.6 показаны примеры иерархии и холархии, включающие по m уровней. Рядом с рисунками приведены соответствующие им суперматрицы.

			0	0	0 ...	∙	0	0
			W21	0	0 ...	∙	0	0
		W =	0	W32	0 ...	∙	0	0
					...
			∙	∙	∙ ...	Wn−1,n−2	∙	∙
			0	0	0 ...	∙	Wn,n−1	1

Рис. 2.5. Иерархическая структура и ее суперматрица

			0	0	0 ...	∙	0	W1,n
			W21	0	0 ...	∙	0	0
		W =	0	W32	0 ...	∙	0	0
					...
			∙	∙	∙ ...	Wn −1,n −2	∙	∙
			0	0	0 ...	∙	Wn,n −1	0

Рис. 2.6. Холархия и соответствующая ей суперматрица

80