Литература и лекции / МатАнализ20171129

Лемма 1 (Лемма Бернулли, Неравенство Бернулли)

(1 + x)n ¸ 1 + nx ; 8n 2 N; 8x > ¡1 :

Доказательство строится методом математической индукции 1. База индукции. n = 1 . Неравенство принимает вид

1 + x ¸ 1 + x ;

который не вызывает сомнений.

2. Индуктивное предположение. Предположим, что мы уже доказали справедливость неравенства при n = k , то есть, что мы уже имеем верное неравенство

(1 + x)k ¸ 1 + kx :

(9)

3. Индуктивный переход. Докажем, что из неравенства (9) вытекает справедливость

неравенства (1 + x)k+1 ¸ 1 + (k + 1)x : (10)

Строим цепь очевидных равенств и обоснованных неравенств:

(1 + x)k+1 = (1 + x)k ¢ (1 + x) ¸ (1 + kx) ¢ (1 + x) = 1 + (k + 1)x + kx2 ¸ 1 + (k + 1)x :

¸

|{z}

Неравенство |

{z

}

¸0

(1+kx)

(10)

доказано. Теорема, таким образом, тоже доказана.

Лемма 2

¶; монотонно возрастает.

Последовательность fangn2N , ãäå an = µ1 + n

1

n

Доказательство

ïðè n ¸ 1 . Однако, удобнее и проще

Можно было бы доказать, что an+1 ¸ an

доказывать неравенство am ¸ am¡1

ïðè m ¸ 2 ; ãäå m = n ¡ 1 :

Построим цепь равносильных неравенств:

()

µ

m

¶

¸ µm ¡ 1

¶

()

am ¸ am¡1 ()

µ1 + m¶ ¸

µ1 + m ¡ 1¶

1

m

1

m¡1

m + 1 m

m

m¡1

() µ

¶ ¸

¶ ()

m

µm ¡ 1

¶ µm ¡ 1¶

() µ

m

¶ µ

m

¶ ¸

µ

m

m + 1

m

m

m

m

¡1

m + 1

m

m ¡ 1 m

m ¡ 1

11

() µ

m

¢

m

¶ ¸

m

()

µ

m2

¶ ¸

m

()

m + 1

m ¡ 1

m

m ¡ 1

m2

¡ 1

m

m ¡ 1

m

1

1

() µ1 ¡

¶ ¸ 1 ¡

:

(11)

m2

m

Последнее из равносильных неравенств в (11) справедливо в силу Леммы Бер

1

1

нулли при x = ¡

: Заметим, что ¡

> ¡1 ; поскольку m ¸ 2 .

m2

m2

Лемма доказана.

Лемма 3

ãäå bn

= µ1 + n¶ ; монотонно убывает.

Последовательность fbngn2N ;

1

n+1

Доказательство

Можно было бы доказать, что bn+1 · bn ïðè n ¸ 1 . Однако, удобнее и проще

доказывать неравенство bm · bm¡1 ; èëè bm¡1 ¸ bm ; ïðè m ¸ 2 ; ãäå m = n ¡ 1 :

Построим цепь равносильных неравенств:

() µm 1

¶ ¸

µ

m

¶

()

bm¡1 ¸ bm ()

µ1 + m 1 1¶

¸

µ1 + m

¶

m

1

m+1

m

m

m + 1

m+1

()

µm ¡ 1¶

¸ µ

¡

µm ¡ 1¶

()

µm ¡ 1

¶

¡

µm + 1¶ ¸ m ¡ 1 ()

m

¶

m

m+1

m + 1

m+1

m

m

m+1

m

m+1

m

()

µm 1

¢ m + 1¶

¸ m 1

() µm2

1¶

¸ mm 1 ()

m

m

m+1

m

m2

m+1

¡

() µ1 +

¡

¶m+1¸ 1 +

¡

¡

1

1

:

(12)

m2

1

m

1

¡

¡

Неравенство (12) справедливо в силу леммы Бернулли при

m + 1 = n è ïðè

x =

1

> 0 > ¡1 :

m2

¡ 1

1

(m + 1)

1

|{z}

1

m+1

¸4

µ1 +

¶

¸ 1 + (m + 1) ¢

= 1 +

= 1 +

:

(13)

m2 ¡ 1

m2 ¡ 1

(m ¡ 1)(m + 1)

m ¡ 1

Лемма доказана.

12