Литература и лекции / DiffEqITMO

Пример 11 Найти общее решение дифференциального уравнения

y0000 + y000 = 48x + 30 :

(31)

Решение Общее решение однородного уравнения, соответствующего уравнению (31), íàé-

дено в Примере 6 и имеет вид

y0(x) = C1 + C2 ¢ x + C3 ¢ x2 + C4 ¢ exp(¡x) :

Правая часть уравнения (31) есть полином первой степени, однако, поиск частного решения в виде полинома первой степени, y1(x) = b1x + b0 ; не увенчается успехом. Действительно, первые два слагаемых â y0(x) составляют общий вид именно полинома первой степени, который, таким образом, обратит левую часть (31) в ноль, но никак не в 48x + 30 :

В работу (в отличие от Примера 10) здесь включаются характеристическое число правой части ° = 0 и характеристическое число левой части ¸1 = 0 кратности 3, òî

есть, срабатывает 3 кратное совпадение характеристических чисел. Таким образом, частное решение следует искать в виде

y1(x) = (b1x + b0) ¢ x3 = b1x4 + b0x3;

тогда

y10 (x) = 4b1x3 + 3b0x2; y100(x) = 12b1x2 + 6b0x; y1000(x) = 24b1x + 6b0; y10000(x) = 24b1 :

Приготовленные выражения для искомой функции и е¼ производных подставим в уравнение (31):

24b1 + 24b1x + 6b0 = 48x + 30 ;

24b1x + (24b1 + 6b0) = 48x + 30 ;

21

Метод неопредел¼нных коэффициентов порождает систему уравнений:

½6b0 1+ 24b1

= 30 ¯

=)

½b0

=

¡

3

¯

=) y1(x) = 2x ¡ 3 =)

¯

¯

24b = 48

¯

b1

= 2

¯

= y(x) = y0(x) + y¯1

(x) = C1 + C2

¢

x +¯C3

¢

x

+ C4

¢

exp(

¡

x) + 2x

¡

3 :

)

Пример 12

Найти общее решение дифференциального уравнения

y00 ¡ 5y0 + 6y = 6 exp(5x):

(32)

Решение

Общее решение

однородного

уравнения,

соответствующего

уравнению (32),

y0(x) = C1 exp(2x) + C2 exp(3x) ; найдено в Примере 3.

Характеристическое число правой части ° = 5 ;

и с ним не совпадают характе-

ристические числа левой части ¸1 = 2 ¸2 = 3 : Значит, дополнительный множитель

не требуется.

В правой части (32) стоит экспонента, умноженная на число, следовательно,

частное решение следует также разыскивать в виде экспоненты, но умноженной на другое число,

y1(x) = b exp(5x) ;

тогда

y10 (x) = 5b exp(5x) ;

y100(x) = 25b exp(5x) :

Приготовленные выражения для искомой функции и е¼ производных подставим в уравнение (32):

25b exp(5x) ¡ 5 ¢ 5b exp(5x) + 6 ¢ b exp(5x) = 6 exp(5x) =)

=) 6 ¢ b exp(5x) = 6 exp(5x) =) b = 1 =) y1(x) = exp(5x) =)

=) y(x) = y0(x) + y1(x) = C1 exp(2x) + C2 exp(3x) + exp(5x) :

22

Пример 13 Найти общее решение дифференциального уравнения

y00 ¡ 4y0 + 4y = 2 exp(2x) :

(33)

Решение Общее решение однородного уравнения, соответствующего уравнению (33),

y0(x) = C1 exp(2x) + C2 x exp(2x) ; найдено в Примере 5.

Правая часть уравнения (33) есть экспонента (с постоянным коэффициентом при ней), однако, поиск частного решения в виде экспоненты, y1(x) = b exp(2x) ; не увенчается успехом. Действительно, первое слагаемое â y0(x) есть та же экспонента, которая, таким образом, обратит левую часть (33) в ноль, но никак не в 2 exp(2x) :

В работу (в отличие от Примера 12) здесь включаются характеристическое число правой части ° = 2 и характеристическое число левой части ¸1 = 2 кратности 2, òî

есть, срабатывает 2 кратное совпадение характеристических чисел. Таким образом, частное решение следует искать в виде

y1(x) = b ¢ exp(2x) ¢ x2;

тогда

y10 (x) = b ¢ (2 exp(2x) ¢ x2 + 2 exp(2x) ¢ x) ; y100(x) = b ¢ (4 exp(2x) ¢ x2 + 8 exp(2x) ¢ x + 2 exp(2x)) :

Приготовленные выражения для искомой функции и е¼ производных подставим в уравнение (33):

³

b ¢ 4 exp(2x) ¢ x2 + 8 exp(2x) ¢ x + 2 exp(2x) ¡ 4 ¢ (2 exp(2x) ¢ x2 + 2 exp(2x) ¢ x) +

+ 4 ¢ exp(2x) ¢ x2	´	= 2 exp(2x) =)	(34)
=) b ¢ 2 exp(2x) = 2 exp(2x) =) b = 2 =) y1(x) = 2 exp(2x) ¢ x2			=)

23

=) y(x) = y0(x) + y1(x) = C1 exp(2x) + C2 x exp(2x) + exp(2x) ¢ x2 :

Заметим, что "лишние члены", содержащие exp(2x) ¢ x è exp(2x) ¢ x2 â (34), взаимно уничтожаются. Это не есть удивительная удача, это гарантируется теорией.

Пример 14 Найти общее решение дифференциального уравнения

y00 + 9y = 10 cos(2x) :	(35)
Решение
Общее решение однородного уравнения, соответствующего уравнению	(35),

y0(x) = C1 ¢ cos(3x) + C2 ¢ sin(3x) ; найдено в Примере 7.

Характеристическое число правой части ° = 2 ¢ { ; и с ним не совпадают харак-

теристические числа левой части ¸1;2 = § 3 ¢ { : Значит, дополнительный множитель

не требуется.

Правую часть (35) можно рассматривать, как линейную комбинацию синуса и

косинуса одного аргумента (хотя один из коэффициентов линейной комбинации и равен нулю), следовательно, частное решение следует также разыскивать в виде линейной комбинации синуса и косинуса,

y1(x) = b0 cos(2x) + b1 sin(2x) ;

тогда

y10 (x) = ¡2b0 sin(2x) + 2b1 cos(2x) ;

y100(x) = ¡4b0 cos(2x) ¡ 4b1 sin(2x) :

Приготовленные выражения для искомой функции и е¼ производных подставим в уравнение (35):

¡4b0 cos(2x) ¡ 4b1 sin(2x) + 9 ¢ (b0 cos(2x) + b1 sin(2x)) = 10 cos(2x) =)

5b0 cos(2x) + 5b1 sin(2x) = 10 cos(2x) + 0 ¢ sin(2x) =)

24

(тождественное равенство двух линейных комбинаций синуса и косинуса возможно только при равенстве соответствующих коэффициентов)

		5b0	= 10	¯		b0	= 2	¯
=)	½			¯	=)	½b1		¯	=) y1(x) = 2 cos(2x) =)
		5b1	= 0	¯			= 0	¯
=	y(x) = y0(¯x) + y1(x) = C1 cos(3¯									x) + C2 sin(3x) + 2 cos(2x) :
)

Пример 15 Найти общее решение дифференциального уравнения

		y00 + 9y = 18 cos(3x) :			(36)
Решение
	Общее решение однородного		уравнения,	соответствующего уравнению (36),
y0	(x) = C1 ¢ cos(3x) + C2 ¢ sin(3x) ; найдено в Примере 7.
	Правая часть уравнения (36) есть линейная комбинация синуса и косинуса,
однако,		поиск частного решения	â âèäå	такой	же линейной комбинации,
y1	(x) =	b0 cos(3x) + b1 sin(3x) ; не увенчается успехом.			Действительно, выражение

äëÿ y0(x) есть ровно такая же линейная комбинация, и она, таким образом, обратит левую часть (36) в ноль, но никак не в 18 cos(3x) :

В работу (в отличие от Примера 14) здесь включаются характеристическое число правой части ° = 3 ¢ { и характеристическое число левой части ¸1 = 3 ¢ { кратности

1, то есть, срабатывает 1 кратное совпадение характеристических чисел. Таким образом, частное решение следует искать в виде

y1(x) = (b0 cos(3x) + b1 sin(3x)) ¢ x1 = b0 x cos(3x) + b1 x sin(3x);

тогда

y10 (x) = b0 ¢ (cos(3x) ¡ 3x sin(3x)) + b1 ¢ (sin(3x) + 3x cos(3x)) ; y100(x) = b0 ¢ (¡6 sin(3x) ¡ 9x cos(3x)) + b1 ¢ (6 cos(3x) ¡ 9x sin(3x)) :

25

Приготовленные выражения для искомой функции и е¼ производных подставим в уравнение (36):

b0 ¢(¡6 sin(3x)¡9x cos(3x))+b1 ¢(6 cos(3x)¡9x sin(3x))+9 (b0 x cos(3x) + b1 x sin(3x)) =

= 18 cos(3x) =)	(37)
=) b1 ¢ 6 cos(3x) + b0 ¢ (¡6) sin(3x) = 18 cos(3x) + 0 ¢ sin(3x)	=)

(тождественное равенство двух линейных комбинаций синуса и косинуса возможно только при равенстве соответствующих коэффициентов)

=)	½	6b1 = 18	¯ =)	b1	= 3	¯	=) y1(x) = 3 x sin(3x) =)
		6b0 = 0		½b0	= 0
		¡	¯			¯
			¯			¯
=		y(x) = y0(¯x) + y1(x) = C1 cos(3¯						x) + C2 sin(3x) + 3 x sin(3x) :
)
Заметим, что "лишние члены", x cos(3x)								è x sin(3x) â (37) взаимно уничтожа-

ются. Это не есть удивительная удача, это гарантируется теорией.

Теорема о методе Лагранжа вариации произвольных постоянных Пусть общее решение ЛОДУ

any(n) + an¡1y(n¡1) + : : : + a1y0 + a0y = 0

уже найдено в виде

y0 = y0(x) = C1z1(x) + C2z2(x) + : : : + Cnzn(x) ;

ãäå C1 ; C2 ; : : : ; Cn¡1 ; Cn произвольные константы.

Тогда общее решение ЛНДУ

any(n) + an¡1y(n¡1) + : : : + a1y0 + a0y = q(x)

26

может быть найдено в виде

y = y(x) = c1(x)z1(x) + c2(x)z2(x) + : : : + cn¡1(x)zn¡1(x) + cn(x)zn(x) ;

ãäå c1(x) ; c2(x) ; : : : ; cn¡1(x) ; cn(x) функции, которые являются решением системы уравнений

>

z1(x)c10 (x) + z2(x)c20 (x) + : : : + zn(x)cn0 (x) = 0

>

>

>

8 z10 (x)c10 (x) + z20 (x)c20 (x) + : : : + zn0 (x)cn0 (x) = 0

>

>

: : :

=

0

>

(n 2)

(n

2)

(n

2)

>

(x)c0

(x) + z

(x)c0

(x)c0 (x) = 0

< z

¡

¡

(x) + : : : + zn ¡

>

>

1

1

2

2

>

n

>

:

q(x)

> z(n¡1)

(x)c

(x) + z(n¡1)

(x)c

(x) + : : : + z(n¡1)(x)c

(x) =

an

>

1

10

2

20

n

n0

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯¯: (38)

¯

¯

¯

¯

¯

Главный определитель системы линейных алгебраических уравнений (38) íå равен нулю, и поэтому система имеет единственное решение.

Доказательство строится только для случая n = 2:

Пусть y(x) = C1z1(x) + C2z2(x) общее решение ЛОДУ (39)

a2y00 + a1y0 + a0y = 0 :

(39)

Общее решение ЛНДУ

a2y00 + a1y0 + a0y = q(x)

(40)

будет найдено в виде

y(x) = c1(x)z1(x) + c2(x)z2(x) ;

(41)

ãäå z1(x) ; z2(x) базисные частные решения ЛОДУ, c1(x) ; c2(x) неизвестные пока

функции.

Найд¼м первую производную искомого решения,

y0(x) = c01(x)z1(x) + c1(x)z10 (x) + c02(x)z2(x) + c2(x)z20 (x) :

27

Потребуем, чтобы выполнялось равенство

c10 (x)z1(x) + c20 (x)z2(x) = 0 ;

(42)

тогда

y0(x) = c1(x)z10 (x) + c2(x)z20 (x) ;

(43)

y00(x) = c01(x)z10 (x) + c1(x)z100(x) + c02(x)z20 (x) + c2(x)z200(x) :

Потребуем, чтобы выполнялось равенство

c0	(x)z0	(x) + c0	(x)z0	(x) =	q(x)	;	(44)
1	1	2	2		a2

тогда

q(x)

y00(x) = c1(x)z00

(x) + c2(x)z00

(x) +

:

(45)

1

2

a2

Подставим приготовленные выражения для

y(x) ; y0(x) ; y00(x)

выражения

(41), (43), (45) в левуя часть ЛНДУ (40). Получим:

(x)´+

a2 ¢ µc1(x)z100(x) + c2(x)z200(x) +

a2

¶ + a1 ¢ ³c1(x)z10 (x) + c2(x)z20

q(x)

+a0 ¢ ³c1(x)z1(x) + c2(x)z2(x)´ =

= c1

(x) ¢ ³a2z100(x) + a1z10 (x) + a0z1(x)´ + ³a2z200(x) + a1z20 (x) + a0z2(x)´ + q(x) =

|

{z

}

|

{z

}

=0

=0

= q(x) :

Содержимое синих è фиолетовых скобок равно нулю, поскольку функции z1(x) ; z2(x) являются, по условию Теоремы, частными решениями ЛОДУ (39).

Итак, ЛНДУ (40) выполнено для предложенного выражения (41) благодаря тому, что предъявлены требования (42) и (44).

Осталось только собрать эти требования в систему двух уравнений относительно

28

двух неизвестных функций c01(x) ; c02(x) ;

(c10 (x)z10 (x) + c20 (x)z20 (x) = qa	¯
2	¯
c10 (x)z1(x) + c20 (x)z2(x) = 0	¯	;	(46)
(x)	¯
и решать е¼ для каждого рассматриваемого ЛНДУ второго¯			порядка. Сами функции

c1(x) ; c2(x) получаются из c01(x) ; c02(x) простым интегрированием. Система (46) есть частный (для n = 2) случай системы (38).

Пример 16 Найти общее решение дифференциального уравнения

y00 ¡ 4y0 + 4y = 2 exp(2x) :

Решение Общее решение соответствующего однородного уравнения,

y0(x) = C1 ¢ exp(2x) + C2

| {z }

= z1(x)

¢x exp(2x) ;

| {z }

=z2(x)

найденное в Примере 5, позволяет выписать общее решение неоднородного уравнения,

y(x) = c1(x)z1(x) + c2(x)z2(x) ;

и построить систему уравнений относительно его непостоянных коэффициентов
½z10	(x)c10	(x) + z20	(x)c20	(x) = 2 exp(2x)	¯	;
z1	(x)c10	(x) + z2	(x)c20	(x) = 0	¯
					¯
					¯

½	exp(2x)c (x) + x exp(2x)c (x) = 0			¯	;
	2 exp(2x)10c10 (x) + (exp(2x)20+ 2x exp(2x))c20 (x) = 2 exp(2x)
				¯
				¯
	c0 (x) + xc20 (x) = 0	¯	:	¯	(47)
	½21c10 (x) + (1 + 2x)c20 (x) = 2
		¯
		¯
		¯

29

Решим систему (47) методом Крамера.

¯

1

x

¯

=

¯

2 1 + 2x

¯

= 1 + 2x ¡ 2x = 1 ;

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

1

=

2 1 + 2x

= ¡2x ;

2 =

2 2

= 2 ;

¯

0

x

¯

¯

1 0

¯

¯

¯

¯

¯

¯

1

¯

¯

2

¯

c10 (x) =

= ¡2x ;

c20 (x) =

= 2 ;

ZZ

c1(x) = c01(x)dx = (¡2x)dx = ¡x2 + C1 ;

ZZ

c2(x) = c02(x)dx = 2dx = 2x + C2 ;

y(x) = c1(x) ¢ z1(x) + c2(x) ¢ z2(x) = (¡x2 + C1) exp(2x) + (2x + C2) x exp(2x) =

= C1 exp(2x) + C2 x exp(2x) + x2 exp(2x) :

Результат совпал с результатом Примера 13.

Пример 17 Найти общее решение дифференциального уравнения

y00 + 9y = 18 cos(3x) :

Решение Общее решение соответствующего однородного уравнения,

y0(x) = C1 ¢ cos(3x) + C2 ¢

| {z }

= z1(x)

sin(3x) ;

| {z }

= z2(x)

30