mathematics_part_1_hamov

Пусть уравнение прямой имеет вид y = kx +b. Так как прямая

проходит через точку	M 0 (x0 ; y0 ), то подставляя вместо x, y числа
x0 , y0 , получим числовое равенство y0 = kx0 +b.		Вычитая из первого
равенства соответствующие части второго, получим
y − y0 = kx +b − kx0 −b	<=> y − y0 = k(x − x0 ).
Уравнение (2.14)	называют уравнением	«пучка» прямых.

Оно описывает все прямые, проходящие через точку M 0 , кроме прямой, перпендикулярной оси Ox, уравнение которой x = x0 (см.

рис. 2.14).

y
y − y0 = k1 (x − x0 )		y − y0 = k2 (x − x0 )
			y − y0 = k3 (x − x0 )
y0		M 0
α3	α2		α1
O		x0	x

Рис. 2.14

Пример 2.16. Составить уравнение прямой, проходящей через

точку (2; − 4) и имеющей угловой коэффициент k = 3.
Решение.	Точку	(2; − 4)	обозначим	M 0 . Тогда
x0 = 2, y0 = −4, k = 3.	Поэтому на основании формулы «пучка» пря-

мых (2.14) имеем y −(− 4)= 3(x − 2), y + 4 = 3x −6 и, окончательно, уравнение прямой 3x − y −10 = 0 .

Ответ: 3x − y −10 = 0 .

Пример 2.17. Составить уравнение прямой, проходящей через точку (− 2; 1) и а) параллельной прямой x − y +8 = 0;

б) перпендикулярной прямой 3x − y +1 = 0.

51

Решение. а) Преобразуем уравнение данной прямой x − y +8 = 0 к виду с угловым коэффициентом. Имеем y = x +8. Отсюда k1 =1. Так как искомая прямая параллельна данной, то ее угловой коэффициент тоже равен 1, k2 =1 (см. формулу (2.7)). А тогда на основании формулы (2.14) имеем y −1 =1 (x −(− 2)), то есть

y = x +3.

б) Угловой коэффициент данной прямой равен 3, k2 = 3. В силу перпендикулярности прямых k2 = −13 (см. формулу (2.8)). Тогда

уравнение			искомой					прямой имеет вид:	y −1 = −	1	(x + 2) или
									3
x +3y −1 = 0.
Ответ: а) y = x +3;								б) x +3y −1 = 0.
6. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки
Пусть прямая проходит через две данные точки											M1 (x1 ; y1 ) и
M 2 (x2 ; y2 ). Если x1 ≠ x2							и	y1 ≠ y2 , то уравнение прямой имеет вид:
	x − x1			=	y − y1			.	(2.15)
	x	2	− x		y	2	− y
			1				1
Действительно, по формуле (2.14) уравнение прямой имеет
вид:					( k		— не известно). Эта прямая проходит через
y − y1 = k(x − x1 )
точку M 2 (x2 ;			y2 ). Подставляем координаты этой точки в уравнение

прямой. Имеем числовое равенство y2 − y1 = k(x2 − x1 ). Разделим левые и правые части первого равенства на второе и получим фор-

мулу (2.15).

Если абсциссы точек M1 и M 2 одинаковы, то есть x1			= x2 , то
прямая
M1M 2 перпендикулярна оси абсцисс, и	уравнение		прямой
имеет вид x = x1. Если ординаты точек M1 и	M 2	равны,	то есть
y1 = y2 , то прямая M1M 2 перпендикулярна оси Oy		и ее уравнение
y = y1.

52

Пример 2.18. Написать уравнение прямой, проходящей через точки

а) M1 (1; − 2) и M 2 (− 2; 3); б) M1 (4; − 2) и M 2 (3; − 2); в) M1 (3; 3) и M 2 (3; 5).

Решение.

а) В силу формулы (2.15) имеем

	x −1			y −(− 2)		x −1			y + 2
			=		или			=		.
	− 2 −1			3 −(− 2)		−3			5
Окончательно, 5x +3y +1 = 0.
б) Здесь y1 = y2 = −2.			Следовательно,					уравнение искомой пря-
мой есть y = −2.			= x2 , = 3. Поэтому уравнение искомой пря-
в) В этом случае x1
мой есть x = 3.
Ответ: а) 5x +3y +1 = 0; б) y = −2; в) x = 3.
7. Расстояние от точки до прямой
Расстояние от точки M 0 (x0 ; y0 ) до прямой Ax + By +C = 0 вычис-
ляется по формуле
d = Ax0 + By0 +C .										(2.16)
	A2 + B2
Пример 2.19. Найти расстояние от точки M 0 (2; −3) до прямой
3x − 4 y + 2 = 0.
Решение. Здесь x0			= 2, y0 = −3. На основании формулы для ис-
комого расстояния (2.16) имеем:
	d = 3 2 − 4(−3)+ 2					= 20		= 4.
			32 +42			5

Ответ: 4.

Пример 2.20. Найти расстояние между параллельными прямыми

3x + y −7 = 0, 6x + 2 y +1 = 0.

Решение. Все точки одной прямой находятся на одинаковом расстоянии от параллельной ей второй прямой. Выберем какую-

53

нибудь точку, лежащую на первой прямой, например, M 0 (0; 7). Тогда ее расстояние до второй прямой будет

d = 6 0 + 2 7 +1	=	15	≈ 2,37.
62 +22		40

Ответ: d ≈ 2,37.

Задания для самостоятельной работы

1. Построить прямые, найдя точки их пересечения с осями координат:

а) 2x − y + 4 = 0; б) x + y +5 = 0.

Ответ: точки пересечения прямых с осями координат

а) (− 2; 0), (0; 4); б) (−5; 0), (0; −5).

2. Записать уравнения прямых, составляющих с осью Ox углы

450 , 1350 , 600 , 1200	и отсекающих на оси Oy отрезок а) b = 4; б) b = −4.
Ответ: а)	y = x + 4,			y = −x + 4, y = 3x + 4,			y = −			3x + 4;
б) y = x − 4, y = −x − 4, y = 3x − 4, y = − 3x − 4.
3. Записать уравнения прямых с угловым коэффициентом:
а) 2x +3y −5 = 0; б) 4x + y = 0; в) x −5y +3 = 0.
Ответ: а)	y = −	2	x +		5	; б) y = −4x; в)	y =	1	x −		3	.
	3			3			5			5

4.Прямая проходит через точку A(5; 1) и составляет с осью Ox угол 450. Написать уравнение этой прямой.

Ответ: y = x − 4.

5.Привести к виду в отрезках уравнение прямых:

а) 2x +3y = 6; б) 5x − 4 y + 20 = 0.
Ответ: а)	x	+	y	=1; б)	x	+	y		=1.
	3				− 4
		2				5

6. Даны вершины A(−1; 3), B(5; 3) и точка пересечения диагоналей прямоугольника E(2; 0). Написать уравнения его сторон.

Ответ: y = ±3; x = −1; x = 5.

54

7. Составить уравнения прямых, проходящих через точку A(2; −1) и являющихся а) перпендикулярной, б) параллельной

	прямой 2x − y +5 = 0.	1
	Ответ: а) y = −		x; б) y = 2x −5.
		2

8. Найти угол между прямыми 2x + y + 4 = 0 и y = 3x − 4. Ответ: 450.

9. Даны две вершины треугольника ABC и точка пересечения его высот M . Найти третью вершину C, если A(− 4; 3), B(4; −1), M (3, 3).

Ответ: (4; 5).
10.	Дана прямая x + 2 y − 4 = 0 и точка A(5; 7).		Найти проекцию
этой точки на данную прямую.
Ответ: (2; 1).
11.	Даны уравнения двух	сторон	параллелограмма
2x − y +5 = 0 и x − 2 y + 4 = 0. Диагонали		пересекаются в точке (1; 4).

Найти уравнения двух других сторон параллелограмма и длины его высот.

Ответ: 2x − y −1 = 0; x − 2 y +10 = 0;	6	5;	6	5.
	5		5

12. Написать уравнение траектории точки M (x; y), движущейся так, что сумма расстояний ее от прямых y = 2x и y = − 2x остается

равной 5.

Ответ: Точка движется по сторонам квадрата, ограниченного прямыми x −3y = ±5; 3x + y = ±5.

55

§4. Кривые второго порядка

Ккривым второго порядка относятся окружность, эллипс, гипербола и парабола, они описываются уравнениями второго порядка.

1. Окружность

Определение 2.4. Окружностью называется множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки (центра) той же плоскости.

Если точка C(a; b) — центр, то уравнение окружности

(x − a)2 + (y −b)2 = R2 ,	(2.17)
где R — радиус окружности, x и	y — текущие координаты (см.

§ 2 данной главы, примеры 2.6 и 2.7).

Если центр окружности находится в начале координат, то уравнение (2.17) примет вид: x2 + y2 = R2 .

2. Эллипc

Определение 2.5. Эллипсом называется множество точек плоскости, сумма расстояний которых до двух данных точек F1 и F2 (фокусов) той же плоскости есть величина постоянная, равная 2a (a > 0 ).

Обозначим расстояние между фокусами dF1F2 = 2c. Ясно, что

2a > 2c . Если выбрать систему координат, как указано на рис. 2.15а, то уравнение эллипса имеет вид:

	x2	+	y2	=1,	(2.18)
	a2
			b2
где b = a2 −c2		(a > b).
Эллипс имеет центр симметрии O , оси симметрии A1 A2 и B1 B2 ;
точки A1 (− a; 0),		A2 (a; 0), B1 (0; −b), B2 (0; b) называют вершинами эллип-
са, отрезки	A1 A2 и B1 B2 — большой и малой осями эллипса, пара-
метры a и b	— полуосями эллипса. Величина				ε =	c	(ε <1) называ-
						a

ется эксцентриситетом эллипса, он характеризует выпуклость эллипса.

56

Окружность можно считать частным случаем эллипса, когда

a = b (ε = 0).

Если фокусы эллипса лежат на оси Oy , то его уравнение имеет вид (см. рис. 2.15б).

	x2	+	y2	=1 (a > b)
	b2		a2

Если центр эллипса находится в точке C(x0 ; y0 ), а оси парал-

лельны осям координат, то уравнение эллипса имеет вид (см. рис. 2.16).

			(x − x0 )2		+		(y − y0 )2		=1 (a > b) или
								b2
				a2
				(x − x0 )2			+	(y − y0 )2		=1 (a > b).
				b2				a2
	a)	y								б)
										y
		b B2								A2
										−c F
				M						1
A1	F1	O		F2			A2			B1	B2
a	−c			c			a	x		-b O	b x

M

		−c F
	-b B1	2
		A1

Рис. 2.15

Приведенные уравнения эллипса называют каноническими. Пример 2.21. Найти полуоси, фокусы и эксцентриситет эл-

липса

x2 + y2 =1. 25 9

Построить эллипс.

57

F1 и F2

Решение.

В

соответствии с

уравнением

(2.18)

имеем

a2 = 25, b2 = 9, следовательно,

a = 5, b = 3.

Отсюда

c2 = a2

−b2 , c = 4,

F1 (− 4; 0),

F2 (4; 0), ε =

c

=

4

. Эллипс изображен на рис 2.17.

a

5

y

y

3

y0

b

F1

F2

a

-5 -4

O

4 5

x

O

x0

x

-3

Рис. 2.16. Рис. 2.17.

3. Гипербола

Определение 2.6. Гиперболой называется множество точек плоскости, абсолютное значение разности расстояний которых до двух данных точек (фокусов) той же плоскости есть вели-

чина постоянная, равная 2a.						Расстояние между фокусами F1 и F2
обозначим 2c, причем c > a.						Каноническое уравнение гиперболы
	x2	−	y2		=1,	(2.19)
	a2		b2
где b = c2 − a2 (см. рис. 2.18).
Фокусы F1 (−c; 0) и F2 (c; 0)						лежат на оси Ox . Оси координат яв-
ляются осями симметрии, точка O — центр симметрии гипербо-
лы, точки A1 (− a; 0) и					A2 (a; 0) называют действительными вершина-
ми, точки B1 (0; −b) и					B2 (0; b) — мнимыми вершинами, число a - дей-

ствительной полуосью, число b — мнимой.

Прямоугольник с центром в начале координат и сторонами, параллельными осям координат и проходящими через вершины

гиперболы, называют основным прямоугольником				гиперболы.
Продолжив его диагонали, получим прямые	y = ±	b	x,	к которым
		a

58

неограниченно приближаются ветви гиперболы, Эти прямые называют асимптотами гиперболы.

Эксцентриситет

ε =

c

>1.

Эксцентриситет характеризует вы-

a

тянутость основного прямоугольника. Если

a = b,

то гиперболу

называют равносторонней.

b

y

y

y =

x

b B2

a

-c F2

a A2 B2

F1 A1

A2

F2

B1

-c -a 0

a c

x

-b -a0A1

b

x

-b B1

-c F1

y = −

b

x

a

Рис. 2.18

Рис. 2.19

В случае, когда фокусы лежат на оси Oy , уравнение гиперболы записывают так

	y2	−	x2	=1,
	a2		b2

а асимптоты x = ± ba y (см. рис.2.19).

Если центр гиперболы находится в точке C(x0 ; y0 ), а оси парал-

лельны осям координат, то канонические уравнения гиперболы имеют вид:

(x − x	0	)2	−	(y − y	0	)2	=1 или	(y − y	0	)2	−	(x − x	0	)2	=1.
a2				b2				a2				b2

Пример 2.22. Определить вершины, фокусы, эксцентриситет

и асимптоты гиперболы		x2	−	y2	=1.		Сделать чертеж.
		4
				9
Решение. В соответствии с формулой (2.19) имеем
a = 2,	b = 3, c =	a2		+b2		=	13, ε = c =	13 ≈1,8,
вершины A1 (− 2; 0),							a	2
	A2 (2; 0), B1 (0; −3),					B2 (0; 3).

59

Через эти вершины проводят стороны основного прямоугольника гиперболы. Его диагонали y = ± 32 x — асимптоты ги-

перболы. Через вершины A1 и A2 проводим ее ветви, приближая их к асимптотам (см. рис. 2.20).

	y	3
	y =		x
		2
	3 B2
A1		A2
-2	0	2		x
	-3 B1

y = − 32 x

Рис. 2.20

4. Парабола

Определение 2.7. Параболой называется множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки (фокуса) и данной прямой, (директрисы), не проходящей через эту точку, расположенных в той же плоскости (см. рис. 2.21).

y

x = − 2p

				y 2	= 2 px
				M
	0	p			x
		F		; 0 .
			2

Рис. 2.21

60