668

Силу собственного веса разложим на нормальную и касательную составляющие к подошве:

Ni = Gi cosαi , Qi = Gi sinαi ,

(2.64)

где αi − угол наклона подошвы к горизонту.

В случае, когда на поверхности склона заданы внешние нагрузки, распределенные или сосредоточенные, в пределах соответствующих отсеков определяют равнодействующие внешних воздействий Pi, которые, как и собственный вес, прикладывают к середине подошвы отсека. Тогда выражения (2.64) для нормальной и касательной силы в уровне подошвы примут вид:

Ni = (Gi + Pi )cosαi , Qi = (Gi + Pi )sinαi .

(2.65)

Нормальная составляющая собственного веса Ni уравновешивается реакцией Ni′. Касательная составляющая Qi, как видно из рис. 2.47, а, будет стремиться сдвинуть отсек по линии скольжения. Этому препятствует возникающая по подошве сила трения Ti, которую определим по закону Кулона.

Чтобы перейти от напряжений, фигурирующих в законе Кулона, к силам, умножим обе части (1.12) на площадь подошвы отсека Al,i = li × 1 (li − длина подошвы i-го отсека), по которой и действуют рассматриваемые силы:

τn,i × Al,i = σn,i × Al,i tgϕi + ci × Al,i .

Собирая по подошве отсека все предельные касательные напряжения, получим искомую силу трения Ti, а нормальные напряжения по подошве дадут нормальную силу Ni:

Ti = Ni tgϕi + cili .

(2.66)

Здесь ϕi и ci − угол внутреннего трения и удельное сцепление грунта того инженерно-геологического элемента, в котором находится подошва i-го отсека.

Таким образом, собственный вес каждого отсека, с одной стороны, стремится сдвинуть его вниз по поверхности скольжения, а с другой − прижимает к несмещающимся породам, и чем сильнее отсек будет прижат к поверхности скольжения, тем большей величины достигнет удерживающая сила трения.

163

Выполнив аналогичные вычисления по формулам (2.64), (2.65) и (2.66) для каждого из n отсеков, определим полную систему сил, действующих по поверхности скольжения.

Для ответа на главный вопрос об обрушении склона используют коэффициент устойчивости, определяемый в данном случае как отношение суммы удерживающих сил к сумме сдвигающих:

			n
		=	∑Ti
k	óñò		i=1	,	(2.67)
			n
			∑Qi

i=1

n

где ∑Ti − сумма сил трения по поверхности скольжения, удер-

i=1

n

живающих склон от обрушения; ∑Qi − сумма сдвигающих сил,

i=1

действующих также по поверхности скольжения; n − количество отсеков.

Если коэффициент устойчивости меньше единицы, то склон разрушится. Если коэффициент устойчивости больше единицы, то это означает, что склон устойчив по данной линии скольжения.

Очевидно, что если принять линию скольжения другой формы или просто расположенную иначе, то система сил и, соответственно, коэффициент устойчивости изменятся. Таким образом, необходимо отыскать такую линию скольжения, которой бы от-

вечал минимальный коэффициент устойчивости. И если минимальный коэффициент устойчивости больше единицы, то только тогда можно говорить об общей устойчивости склона. Соответствующая минимальному значению kуст линия скольжения называется опасной.

Задача поиска минимального коэффициента устойчивости формулируется как задача вариационного исчисления:

kóñò = min kóñò [z(x)],

где z(x) − неизвестная функция, определяющая форму и положение поверхности скольжения.

164

Изучению этой проблемы посвящены труды Ю.И. Соловьева [30] и В.Г. Федоровского [35].

Если задаться какой-либо определенной формой линии скольжения, то задача существенно упрощается. Наиболее распространенная модификация метода отсеков − метод круглоци-

линдрических поверхностей скольжения. В этом методе предполагается, как видно из названия, что линия скольжения, по которой будет исследован сдвиг грунта, представляет собой дугу окружности − след некоторой круглоцилиндрической поверхности. Коэффициент устойчивости в данном случае является функцией трех переменных: двух координат центра вращения zC, xC и радиуса r.

Другое определение коэффициента устойчивости заключается в рассмотрении отношений:

k		=	tg ϕ	=	c	,	(2.68)
	óñò		tg ϕ
					c
			ï ð	ï ð

где ϕ и c − фактические значения прочностных характеристик грунта, а ϕпр и cпр − их предельные значения, при которых произойдет разрушение массива.

Это положение используется в ряде модификаций методов отсеков.

2.3.5. Метод Бишопа

Рассмотрим один из наиболее известных методов − метод Бишопа в совокупности с гипотезой круглоцилиндрических поверхностей скольжения [38].

На рис. 2.47, б показан i-й отсек с силами, учитываемыми в этом методе. Его уравнения изначально были получены в предположении о том, что силы взаимодействия между отсеками горизонтальны, поэтому данный метод также называется методом горизонтальных сил взаимодействия, хотя они и отсутствуют в окончательном уравнении.

Соотношение по подошве отсека между фактически действующей нормальной силой и предельной касательной, получаемой при снижении характеристик грунта до критических значений согласно формуле (2.68), следует из закона Кулона (2.66):

Ti =	1	(Ni tgϕi + cili ).	(2.69)

kóñò

165

Далее, записывается уравнение равновесия сил в вертикальном направлении:

Ni′cosαi + Ti sin αi = Gi + Pi .

Вэто уравнение подставим выражение (2.69) для Ti и учтем, что Ni′ = Ni:

N′cosα

+

1

N

′tgϕ sin α

+

1

c l sin α

= G + P,

i

i

kóñò

i

i

i

kóñò

i i

i

i i

отсюда выразим величину Ni′:

G + P −

1

c l sin α

Ni′ =

i

i

kóñò

i i

i

.

(2.70)

cosαi

+

tg ϕ tgα

i

1

i

kóñò

Теперь составим уравнение равновесия моментов относительно центра окружности радиуса R, описывающего данную поверхность скольжения:

	1		N′ tgϕ +	1			= R(G + P )sin α		.
R						c l
				k
k		óñò	i i		óñò	i i	i i	i

Подставляя в это уравнение выражение (2.70) для Ni′, получаем уравнение для коэффициента устойчивости в неявном виде:

			∑	cili + (Gi + Pi )tgϕi
						tgϕ tg α	i
				cosαi 1	+	i
						kóñò
k		=								.	(2.71)
	óñò			∑(Gi + Pi )sin αi

Коэффициент устойчивости по уравнению (2.71) находится методом последовательных приближений.

2.3.6. Симплекс-метод расчета устойчивости откосов и склонов

К основным проблемам методов отсеков следует отнести, во-первых, невозможность исследования напряженного состояния грунта внутри отсеков, во-вторых, неопределенность формы

166

и положения линии скольжения, и, в-третьих, недостаточное количество уравнений при определении силового взаимодействия между отсеками.

Первая проблема не может быть устранена непосредственно в рамках метода отсеков, поскольку расчетные схемы метода по определению оперируют силами. Частично эта проблема может быть решена в случае получения устойчивого решения при увеличении числа отсеков. О второй проблеме речь шла выше − она решается методами вариационного исчисления. Однако качество конечного результата напрямую зависит от качества определения силового взаимодействия между отсеками, т.е. от того, насколько успешно решена третья проблема. Здесь существует максимальное количество гипотез относительно системы сил, действующих на отсеки. Зачастую приходится пренебрегать отдельными силовыми факторами либо фактически назначать их направления, точки приложения и т.д. введением в расчет ряда допущений и гипотез.

Наиболее общим с точки зрения учета силовых факторов, действующих на склон, и наиболее надежным с точки зрения отсутствия каких-либо дополнительных предположений и гипотез, помимо уравнений равновесия и закона Кулона, является расчет устойчивости склонов симплекс-методом, разработанный А.М. Кара-уловым [13].

Здесь дадим лишь постановку задачи и общее описание решения. Вопросы техники решения систем уравнений симплексметодом изложены в специальной математической литературе [41].

Расчетная схема склона остается той же, что была дана на рис. 2.46. Произвольной линией AB, как и ранее, выделена область обрушения склона. На рис. 2.48 показаны положительные направления сил и моментов, действующих на i-й отсек. Сосредоточенные силы здесь приведены к нижней, правой крайней точке отсека.

Перечислим силовые факторы, воздействующие на отсек:

Ui, Vi, Wi − вертикальная, горизонтальная силы и момент, эквивалентные действию внешних нагрузок и массовых сил на i-й отсек;

Zi, Xi, Mi − вертикальная, горизонтальная силы и момент, действующие на боковую грань i-го отсека;

167

Zi−1, Xi−1, Mi−1 − вертикальная, горизонтальная силы и момент − эти факторы являются неизвестными при рассмотрении (i − 1)-го отсека;

Ni, Ti, Ci − нормальная, касательная силы и момент, эквивалентные силовому воздействию на подошву i-го отсека.

			bi
hi −1	Zi −1		i
						hi
	X			Ui
	i −1
ai	Mi −1		Wi
		α i			M	i
		li	Vi			Xi
			N	Ci	T
					i
			i	Zi
Рис. 2.48. Полная система сил, действующих на i-й отсек

Геометрические параметры отсека: hi и hi−1 − высоты боковых граней; bi и li − ширина и длина подошвы;

αi − угол наклона подошвы к горизонтали;

ai = bi tg αi − расстояние между крайними точками подошвы по вертикали.

Система сил взаимодействия представляет собой совокупность неизвестных величин Zi, Xi, Mi, Ni, Ti, Ci для всех отсеков.

Цель решения заключается в определении взаимоуравновешенной системы сил Zi, Xi, Mi, Ni, Ti, Ci (i = 1, …, n), максимально приближающей выделенную часть склона к предельному состоянию.

Из физического смысла задачи следует: Xi ≥ 0; Mi ≥ 0; Ni ≥ 0; Ti ≥ 0; Сi ≥ 0. Запишем ограничения-равенства и ограничениянеравенства, которые необходимо выполнить в отношении системы сил для отсеков i = 1, …, n:

168

0= − Zi −1 + Ni cos αi + Ti sin αi + Zi − Ui ;

0= Xi −1 + Ni sin αi − Ti cos αi − Xi + Vi ;

0= − Zi −1 bi + Xi −1 ai + Mi −1 + Ci – Mi − Wi ;

η1i = Ni tg ϕi + ci li – Ti ≥ 0;

η2i = Xi tg ϕi* + ci* hi − Zi ≥ 0;	(2.72)
η3i = Xi tg ϕi* + ci* hi + Zi ≥ 0;

η4i = Ni li − Ci ≥ 0; η5i = Xi hi − Mi ≥ 0,

где ϕi, ci − параметры прочности грунта на линии скольжения (угол внутреннего трения и удельное сцепление); ϕi*, ci* − средневзвешенные значения параметров прочности грунтов, которые пересекают боковые грани отсека.

В уравнениях (2.72) при i = 1: Zi−1 = Xi−1 = Mi−1 = 0 и при i = n:

Zn = Xn = Mn = 0.

Первые три уравнения представляют собой уравнения равновесия плоской задачи: сумма проекций всех сил на ось Oz, сумма проекций всех сил на ось Ox и сумма моментов относительно правой нижней точки отсека.

Четвертое неравенство представляет собой закон Кулона, который может либо выполняться по подошве, и тогда здесь будет иметь место предельное состояние, либо − при η1i > 0 – предельное состояние еще не наступает.

Пятое и шестое уравнение предполагают аналогичную ситуацию по боковым граням отсеков, где, как и на любой площадке в основании, может либо уже наступить предельное состояние η2i = 0 и η3i = 0, либо грунт будет еще работать в допредельной стадии

η2i > 0 и η3i > 0.

Седьмое и восьмое неравенства формализуют требование о том, чтобы точки приложения равнодействующих сил по боковой грани отсека и по его подошве не выходили за пределы соответствующих отрезков − hi и li.

Выражения (2.72), записанные для всех отсеков, представляют систему линейных ограничений-равенств и ограниченийнеравенств для искомой системы сил и моментов. Далее, поста-

169

вим задачу линейного программирования [41], для чего необходимо задать функцию цели, также линейную относительно неизвестных. Определим функцию цели суммой разностей между касательными силами, действующими по подошве отсеков и их предельными значениями:

i=n
Φ = ∑(Ti − Ni tg ϕ − cili ).	(2.73)

i=1

Максимальному приближению выделенной части склона к предельному состоянию будет отвечать максимум функции цели Ф. Поиск максимума функции цели Ф (2.73) с учетом системы уравнений-равенств и уравнений-неравенств (2.72) осуществляется симплекс-методом [41].

Очень важно, что в уравнениях (2.72) и (2.73) учтены все силовые факторы, действующие на отсек, и в отношении их величин, направлений и точек приложения не вводится никаких дополнительных гипотез. Требования, которые к ним предъявляются, продиктованы только условиями равновесия, условием прочности и очевидным фактом о практической невозможности существования точки приложения равнодействующих за пределами отсека. При этом из множества всех систем сил, отвечающих условиям (2.72), выбирается то, при котором, функция цели (2.73) максимальна, т.е. максимально опасное с точки зрения возникновения предельного состояния грунта по линии скольжения.

Решив таким образом уравнения (2.72) с функцией цели (2.73), получим всю искомую систему сил, располагая которой, вычислим коэффициент устойчивости в традиционном виде:

			i=n
			∑Ni	tgϕ + cili
k	óñò	=	i=1		.	(2.74)
				i=n
			∑Ti

i=1

Обратим внимание, что в уравнениях (2.72) – (2.74) Ti − не сила трения (!), возникающая по подошве и удерживающая его от сдвига, а сила взаимодействия отсека с несмещающимися породами по его подошве, которая может менять знак и быть как удерживающей, так и сдвигающей, а предельное значение удерживающей силы вычисляется как: Ni tg ϕ + cili.

170

Рассмотрим три варианта результатов решения. Во-первых, система ограничений-равенств и ограничений-неравенств может оказаться несовместной. Это означает, что выделенная линией AB часть склона при заданной прочности грунтов не может находиться в состоянии статического равновесия. Этим констатируется факт недопустимого состояния склона. Числовое значение коэффициента устойчивости не может быть вычислено по формуле (2.74) ввиду отсутствия системы сил. Во-вторых, функция цели может быть равной нулю, что свидетельствует о возможности предельного состояния склона, которому отвечает значение kуст = 1. И, наконец, в-третьих, значениям Ф < 0 отвечает безопасное состояние склона для анализируемой схемы обрушения. Здесь не существует взаимоуравновешенной системы сил, при которой вдоль всей линии AB имеет место предельное состояние, т.е. линия AB не может быть линией скольжения. Значения kуст > 1 в этом случае вычисляются по формуле (2.74).

Для практического использования результатов расчета устойчивости симплекс-методом были разработаны методики построения диаграмм устойчивости первого и второго типа [13]. Диаграмма устойчивости первого типа предназначена для анализа фиксированной схемы обрушения однородного по геологическому строению склона или, например, для оползневого склона, деформации которого вызваны смещением земляных масс по однородной прослойке слабого грунта. Для ее построения выполняется серия расчетов симплекс-методом при различных значениях параметров прочности ϕi = ϕ и ci = c грунта вдоль предполагаемой линии скольжения. По результатам расчета на плоскости c, ϕ выделяются области недопустимого (система несовместна), предельного (Ф = 0) и безопасного (Ф < 0) состояний склона в зависимости от значения параметров прочности грунта (рис. 2.49, а).

Нижняя граница АВ разделяет зоны недопустимого и предельного состояний, верхняя СD − зоны предельного и безопасного состояния. Диаграмма устойчивости первого типа дает полное и наглядное представление об устойчивости склона при различных значениях с и ϕ. Фактическим значениям параметров прочности отвечает соответствующая точка на диаграмме. Положение этой точки относительно границ АВ и CD позволяет оценить устойчивость склона.

171

а) ϕ C

A

O B

безопасное состояние склона

б) A C E G

x

O

H

F

D

c

z

B

D
предельное состояние	недопустимое
склона	состояние склона

Рис. 2.49. Диаграммы устойчивости склона I типа (а) и II типа (б)

Диаграмма устойчивости второго типа может быть построена как для однородного, так и неоднородного по геологическому строению склона. Для построения диаграммы необходимо задаться формой линии скольжения. Исследуя симплекс-методом выделенную произвольной линией заданной формы часть склона, можно найти наиболее невыгодную в отношении устойчивости систему сил взаимодействия и, соответственно, установить качественное состояние склона − недопустимое, предельное или безопасное. Выполняя подобные расчеты для различных предполагаемых линий скольжения, представляется возможным на геологическом разрезе склона выделить три области, являющиеся геометрическим местом положения линий, которым отвечает одно из указанных состояний склона. Качественный вид диаграммы устойчивости второго типа показан на рис. 2.49, б. Если на диаграмме второго типа присутствует область недопустимых состояний, то это означает невозможность существования склона в устойчивом состоянии вне зависимости от выбранной формы линии скольжения. Таким образом, диаграмма устойчивости второго типа определяет, хотя и в несовершенном виде, необходимое условие устойчивости склона, которое заключается в отсутствии области недопустимых состояний.

Помимо формулы (2.74) коэффициент устойчивости может быть вычислен как отношение фактических параметров прочности грунта к их предельным значениям аналогично (2.68).

Пусть известны характеристики прочности грунтов, расположенных по линии скольжения в каждом отсеке, − ci,0, ϕi,0. Пусть

172