Zadachi_po_fizike_fazovih_perehodov

14. Найти теплоемкость в одномерной модели Изинга в нулевом поле.

Ответ

C N (J / T )2 ch 2 ( J ) .

15. Найти энергию одномерной модели Изинга в нулевом поле.

Ответ

E NJ th( J ) .

16. Найти магнитную восприимчивость одномерной модели Изинга.

Ответ

( 02 / T ) exp( 2 02 / T ) .

17. Получить свободную энергию двумерной модели Изинга.

Указание

Точное выражение для статистической суммы имеет вид

L

Z 2N (1 x2 ) N [(1 x2 )2 2x(1 x2 )(cos 2 n / L cos 2 m / L)]1/2 , x th(J / T ) .

n,m 1

Решение

Используя выражение для статистической суммы, находим

F NT ln 2 NT ln(1 x2 )

(T / 2) L [(1 x2 )2 2x(1 x2 )(cos 2 n / L cos 2 m / L)] .

n,m 0

Переходя от суммирования к интегрированию, в пределе L, N получим:

F NT ln 2 NT ln(1 x2 )

(TN / 2(2 )2 ) 02 02 ln[(1 x2 )2 2x(1 x2 )(cos 1 cos 2 )]d 1d 2 .

18. Исследовать свободную энергию двумерной модели Изинга вблизи критической температуры.

Решение

Свободная энергия имеет особую точку при таком значении x , при котором аргумент логарифма под знаком интеграла обращается в нуль. Аргумент

минимален при cos cos		2	1,		и равен (1 x2 )2 4x(1 x2 ) . Это выражение
1
имеет минимум в нуле при x xc					2 1 , что определяет температуру фазового
перехода th(J / Tc ) xc .	T Tc			Можно показать, что свободная энергия

понижается при C ln		T Tc		, непрерывна при	T Tc .Теплоемкость имеет

логарифмическую особенность в точке фазового перехода. 19. Найти теплоемкость двумерной модели Изинга.

Решение

Разложим свободную энергию по степеням T Tc и рассмотрим особенность, возникающую из интегрального слагаемого. Разложение вблизи минимума по

степеням 1,2 и T Tc : F 02 02 ln[a(T Tc )2 b( 12 22 )]d 1d 2 .

После этого легко получить F

T Tc

2 ln

T Tc

, и C ln

T Tc

.

20. Гамильтониан классической модели Гейзенберга можно представить в виде

H ( 02 / 2) JijSiS j 0	Si H . Записать данный гамильтониан в приближении
i j	i

среднего поля, пренебрегая квадратичными флуктуациями спиновых моментов.

Решение
Используя разложение в виде
Si S j Si S j Si S j	Si S j	,
H ( 0 / 2)NH0mS 0	Si (H H0 ) ,	где
	i

запишем гамильтониан	в	виде:
H0 0 JijmS zJ 0mS	–	среднее
j

поле в приближении ближайших соседей, m Si /S – параметр порядка. Если определить параметр порядка как средний магнитный момент на узле m 0 Si , то среднее поле имеет вид H0 zJm .

21. Вычислить статистическую сумму классической ферромагнитной модели Гейзенберга в приближении среднего поля.

	Решение
	Определим	угол	i между	полем H H0 и спином Si , поэтому
	Z i exp( mH0		/ 2) d i exp[ 0	S(H H0 ) cos i ]	.
	exp( NmH0	/ 2)[4 sh( 0 S(H H0 )) / 0 S(H H0 )]N

22. Вычислить свободную энергию классической ферромагнитной модели Гейзенберга в приближении среднего поля.

Ответ

F NmH0 / 2 TN ln[4 sh( 0 S(H H0 )) / 0 S(H H0 )] .

23. Получить уравнение на параметр порядка классической модели Гейзенберга в приближении среднего поля.

Ответ
Используя условие F / m 0 , получаем	m 0 S FL[ 0 S(H H0 )] , где
FL (x) cth x 1/ x – функция Ланжевена.

24. Определить температуру перехода в ферромагнитное состояние в приближении среднего поля.

Решение

Используя разложение функции Ланжевена при m 0 , легко получить

Tc zJ ( 0 S)2 / 3 .

25. Разложить свободную энергию по параметру порядка вблизи температуры перехода в модели Гейзенберга.

Решение

Используя приближенные выражения

	sh x	1		x2			x4		x6	,ln	sh x		x2			x4		x6	,
	x			6		120			5020		x		6		180			2835

Разложим свободную энергию (см. задачу 22) по степеням параметра порядка

F / N T ln 4 (1/ 2)zJ (1 )m2 (1/ 20Tc )z2 J 2 (1 3 )m4 (1/105Tc2 )z3 J 3m6 ,(Tc T ) / Tc 1.

Из условия минимума свободной энергии находим зависимость параметра

порядка от			температуры				m (5T / zJ )1/2		(1 4 / 7) , с	учетом которой
							c
зависимость				свободной			энергии	от	температуры	имеет	вид
	F(m) F(0)			5Tc 2	5Tc	3 .
	N			4	84

26. Найти теплоемкость в модели Гейзенберга при T Tc .

Ответ

C 5N / 2 (20N / 7) .

27. Найти продольную намагниченность в модели Гейзенберга.

Ответ

M F / H Nm .

28. Записать продольную магнитную восприимчивость через функцию Ланжевена.

Ответ

dm			( 0 S)	2		H0 S)
				FL ( 0
							.
			T zJ ( 0 S)		2	( 0 H0 S)
dH H 0					FL

29. Найти магнитную восприимчивость в модели Гейзенберга при T Tc .

Ответ

(m 0, H0 0) 02 S 2 / 3(T Tc ) .

30. Найти продольную магнитную восприимчивость в модели Гейзенберга при

T Tc 0 .

Ответ

Используя асимптотики функции Ланжевена, получаем ( 02 S 2 / 6Tc ) 1 .

31. Найти продольную магнитную восприимчивость в модели Гейзенберга при

T 0 .

Ответ

T / (zJ 02 S 2 ) .

32. Исследовать зависимость параметра порядка от температуры в модели

Гейзенберга при T 0		и T Tc 0 .
Ответ
m	S(1 T / 3T ) , m (5T / zJ )1/2		( 4 2	/ 7 4 3 / 49) .
0	c	c

33. Найти зависимость теплоемкости от температуры в модели Гейзенберга при

T 0 и T Tc .

Ответ

C (NzJ / 2) m2 / T , C (5N / 2)(1 8 / 7) , C N(1 Tc / 3T ) .

ФЛУКТУАЦИИ МАГНИТНОГОМОМЕНТА В МОДЕЛИ ИЗИНГА

Теория среднего поля только качественно описывает область вблизи точки фазового перехода. Учет флуктуаций позволяет лучше объяснить

экспериментальные данные вблизи фазового перехода.
Дальний порядок возникает в упорядоченной фазе, где i	0 , не зависит от

номера узла и не спадает даже на больших расстояниях от узла. Дальний порядок спонтанно исчезает в точке фазового перехода. Ближний порядок связан с локальными флуктуациями магнитного момента на близких расстояниях. В теории среднего поля флуктуации не учитываются, поэтому с исчезновением спонтанной намагниченности исчезает и ближний порядок.

Рассмотрим функцию корреляции i j выше точки фазового перехода, где

i 0 . Используя	метод самосогласованного поля, запишем функцию
корреляции в виде. G(r1		r2 ) th [J (r1 r2 ) J (r2	rj )G(r1 rj )] . В
		j 1
приближении Вейсса	G(r1 rj ) 0 . Если принять, что G(r1		rj ) 1, то после
фурье-преобразования	имеем	G(k) [J (k) G( k)J (k)] . Корреляционная

функция в реальном пространстве принимает вид G(r) (1/ r) exp( r / ) , где

– корреляционная длина, которая расходится в точке фазового перехода. Таким образом, магнитные моменты начинают выстраиваться в пределах блока размера. Магнитные моменты блоков ориентированы беспорядочно, так что средний

магнитный момент всей системы по-прежнему равен нулю.

1. Фурье представление функции корреляции магнитного момента в модели Изинга i j G(rij ) представим в виде G(k) J (k) / (1 J (k)) , T Tc . Получить корреляционную функцию в длинноволновом приближении.

Ответ

G(k) Tc / (1 Tc / T ) .

2. Исследовать пространственную зависимость J (r) в пределе больших корреляционных длин.

Ответ

J (r) (1/ r) exp( r / r0 ) .

3. Вычислить координатную зависимость функции корреляции, используя фурье компоненты взаимодействия J (r) .

Ответ

G(r) (1/ r) exp( r / ) , (T Tc ) 1/ 2 .

4. Получить средний квадрат модуля фурье компоненты k 2 выше точки перехода.

Ответ

k 2 1/ (1 J (k)) .

5. Получить среднюю энергию H в модели Изинга.

Решение

По определению при нулевом магнитном поле

E H (1/ 2) Jij i j
	i j
(1/ 2) J (k)G(k) (1/ 2) J (k) / (1 J (k)) .
k	k

6. Вычислить теплоемкость в модели Изинга вблизи фазового перехода, учитывая длинноволновую поправку.

Ответ

В длинноволновом приближении J (k) J (0) ak2 .

	C (1/ 2)	2 J 2 (k)		VJ 2 (0)	(T T ) 1/2 .
		(1 J (k))2		16 a3/2
	k				c

7. Выразить восприимчивость системы через флуктуации магнитного момента.

Ответ

( / N )[ ( i i )2 ( i i ) 2 ] .

8. Вычислить флуктуационный вклад в магнитную восприимчивость системы выше точки перехода.

Ответ

m / H lim		k		2 (T Tc ) 1 .
k 0

Литература

1.Ландау Л.Д. Лифшиц Е.М. Статистическая физика.– М., Физматлит, 2010.

2.Изюмов Ю.А. Скрябин Ю.Н. Статистическая механика магнитоупорядоченных систем – М., Наука, 1987.

3.Елесин В.Ф. Кашурников В.А. Физика фазовых переходов.– М., МИФИ, 1997.

4.Толедано Ж.К, Толедано П. Теория Ландау фазовых переходов – М., Мир, 1999.

5.Румер Ю.Б. Рывкин М.Ш. Термодинамика статистическая физика и кинетика

– М., Наука, 1977.

6.Аминов Л.К. Термодинамика и статистическая физика – Казань, КГУ, 2008.