4Некоторые законы распределения СВ

РАЗДЕЛ III. НЕКОТОРЫЕ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДИСКРЕТНЫХ И НЕПРЕРЫВНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

ЛЕКЦИЯ 8. НЕКОТОРЫЕ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДИСКРЕТНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Биномиальный закон распределения. Пусть в одинаковых условиях производится независимых испытаний. В результате каждого испытания может произойти событие с одной и той же вероятностью или событие с вероятностью . В каждой серии из испытаний событие может не появиться (появиться 0 раз) или появиться 1 раз, или 2 раза, …, или раз.

Например, положим в урну одинаковых шаров, пометив предварительно шаров меткой . Вероятность вынуть шар с этой меткой равна . Вынув из урны наугад один шар, запишем, есть на нём метка или нет. Вернём шар в урну, перемешаем шары и повторим этот процесс до получения записей наличия метки . Такую последовательность испытаний называют последовательностью независимых испытаний по схеме Бернулли.

Свяжем эту последовательность с ДСВ – числом появлений события при испытаниях. Её возможные значения: , , , …, . Найдём вероятность каждого из этих значений, то есть вероятность того, что в серии из испытаний событие появиться ровно раз. Обозначим её .

Порядок, в котором появляется событие , может быть различным. В частности, если при пяти испытаниях появилось четыре раза, то возможны следующие комбинации:

, , , , .

Количество подобных комбинаций равно числу сочетаний из элементов по . Каждая такая комбинация есть случайное событие, вероятность которого равна . Поскольку число всех таких событий равно и эти события несовместны, то по теореме сложения вероятностей несовместных событий находится искомая вероятность

.

Закон распределения ДСВ, определяемый формулой Бернулли, называется биномиальным. Название «биномиальный» связано с тем, что вероятности совпадают с соответствующими членами разложения бинома Ньютона по степеням :

.

Отсюда сразу видно, что сумма всех вероятностей равна единице, так как , то есть выполняется условие нормировки биномиального закона распределения.

Постоянные и называются параметрами биномиального распределения.

Биномиальный закон распределения ДСВ можно представить рядом распределения

	0	1	…		…
			…		…

►Пример. Производится четыре независимых выстрела по мишени, причём вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,1. Найти вероятность промаха и вероятности одного, двух, трёх, четырёх попаданий.

Решение. Пусть ДСВ – число попаданий. Возможные значения ДСВ :

, , , , .

Вероятности этих значений:

,

,

,

,

.

Проверим выполнимость условия нормировки:

.

Ряд распределения ДСВ имеет вид:

					4
	0,6561	0,2916	0,0486	0,0036	0,0001

Построим многоугольник распределения ДСВ :

◄

Найдём математическое ожидание и дисперсию ДСВ – числа появлений события в испытаниях.

Пусть ( ) – случайная величина, показывающая, сколько раз появляется случайное событие в одном испытании по схеме Бернулли. Тогда СВ – число появлений при испытаниях – можно представить в виде суммы

.

Ряд распределения СВ имеет вид:

	0	1

.

Таким образом,

.

Найдём дисперсию СВ по формуле

.

Имеем

.

Следовательно,

.

Таким образом,

.

Понятно, что среднее квадратическое распределение биномиально распределённой СВ равно

.

►Пример. Проволока с вероятностью 0,9 рвётся усилием более 45 кг. В канате 100 проволок. Определить математическое ожидание, дисперсию и СКО числа проволок с разрывным усилием более 45 кг.

Решение.

,

,

. ◄

Интересно посмотреть поведение биномиального закона распределения при одном и том же числе испытаний (например ) и различных вероятностях (равных, например, 0,1, 0,3, 0,5) (рис. 2). Для этих случаев и соответственно равны:

: , ;

: , ;

: , .

П риведённые на рис. 2 значения вероятностей являются округлёнными.

Иногда биномиальный закон нужно применять в условиях, когда число независимых испытаний велико. Вычисления вероятностей по формуле Бернулли усложняются. Поэтому представляет интерес асимптотическое приближение для биномиального закона, справедливое при больших . Здесь возможны два случая:

1. когда , число тоже неограниченно возрастает (при постоянном );

2. при произведение остается конечным (это значит, что вероятность события ).

Распределение Пуассона. Рассмотрим второй случай асимптотического приближения биномиального распределения, когда , а имеет конечное значение. Подставим в формулу Бернулли , получим:

.

Найдем предел правой части при :

.

Воспользуемся известными из теории пределов формулами:

, .

Тогда окончательно получаем распределение вероятностей, называемое распределением Пуассона:

, .

Постоянная называется параметром распределения Пуассона.

Закон распределения Пуассона ДСВ можно представить рядом распределения вида:

	0	1	2	…		…
				…		…

Проверим выполнимость условия нормировки для полученного ряда распределения:

.

►Пример. Вероятность выигрыша по одному лотерейному билету . Сколько нужно купить билетов, чтобы выиграть хотя бы по одному из них с вероятностью не меньшей, чем 0,95?

Решение. Вероятность выигрыша мала, а число билетов, которое нужно купить, очевидно, велико, поэтому случайное число выигрышных билетов имеет приближённое распределение Пуассона.

События «ни один из купленных билетов не является выигрышным» и «хотя бы один билет – выигрышный» – противоположные. Поэтому сумма их вероятностей равна единице:

,

откуда

.

В формуле Пуассона положим , тогда

.

Тогда

.

По условию или . Отсюда

,

.

Функция – убывающая, поэтому неравенство выполняется при или при . Значит, .

Следовательно, надо купить не менее 300 билетов, чтобы выиграть хотя бы по одному из них. ◄

Величина в биномиальном распределении имеет смысл математического ожидания. Распределение Пуассона – частный случай биномиального, поэтому

, .

В этом нетрудно убедиться непосредственно.

.

.

Отметим, что при малых наблюдается асимметрия закона распределения. С ростом имеется тенденция к симметрии.

В ряде задач распределение Пуассона выступает не как асимптотическое, а как совершенно точное. Например, часто приходиться иметь дело с распределением событий во времени (появление импульсов, электронов и т.п.). В этой связи рассмотрим еще один вывод распределения Пуассона, который позволит конкретизировать условия его возникновения и пределы применимости.

Сначала введём некоторые понятия.

Потоком событий называется последовательность событий, наступающих одно за другим в случайные моменты времени. Примером может служить поток вызовов на скорой помощи, число отказов при работе некоторой системы. Геометрически поток событий можно изобразить в виде точек на оси времени:

Если в потоке вероятность наступления некоторого числа событий в течение заданного отрезка времени зависит только от величины этого отрезка и не зависит от начала отсчета времени, то он называется стационарным. В геометрической трактовке имеет значение только длина отрезка и не имеет значения, далеко или близко он расположен к началу отсчета.

Если отдельные события в нем происходят независимо одно от другого, так что «сгущения» событий на одном интервале не приводят к обязательным их «разрежениям» на другом, то в потоке отсутствует последействие. Другими словами, для любых неперекрывающихся отрезков времени число событий на одном из них не зависит от числа событий на другом.

Наконец, поток обладает свойством ординарности, если вероятность наступления двух событий на достаточно малом интервале времени является исчезающе малой по сравнению с вероятностью наступления одного события. Другими словами, ординарным считается поток относительно редких событий.

Простейшим (пуассоновским) называют поток событий, который обладает тремя свойствами:

– стационарностью,

– отсутствием последействия,

– ординарностью.

Найдём – вероятность того, что за малый интервал времени не произойдёт ни одного события. Пусть – вероятность отсутствия событий на интервале . Отсутствие точек на отрезке есть произведение двух событий: – отсутствие точек на интервале , – отсутствие точек на интервале . В силу независимости этих событий (отсутствия последействия в потоке) имеем

.

Но

,

так как в силу ординарности потока вероятностью наступления за время двух или более событий можно пренебречь.

Найдём . Для этого вычислим математическое ожидание числа точек на интервале . С одной стороны,

,

где – среднее число событий в потоке за единицу времени (интенсивность), с другой –

.

Отсюда

.

Значит,

,

откуда

.

При имеем

.

Это дифференциальное уравнение первого порядка. Его решение относительно при начальном условии имеет вид

.

Аналогично получаются формулы для других значений .

Таким образом,

.

►Пример. Будем считать поток сбоев в работе ЭВМ простейшим. Его интенсивность в сутки . Найти вероятность того, что:

1) в течение суток не будет ни одного сбоя;

2) в течение суток произойдёт хотя бы один сбой.

Решение. ДСВ – число сбоев ЭВМ за время работы. Так как поток сбоев считаем простейшим, то вероятность того, что за некоторое время работы произойдёт сбоев, вычислим по формуле

, где .

Тогда вероятность того, что в течение суток не будет ни одного сбоя ЭВМ, равна

. ◄

Геометрическое распределение. Рассмотрим игру с набрасыванием кольца на стержень. Обозначим через число бросаний до первого попадания на стержень при условии, что вероятность попадания при каждом бросании не зависит от результатов предыдущих бросаний и имеет одно и то же значение ( ). Величина будет ДСВ, значениями которой являются натуральные числа. Найдем закон распределения этой ДСВ.

Событие означает попадание с первого бросания, его вероятность равна , то есть . Событие означает попадание при втором бросании и, значит, промах при первом бросании. Применяя теорему умножения вероятностей для независимых событий, получаем , где . Событие означает попадание при втором бросании и, следовательно, промахи при первых двух бросаниях, поэтому . Продолжая аналогичные рассуждения, находим общую формулу: