3530

8.

9.

y

10.

yx .

z

ln(x

ln y).

z

x

y

.

z

xe

3 x

z

z

1

.

11.

z

ln(

x

y ); доказать, что

x

y

x

y

2

12.

sin

y

; доказать, что

x

z

y

z

z

.

z

x

x

x

y

2

13.

z

x2

xy2 , x

e2t ,

y

sint;

найти

dz

.

dt

14.

z

arctg

x

1

,

y

e(1

x) 2 ;

найти

dz

.

y

dx

x2

x

u

2v ,

найти

z

z

15.

z

,

y

v

2u;

,

.

y

u

v

16.

z

x2 y2 , x

u

v,

y

u

;

найти

z

,

z

.

v

u

v

Найти полный дифференциал:

17.

z

sin xy2.

18. z

ln(x

5y2 ).

19.

z

y x.

20. Найти производную по направлению биссектрисы

первого

координатного

угла

в

точке М(1,

1)

функции

z

x3 y

5xy2

8.

21.

Найти

производную

по

направлению

функции

z

ln(ex

e y ).

Рассмотреть

направление,

параллельное

биссектрисе первого координатного угла.

22. Найти производную по направлению функции

z x2 y2 в точке М(1,1).

Рассмотреть случаи, когда

направление составляет с осью Ох угол:

1) / 3, 2)	/ 6 ,	3) / 2.
23.	Найти	производную функции u x2 2xz y2 в

точке М(1,2, 1) по направлению вектора MM1 , где M1 точка с координатами (2,4, 3).

230

			x2		y2
	24. Найти производную функции	u				z 2	в
			4	9

точке М(2,3,1). Рассмотреть случаи, когда направление

совпадает:

1)

с направлением радиуса-вектора

этой

точки;

2)

с направлением вектора a 4i

3 j.

Найти grad z:

25.

z

4

x2

y2 в точке М(1,2).

26.

z

xy

в

x2

y2 1

точке М(0,3).

2x

27.

z

(x

y)2 в точке М(1,1).

28. z

e x 2

y 2 в

точке М(1,1).

Найти grad u и

grad u

:

29.

u

x2

y2

z2

в точке М(1,

1, 2).

30.

u

4

x2

y2

z2 в точке М(3, 2, 1).

31.

u

x2

y2 z2

в точке М(

1, 2, 0).

32.u xyz в точке М(3, 1, 2).

Найти частные производные второго порядка:

33.

z

x2

.

34. z

sin xcos y.

35. z

x

y

xy

.

1 2 y

x

y

36.

z

xey .

Проверить, что

2 z

2 z

для функций:

x y

y x

z

x2

.

x2

y

37.

38.

z ln(x

2y).

39.

z

.

40.

z

arctg

.

y 2

1

y

x

41.

z

ex cos y. Показать, что

2 z

2 z

0.

x2

y 2

231

Найти экстремумы функций:

42.

z

x2

y2

xy

4x

5y.

43.

z

y2

x2

xy

2x 6y.

y2

44.

z

xy(1

x

y).

45.

z

y x

x

6y.

46.

z

ex / 2 (x

y2 ).

47.

z

x3

y3 3xy.

48.

z

3x

6y

x2

xy

y2.

49.

z

x3

8y3

6xy

1.

50.

z

2xy 4x 2y.

51.

z

2x3

xy2

5x2

y2.

52.

z

sin x

sin y

sin(x

y),

0

x

/ 2,

0

y

/ 2.

53.

z

sin x

cos y

cos(x

y),

0

x

/ 2,

0

y

/ 2.

Ответы к п. 4

1.

2xy3

3x2 y; 3x2 y2 x3. 2.

2 y

;

2x

.

(x y)2

(x

y)2

3.

y 2

;

x2

.

4.

2xsin y;

x2 cos y.

5. yexy ; xexy .

(x

y)2

(x y)2

1

x

x

x

6. ex 2 y y(1 x);ex 2 y x(1 2y). 7.

e y ;

e y .

y 2

y

1

1

y

x

1

. 10.

8.

;

.

9.

y

;

3x3

2 y

x ln y y(x ln y)

x

3 x

e

xy (1

xy);

x2e xy .

13.

dz

2e2t

(2e2t

sin2 t)

e2t sin 2t.

dt

14.

dz

1

2(x

1)2

e(1 x)2

.15.

dx

y 2

(1

x)2

16.

z

2xy

2

2x

2

y

1

;

z

u

v

v

17.

dz

( y2dx

2xydy)cosxy2.

z

2x

1

x

;

z

x

4

x

.

u

y

y

v

y

y

2xy2

2x2 y

u

.

v2

18.

dz

dx

10ydy

.

x

5y2

232

19.	dz					y x	ln ydx						x		dy .				20.						z		11
																																	2.
													y												l			2
21.	z					e x cos			e y sin								;			1			.		22.					z								2(cos			sin	),
	l						e x		e y																					l
																			2															M
1) 1				3;		2) 1			3;				3)			2.												23.									16/3.
24.				u			cos					2		cos						2cos ,							1)	2							; 2)				2	.
				l					3																													5
						M																						14
25.	2,					4 .	26.		3, 0 .							27.									4, 4 .			28.									0, e .
	2, -2,					4																					6,	4, 2 ,
29.							,	grad u					2			6.			30.																			grad u			2	14.

31.

1

;

2

;0

,

grad u

1.

32.

2;6;

3

5

5

33.

2 z

2

;

2 z

4x

;

2 z

x2

1

2 y

x y

(1

2 y)2

y 2

34.

2 z

sin x cos y,

2 z

2 z

cos x sin y,

2

x

x y

y x

35.

2 z

2 y 2

;

2 z

2xy

;

2 z

x2

(x y)3

x y

(x y)3

y

2

,				grad u			7.
		8x2
						.
(1				2 y)3
	2 z			sin x cos y.
	y 2
			2x2
					.
		(x		y)3

36.

2 z

0;

2 z

xe y

;

2 z

e y .

x2

y 2

x y

42.

zmin

7 при

x

1,

y

2 .

43. Экстремума нет.

44.

zmax

1/ 27 при

x

y 1 3 .

45. zmax 12 при x

y

4.

46.

zmin

2 / e при x

2 , y

0 .

47.

zmax

1 при x

1, y

1.

48.

Экстремума нет.

49.

zmin

0 при x

1, y

1 2 . 50. Экстремума нет.

51.

zmin

0 при

x

0, y

0 . 52. zmax

3 3/ 2 при x

y

/ 3.

53.

zmax

3 3/ 2

при x

/ 3, y

/ 6.

233

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1.Шипачев В.С. Высшая математика. М.: Наука, 2000.

2.Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление. М.: Наука, 1980.

3.Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. М.: Наука, 1978. Т. 1.

4.Шипачев В.С. Сборник задач по высшей математике.

М.: Наука, 1998.

5.Линейная алгебра и основы математического анализа:

Сборник задач		по математике для втузов		/ Под ред.
А.В. Ефимова и Б.П. Демидовича. – М.: Наука, 1981.
6.	Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического
анализа. – М.: Наука, 1977.
7.	Каплан И.А.	Практические	занятия	по высшей

математике. Харьков: ХГУ, 1973. Ч. 1, 2.

8. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах: Учеб. пособие для студентов втузов. М.: Высш. шк., 1986. Ч. 1.

234

	ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение...............................................................................	3

1.Применение дифференциального исчисления к

исследованию функций.....................................................

4

1.1.Основные теоремы дифференциального исчисления

….....................................................................................4

1.2.Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя..8

1.3.Формула Тейлора …....................................................13

1.4.Исследование поведения функций и построение графиков ……..............................................................17

2.Неопределенный интеграл.…………………….......…..47

2.1.Первообразная и неопределенный интеграл..…….47

2.2. Основные свойства неопределенного интеграла....49

2.3.Таблица основных интегралов ………..…...……....50

2.4.Основные методы интегрирования ………….........51

2.5.Интегрирование рациональных функций ………...56

2.6.Интегрирование иррациональных и трансцендентных функций …………..…………….64

2.7.Индивидуальные задания…………………………..85

3. Определенный интеграл.….……………....…………....93

3.1.Определение определенного интеграла…………...93

3.2.Интегрируемость непрерывных и некоторых

разрывных функций...................................................

96

3.3.Основные свойства определенного интеграла …...97

3.4.Оценки интегралов. Формула среднего значения...98

3.5.Интеграл с переменным верхним пределом ……...99

3.6.Формула Ньютона-Лейбница……………………..101

3.7.Замена переменной в определенном интеграле….103

3.8.Формула интегрирования по частям в определенном

235

интеграле…………………………………………...105

3.9. Некоторые физические и геометрические приложения определенного интеграла…………..106

3.10.Несобственные интегралы……………………...…119

3.11.Индивидуальные задания………………………….133

4. Функции нескольких переменных….……....………..143

4.1.Предварительные сведения: n-мерное координатное

иn–мерное евклидово пространства.....….……….144

4.2.Понятие функции многих переменных ..…….........149

4.3.Общие понятие функции: функция как отображение пространства на пространство …………...…..........158

4.4.Предел функции нескольких переменных..............163

4.5.Непрерывность функции нескольких переменных.175

4.6.Частные производные функции нескольких переменных………………………………………….184

4.7.Дифференцируемость функции нескольких переменных. Полный дифференциал……………...192

4.8.Касательная плоскость. Геометрический смысл дифференциала……………………………………...203

4.9.Производные сложной функции. Производная по направлению и градиент. Экстремумы функции двух переменных ....……………………………………...208

Библиографический список …………………..…..…234

236

Учебное издание

Бырдин Аркадий Петрович Заварзин Николай Владимирович Сидоренко Александр Алексеевич Цуканова Людмила Петровна

ИЗБРАННЫЕ ГЛАВЫ МАТЕМАТИКИ

Часть 2

В авторской редакции

Подписано к изданию 12.10.2012.

Уч.-изд. л. 14,7.

ФГБОУВПО “Воронежский государственный технический университет “

394026 Воронеж, Московский просп., 14

237

238