QalOGUGtk0

УДК 378.016:51(082) ББК 74.580.2я43

А79

Печатается по решению Совета по научно-исследовательской работе и редакционно-издательской деятельности Мурманского государственного гуманитарного университета

Рекомендовано к печати кафедрой математики и математических методов в экономике МГГУ (протокол № 7 от 30.03.2015 г.)

Редколлегия: Б. М. Верещагин, доцент кафедры МиММЭ МГГУ (отв. ред.); Е. А. Давидюк, ст. преподаватель кафедры МиММЭ МГГУ; О. М. Мартынов, заведующий кафедрой МиММЭ МГГУ

Коллектив авторов

Аргумент : сборник статей / отв. ред. Б. М. Верещагин. – Мурманск : МГГУ, 2015. – Вып. III. 241 с.

Сборник состоит из работ по методике преподавания математики в университетах преподавателей кафедры математики и математических методов в экономике. Основная часть материала данного выпуска посвящена обсуждению содержания ответов на вопросы по математическим дисциплинам на государственной аттестации студентов специальностей:

010501.65 Прикладная математика и информатика.

080116.65 Математические методы в экономике, и направлений

010400.62 Прикладная математика и информатика.

050100.62 Педагогическое образование, профиль Математика, информа-

тика.

080500.62 Бизнес-информатика.

010200.62 Математика и компьютерные науки.

Печатается в авторской редакции.

©Коллектив авторов, 2015

©ФГБОУ ВО «Мурманский государственный гуманитарный университет», 2015

2

О Г Л А В Л Е Н И Е

Богомолов Р.А., Богомолова И.В. Обращение матрицы……………… 5

Богомолов Р.А., Богомолова И.В. Решение систем линейных алгебраических уравнений………………………………………….… 9

Богомолов Р.А., Богомолова И.В. Геометрический подход к решению систем алгебраических неравенств…………………….….. 16

Богомолов Р.А., Богомолова И.В. Построение ортонормированных систем векторов методом Грамма-Шмидта….. 20

Богомолов Р.А., Богомолова И.В. Матричное представление линейного оператора…………………………………………………... 24

Богомолов Р.А., Богомолова И.В. Спектр и собственные векторы линейного оператора…………………………………………………... 30

Верещагин Б.М., Верещагина С.А. Решение задач по теме

«Предел функции по базе. Свойства пределов»………………..……. 35

Верещагин Б.М., Верещагина С.А. Решение задач по теме

«Вычисление производной функции»………………………………... 42

Верещагин Б.М., Верещагина С.А. Решение задач по теме

«Неопределённый интеграл и интеграл Римана»……………………. 46

Верещагин Б.М., Верещагина С.А. Решение задач по теме

«Дифференцируемые функции нескольких переменных»……….…. 54

Верещагин Б.М., Верещагина С.А. Решение задач по теме

«Исследование сходимости рядов»………………………………..…. 57

Давидюк Е.С. Решение задач по теме «Методы обнаружения грубых ошибок. Робастные оценки»………………………………..… 63

Давидюк Е.С. Решение задач по теме «Кластерный анализ»……..… 70

3

Давидюк Е.С. Решение задач по теме «Регрессионный анализ»…… 79

Давидюк Е.С. Решение задач по теме «Матричные игры»………….. 88 Давидюк Е.С. Решение задач по теме «Биматричные игры»……….. 98

Давидюк Е.С. Решение задач по теме «Кооперативные игры»…….. 102

Ланина Н.Р. Решение задач по разделу «Дискретная математика»……………………………………………………….……. 114

Ланина Н.Р. Индивидуальные задания по курсу «Комбинаторные алгоритмы» (24 варианта)………………….…….. 125

Локоть В.В. Задачи для подготовки к государственному экзамену по математике……………………………………………………….… 140

Мартынов О.М. Задачи для подготовки к междисплицинарному экзамену по дисциплине «Уравнения математической физики» (специальность «Прикладная математика и информатика»)…….…. 156

Мартынов О.М. Задачи для подготовки к междисплицинарному экзамену по дисциплине «Методы оптимизации» (специальность «Прикладная математика и информатика»)………………………… 192

Мартынов О.М. Задачи для подготовки к междисплицинарному экзамену по дисциплине «Теория оптимального управления» (специальность «Математические методы в экономике»…………… 203

Побойкин В.Я. Некоторые задачи численных методов……………… 215

Пышкина Т.В. Решение задач линейного программирования симплекс-методом и с использованием табличного редактора

Excel…………………………………………………………………..… 225

Пышкина Т.В. Решение транспортной задачи линейного программирования методом потенциалов и с использованием табличного редактора Excel…………………………………………… 234

4

Богомолов Р.А. Богомолова И.В.

Обращение матрицы

рядка.

называется алгебраическим дополнением элемента aij и представляет собой определитель (n-1)-го порядка.

Для определителя det A матрицы A имеют место соотношения:

i 1

Равенство (2) называется разбиением det A по i-й строке, а равенство

(3) – разбиением det A по j-му столбцу.

Квадратная матрица A называется вырожденной, или особенной, если det A = 0, и невырожденной, или неособенной, в противном случае.

Матрица A называется обратимой, если существует матрица B, такая, что AB = BA = E, где E – единичная матрица (т.е. такая квадратная, на главной диагонали которой стоят единицы, а все остальные элементы равны нулю). Матрица B называется матрицей, обратной матрице A, и обозначается как A-1.

Теорема.

Матрица A обратима, если и только если A – квадратная невырожденная; при этом матрица A-1 определяется единственным образом.

Одним из способов обращения матрицы A, т.е. отыскания матрицы A-1, является метод присоединенной матрицы, представляющий собой вычисление по формуле

5

Используя формулу разложения определителя по первому столбцу, получим:

det A a11 A11 a21 A21 a31 A31 2 ( 1) ( 1) ( 1) 1 ( 1) 2

Поскольку detA≠0, то матрица А в самом деле обратима, так что задача поставлена корректно. Завершим вычисление матрицы A*

6

b) Найти матрицу, обратную матрице А, через присоединенную:

Решение:

Воспользуемся формулой

7

Используя формулу разложения определителя по первому столбцу, полу-

чим: det A a11 A11 a21 A21 a31 A31 2 ( 1) ( 1) ( 1) 0 4 1

Поскольку detA≠0, то матрица А в самом деле обратима, так что задача поставлена корректно. Завершим вычисление матрицы A*

8

Богомолов Р.А. Богомолова И.В.

Решение систем линейных алгебраических уравнений

Системой линейных алгебраических уравнений, содержащей m уравнений и n неизвестных, называется система вида

где числа aij , i 1, m j 1, n называются коэффициентами системы, числа bi - свободными членами. Подлежат нахождению числа xn .

Такую систему удобно записывать компактно в матричной форме

A X B

Здесь A - матрица коэффициентов системы, называемая основной матрицей:

Произведение матриц A X определено, так как в матрице A столбцов столько же, сколько строк в матрице X ( n штук).

Расширенной матрицей системы называется матрица полненная столбцом свободных членов

9

обращаются в верные равенства. Всякое решение системы можно записать

Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет ни одного решения.

Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения. В последнем случае каждое ее решение называется частным решением системы. Совокупность всех частных решений называется общим решением.

Решить систему – это значит выяснить, совместна она или несовместна. Если система совместна, найти ее общее решение.

Две системы называются эквивалентными (равносильными), если они имеют одно и то же общее решение. Другими словами, системы эквивалентны, если каждое решение одной из них является решением другой, и наоборот.

Эквивалентные системы получаются, в частности, при элементарных преобразованиях системы при условии, что преобразования выполняются лишь над строками матрицы.

Система линейных уравнений называется однородной, если свободные члены равны нулю:

решением системы. Это решение называется нулевым или тривиальным. Решение систем линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли.

Исчерпывающий ответ на вопрос о совместности этой системы дает теорема Кронекера-Капелли.

10