Tema_6_Statistika_i_analiz_variatsii_v_massovykh_yavleniakh_i_protsessakh

Статистика и анализ вариации в массовых явлениях и процессах

ТЕМА 6

12.09.2016

ЛЕКЦИЯ 11

Вариация и вариационные ряды

Условия, в которых находится каждый из изучаемых объектов, особенности их развития выражаются конкретными числовыми уровнями статистических показателей

Носит объективный характер

Вариация

Помогает понять сущность и причины изучаемого явления

Средняя величина дает обобщающую характеристику всей совокупности изучаемого явления. Однако два распределения, имеющие одинаковую среднюю арифметическую, могут значительно отличаться друг от друга по степени рассеяния (вариации) признака

Если индивидуальные значения признака ряда мало отличаются друг от друга, то средняя арифметическая будет достаточно надежной характеристикой типичного уровня в данной совокупности

Если же ряд распределения характеризуется значительным рассеиванием индивидуальных значений признака, то средняя арифметическая будет ненадежной характеристикой типичного уровня этой совокупности и ее практическое применение будет ограничено

ЗНАЧЕНИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ ВАРИАЦИИ В

СТАТИСТИЧЕСКОЙ НАУКЕ

1 Выявление изменчивости размеров явления дает возможность оценить степень зависимости изучаемого явления от других факторов, в свою очередь подверженных изменчивости, или, другими словами, оценить степень устойчивости явления к внешним воздействиям

2 Вариация предполагает оценку однородности изучаемого явления, т. е. меру типичности, рассчитанной для этого явления средней величины

ЗНАЧЕНИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ ВАРИАЦИИ В

СТАТИСТИЧЕСКОЙ НАУКЕ

3 Возможность оценивать вариативность определенного признака актуализирует статистические методы в условиях современной экономики, когда задачи, стоящие перед статистикой, усложняются целым рядом объективных факторов

4 Вариация и методы ее исследования имеют важнейшее значение в изучении явлений, протекающих в обществе

12.09.2016

ВИДЫ ВАРИАЦИИ

• изучаемый признак может

принять только одно из двух Альтернативная значений, противоположных

по своей сути

• изменение признака в

определенном направлении

Систематическая

• не имеет явно выраженного

направления, т.е. изменчивость Случайная признака при случайной

вариации непредсказуема

ЛЕКЦИЯ 12

Показатели

вариации

СРЕДНИЕ ВЕЛИЧИНЫ

общая средняя

•Рассчитывается по совокупности в целом

•Отражает общие черты, изучаемого исследования

групповая средняя

•Рассчитывается для каждой группы

•Дает характеристику размера явления, складывающуюся в конкретных условиях данной группы

Сравнительный анализ групповых и общих средних используется для характеристики социально-экономических типов изучаемого

общественного явления

Для того чтобы судить об однородности совокупности и типичности средней величины изучаемого признака, анализ следует дополнять исчислением показателей

вариации

Показатели вариации

АБСОЛЮТНЫЕ ПОКАЗАТЕЛИ ВАРИАЦИИ Размах вариации

Отражает пределы изменчивости признака, т.е. амплитуду вариации

Характеризует границы вариации изучаемого признака

Показывает, сколь велико различие между единицами совокупности, имеющими самое маленькое и самое большое значение признака

R xmax xmin

где R – размах вариации

xmax (xmin) – максимальное (минимальное) значение признака

Недостаток показателя – размах вариации показывает лишь крайние отклонения признака и не отражает отклонений всех вариантов значений признака

АБСОЛЮТНЫЕ ПОКАЗАТЕЛИ ВАРИАЦИИ

Среднее по совокупности отклонение значения признака от его среднего уровня измеряют среднее линейное и

среднее квадратическое отклонение

Среднее линейное отклонение (đ)

представляет собой среднюю арифметическую абсолютных значений отклонений отдельных вариантов от их средней арифметической

 для несгруппированных данных

j 1

Среднее квадратическое отклонение

Обобщающая характеристика размеров вариации признака в совокупности

Показывает, на какую величину в среднем значение признака отличается от стандартного значения

Среднее линейное и квадратическое отклонения

показывают, как расположена основная масса единиц совокупности относительно среднего арифметического значения

выражаются в тех же единицах, что и

варианты (xi), поэтому экономически хорошо интерпретируются

ЗАКОН СЛОЖЕНИЯ (РАЗЛОЖЕНИЯ) ДИСПЕРСИИ

Если при группировке совокупности по некоторому признаку х было образовано m однородных групп, то согласно правилу разложения дисперсии общая дисперсия может быть разложена на две составные части:

σ2 = δ2 + ε2

δ2 - межгрупповая дисперсия

ε2 - остаточная (средняя из внутригрупповых) дисперсия

12.09.2016

АБСОЛЮТНЫЕ ПОКАЗАТЕЛИ ВАРИАЦИИ

Показатель рассчитывается по модулю. Математические свойства модулей плохие, поэтому часто на практике применяют другой показатель - среднее квадратическое отклонение

Среднее квадратическое отклонение (σ)

представляет собой среднюю квадратичную из отклонений отдельных вариантов от их средней арифметической (или корень квадратный из дисперсии – σ2)

 для несгруппированных данных

n

(xi x)2

 для сгруппированных данных

АБСОЛЮТНЫЕ ПОКАЗАТЕЛИ ВАРИАЦИИ Дисперсия (σ2)

Квадрат среднего квадратического отклонения

Представляет собой средний квадрат отклонений вариантов (индивидуальных значений признака) от их средней величины

Для несгруппированных данных рассчитывается общая дисперсия, которая показывает величину вариации признака, обусловленную всеми факторами, влияющими на данный признак

n

(xi x)2

2 i 1

n

межгрупповая дисперсия (δ2) характеризует часть общей вариации, обусловленной делением

совокупности на группы

j 1

остаточная (средняя из внутригрупповых)

дисперсия (ε2) характеризует остаточную вариацию, обусловленную прочими факторами, не связанными с делением совокупности на группы. Вычисляется как средняя взвешенная из внутригрупповых дисперсий

j 1

Чем больше межгрупповая дисперсия, тем лучше проведена группировка (выделенные при группировке группы сильнее различаются между собой)

Межгрупповая дисперсия является критерием группирования для группировок с одинаковым числом групп

Лучшей будет та группировка, у которой величина δ2 больше

Пользуясь правилом сложения дисперсий, можно всегда по двум известным найти третью – неизвестную, а также судить о силе влияния группировочного признака

По абсолютным показателям вариации судить о степени колеблимости признака не всегда возможно, поэтому в некоторых задачах необходимо использовать относительные показатели рассеяния

12.09.2016

ОСНОВНЫЕ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ДИСПЕРСИИ

Дисперсия постоянной величины равна 0

Если все варианты значений признака уменьшить на одно и то же постоянное число А, то дисперсия не изменится

Если все варианты значений признака разделить на какое-то постоянное число А (А – const), то дисперсия уменьшится в А2 раз, а среднее квадратическое отклонение – в А раз

Если исчислить средний квадрат отклонений от любой величины (А), в той или иной степени отличающейся от средней арифметической, то он всегда будет больше среднего квадрата отклонений, исчисленного от средней арифметической

ПОКАЗАТЕЛИ ОТНОСИТЕЛЬНОЙ ВАРИАЦИИ РАССЧИТЫВАЮТСЯ КАК ОТНОШЕНИЕ АБСОЛЮТНОГО ПОКАЗАТЕЛЯ ВАРИАЦИИ К СРЕДНЕМУ ЗНАЧЕНИЮ

• коэффициент

осцилляции

КОЭФФИЦИЕНТ ВАРИАЦИИ

Самый распространенный относительный показатель вариации (V)

Представляет собой выраженное в процентах отношение среднего квадратичного отклонения

(σ) к средней арифметической (x )

V 100% x

Вариация

позволяет

•Сравнивать значение одного и того же признака у разных групп объектов

•Выявить степень различия одного и того же признака у одной и той же группы объектов в разное время

•Сопоставить вариацию разных признаков у одних и тех же групп объектов

•Охарактеризовать однородность совокупности

•Если вариация не превышает 33%, то изучаемая совокупность считается однородной

•Чем этот показатель меньше, тем однороднее совокупность, а средняя величина признака типична для данной совокупности

•Чем вариация больше, тем неоднороднее совокупность

Коэффициент линейной вариации

Коэффициент осцилляции

Коэффициент дифференциации (KV)

где Q1 - первый квартиль, Q3 - третий квартиль

V ~ 1,5 KV

ПОКАЗАТЕЛИ ФОРМЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

1 Показатель симметричности распределения - коэффициент асимметрии

Симметричным является распределение, в котором частоты любых двух вариантов, равноотстоящих в обе стороны от центра распределения, равны между собой

Для симметричных одновершинных распределений средняя арифметическая, мода и медиана равны между собой

Положительная величина показателя асимметрии указывает на наличие правосторонней асимметрии, отрицательная - на наличие левосторонней асимметрии

2 Показатель островершинности распределения – эксцесс

Эксцесс (Ех) представляет собой выпад вершины эмпирического распределения вверх или вниз от вершины кривой нормального распределения

Он рассчитывается для симметричных распределений

Наиболее точным является показатель, использующий центральный момент четвертого порядка (М4):

для нормального распределения отношение М4 / σ4 = 3, следовательно, эксцесс равен нулю

12.09.2016

НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ И ЕГО СВОЙСТВА

Нормальное распределение может быть представлено графически в виде симметричной куполообразной кривой

Рисунок 6.1 - Нормальное распределение

Куполообразная форма кривой показывает, что большинство значений концентрируется вокруг центра измерения

Рисунок 6.1 - Виды асимметрии: а - левосторонняя; б – правосторонняя

Способы расчета коэффициента асимметрии

а) As = (Xср – Mo) / σ

Величина As может изменяться от -1 до +1 (для одновершинных распределений). Чем ближе по модулю As к 1, тем асимметрия существеннее

Наличие положительного эксцесса означает, что распределение более островершинное, чем нормальное

Отрицательное значение эксцесса означает более плосковершинный характер распределения, чем у нормального

Рисунок 6.2 - Эксцесс распределения