книги из ГПНТБ / Учебник радиометриста флота учебник для школ и учебных отрядов ВМФ

§ 3. Резонанс напряжений и токов

Рассмотрим самый общий случай, когда цепь переменного тока (рис. 6, а) состоит из последовательно соединенных сопро­ тивлений: активного Ra, индуктивного Xl и емкостного хс. Пе­ ременное напряжение и, приложенное к такой цепи, создает в ней переменный ток

i = Imsln<x>t,

(17)

который на всех участках цепи будет одним и тем же. Тогда в любой момент времени сумма падений напряжений на отдель­ ных элементах цепи будет равна напряжению и, т. е.

и = ua-Т uL -f- ис.

(18)

Рис. 6. Цепь переменного тока с активным, индуктивным и емкостным

сопротивлениями

Это напряжение складывается из активного падения напря­ жения «а, совпадающего по фазе с током, и реактивного паде­ ния напряжения, сдвинутого относительно тока на четверть пе­ риода. Падение напряжения на реактивных сопротивлениях равно разности uL — ис или ис — uL, так как индуктивное на­ пряжение Ul всегда сдвинуто по фазе относительно емкостного

«с на 1'80° (рис. 6, б).

Для решения уравнения, т. е. для определения напряжения
и и угла 9,	применяем метод векторных диаграмм, предполагая,
что u L > U c ,	и взяв в качестве исходного вектора вектор тока /.

Отложим в произвольном направлении вектор тока I. Вектор активного падения напряжения иа, совпадающего по фазе с то­ ком, должен быть направлен вдоль вектора /. Вектор индуктив­ ного падения напряжения uL должен быть повернут в сторону

опережения относительно вектора тока на угол 90°,	а вектор
емкостного падения напряжения «с — в сторону	отставания

10

относительно вектора тока на угол 90°. Геометрическая сумма этих трех слагаемых векторов будет вектором приложенного напряжения, т. е.

		и =	иа+ вL + tic.
Но реактивное падение			напряжения ur =uL — Uc,			поэтому
вектор внешнего напряжения и равен u = ua + ur.
В данном случае		вектор	и	опережает вектор тока / на
угол	9 < - у -
Из	треугольника	АОВ (рис. 6,			в) действующее	значение
приложенного напряжения
		и =	у	и\ +	и],
или после подстановки
		и =	/ у	R\ +	х \

где х = хь — хс.

Величина г = ] / R\ + х 2, имеющая размерность сопротивления,

называется полным сопротивлением цепи с последовательным соединением Ra, L и С.

Тогда действующее значение внешнего напряжения u=Iz.

Если Xl — Xc, т . е.	в цепи реакция индуктивности				компенси­
рует реакцию емкости	(активный		характер	цепи),	то х = 0 и
9 = 0. При этом условии		реактивные падения		напряжения на
индуктивности и емкости		взаимно	компенсируются Ul = Uc, так

что внешнее напряжение и = иа и ток совпадает по фазе с напря­ жением. Этот случай в цепи носит название резонанса напря­ жений и ввиду исключительно важного значения рассмотрен ниже подробно.

	§ 4.	Мощность в цепи переменного тока
	Рассмотрим	количественные	соотношения, выражающие
энергетические процессы в цепи.
	Как уже указывалось, u = ua + uL+ Uc; умножив это выраже­
ние на ток /, получим для цепи уравнение мощностей
	и! = u j + uLI +		ucI = u j + в,/,	(19)
или
		Р = Р а + Рь + Рс = Р* + Рг,		(20)
где	/
		u j = UI cos <р — активная мощность;		(21)
	Pa=
	Рг — url = UI sin 9 — реактивная мощность.			(22)
				II

Активная мощность Ра является мощностью, потребляемой в цепи (в ее активном сопротивлении); измеряется она в ваттах или в единицах, производных от ватта.

Эта мощность зависит, как видим, не только от действующих значений приложенного напряжения U и тока /, но и от разно­ сти их фаз ср. Множитель cosep, входящий в выражение актив­ ной мощности, называется коэффициентом мощности.

Реактивная мощность также имеет вполне определенный физический смысл; она является амплитудой скорости поступле­ ния энергии в магнитное и электрическое поля, связанные с дан­ ной цепью. Реактивная мощность измеряется в вольт-амперах реактивных (вар) или их производных.

Полная мощность называется кажущейся мощностью и обо­

значается через Pi (или S), т. е.
Рг = UI.	(23)

Мощность Pi измеряется в вольт-амперах (или их производ­ ных) .

Понятия о кажущейся мощности вводят для того, чтобы оценить предельную мощность электрических машин, трансфор­ маторов и других электромагнитных устройств.

Кажущаяся мощность

p l==UI = y P \ + P *.

(24)

Активная мощность Pa = UIcosep зависит от cosep, т. е. от ха­ рактера нагрузки генератора переменного тока. Если приемник энергии при неизменном напряжении (t/ = const) представляет собой активную нагрузку (cosep=l) и потребляет мощность Ра, то для ее передачи требуется ток

Та же мощность при cos <р< 1 требует для своей передачи ток

	/' =	Ра	(26)
		U cos 9 ’
	откуда	I
	Г		(27)
		C O S о ’

т. е. с уменьшением cosep (увеличением угла <р) при неизменной мощности увеличивается потребляемый цепью ток, что в свою очередь ведет к увеличению потерь энергии внутри генератора и в соединительных проводах.

12

тельный контур

§ 5. Свободные колебания

Основой работы радиолокационных станций является исполь­ зование электрических колебаний высокой частоты, получаемых в колебательных контурах.

Колебательным контуром называется электрическая цепь, состоящая из индуктивности L и емкости С и некоторого актив­ ного сопротивления Ra (рис. 7). Так как вся

индуктивность такой		цепи сосредоточена		в	На
катушке, а	емкость — в конденсаторе,		то	та­
кой контур	получил	название контура	с	со­

средоточенными параметрами.

Получение колебаний и процессы в кон­ туре можно рассмотреть на примере работы схемы, представленной на рис. 8, а. При установке переключателя П в положение «1» конденсатор С зарядится до напряжения ба­

тареи Um. При этом в электрическом	поле, образованном меж­
ду пластинами конденсатора, будет запасена энергия
Ц7э = _C U^2 .	(28)

6

Рис. 8. Свободное колебание в контуре

Затем переведем переключатель П в положение «2», т. е. об­ разуем замкнутый колебательный контур. Конденсатор начина­ ет разряжаться; через катушку течет ток, который создает во­ круг ее витков магнитное поле. Энергия, запасенная в электри­ ческом поле конденсатора, уменьшается и превращается в энер­ гию магнитного поля катушки.

Но процесс заряда конденсатора происходит не мгновенно, а постепенно, потому что быстрому увеличению тока разряда препятствует э. д. с. Самоиндукции катушки, образующаяся при

13

нарастании магнитного поля. Лишь через некоторое время кон­ денсатор разрядится полностью.

Если активные потери в контуре отсутствуют (Ra = 0), вся энергия электрического поля конденсатора перейдет в энергию магнитного поля катушки:

= ~~Т~~ ’	(29)
Для этого случая
WM= Wa и	(30)

Характер изменения U на конденсаторе и тока i в контуре без потерь показан на рис. 8, б. Описанный процесс разряда конденсатора и увеличения тока разряда показан на отрезке О- h .

В момент ti напряжение U на конденсаторе равно нулю, а ток i достиг максимального значения. С момента t\ ток в конту­ ре начинает убывать, но направление его остается прежним. Конденсатор начинает заряжаться, на его обкладках возникает напряжение с противоположной полярностью. Как и в преды­ дущем случае, этот процесс происходит не мгновенно, а посте­ пенно, так как э.д.с. самоиндукции препятствует быстрому уменьшению тока.

К моменту t2 ток i будет равен нулю, а напряжение на кон­ денсаторе достигнет максимального значения. Вся энергия маг­ нитного поля катушки перейдет в энергию электрического поля конденсатора. С момента t2 начинается разряд конденсатора, а ток I, протекающий в противоположном направлении, возра­ стает.

К моменту /3 конденсатор полностью разрядится, а ток до­ стигнет максимального значения. На отрезке t3—1^ происходит заряд конденсатора и соответственно уменьшение тока.

В момент ^4 восстанавливается исходное состояние, и этим завершается полный цикл колебаний. Далее процесс повторя­ ется.

Таким образом, в цепи, состоящей из катушки индуктивно­ сти L и конденсатора С, происходит периодический колебатель­ ный процесс перехода энергии электрического поля конденсато­ ра в энергию магнитного поля катушки и обратно. Так как эти колебания происходят самостоятельно, без воздействия внешне­ го источника энергии, то они получили название свободных ко­ лебаний.

Частота свободных колебаний контура определяется по фор­

муле
1	(31)
/о — 2тс У Тс ’

где L — индуктивность катушки, Гц; С —емкость конденсатора, Ф.

14

Время, в течение которого совершается одно полное колеба­ ние напряжения на конденсаторе и тока в контуре, называется периодом колебания Т. Период — величина, обратная частоте:

Т — -2 - = 2тс УТС.

(32)

/о

Длиной волны X называют расстояние, на которое распрост­ раняется электромагнитная энергия за время одного периода. Определяют ее по формуле

X— сТ или X=	,	(33)
где с — скорость распространения энергии, равная		3 *108 м/с.

Период и частота колебаний зависят только от величины ин­ дуктивности и емкости контура, поэтому частота свободных ко­ лебаний получила название собственной частоты колебаний кон­ тура, а индуктивность и емкость, входящие в него, — параметров контура. Чтобы изменить частоту собственных колебаний кон­ тура, необходимо изменить его параметры, т. е. величины индук­ тивности и емкости. Процесс изменения частоты контура путем изменения его параметров называют настройкой контура.

Амплитуду тока /т свободных колебаний можно определить исходя из равенств:

называется волновым сопротивлением контура.

Выше мы предположили, что активные потери в контуре от­ сутствуют, т. е. Ra—О (идеальный контур). В реальном контуре имеются потери энергии на активном сопротивлении, поэтому количество энергии с каждым колебанием в контуре убывает. Амплитуды напряжения на конденсаторе и тока в контуре пос­ тепенно уменьшаются, т. е. в контуре имеются затухающие ко­ лебания (рис. 9, а), которые со временем прекращаются.

Время существования свободных колебаний в контуре и ско­ рость их затухания зависят от качества колебательного контура (величины активных потерь в нем) и оцениваются доброт­ ностью контура.

Добротность контура Q показывает, во сколько раз реактив­ ное сопротивление контура больше его потерь, и определяется так:

(35)

15

Убывание амплитуд напряжения и тока происходит по так называемому экспоненциальному закону. Чем ниже добротность Q, тем быстрее убывают амплитуды свободных колебаний. Так, в контурах с малой добротностью колебательный процесс мо-

Рис. 9. Характер изменения напряжения на конденсаторе при затухающих колебаниях

жет закончиться после небольшого числа колебаний (рис. 9,6). Чтобы получить незатухающие колебания, колебательный кон­ тур необходимо питать от источника переменной э.д.с.

§ 6. Вынужденные колебания

Вынужденными колебаниями называют такие электрические колебания, которые происходят в контуре под воздействием внешнего источника переменной э.д.с., создающего в контуре пе­ ременный ток. Этот ток, проходя по цепи в обоих направлениях, заряжает и разряжает конденсатор контура через катушку ин­ дуктивности.

Частота вынужденных колебаний соответствует частоте из­ менения э.д.с., а амплитуда их постоянна, так как на образова­ ние колебаний и потери в контуре расходуется энергия источ­ ника.

Итак, вынужденные колебания всегда незатухающие и ча­ стота их зависит не от параметров контура, а от частоты пере­ менной э.д.с. В этом их основное отличие от свободных колеба­ ний.

Амплитуда вынужденных колебаний зависит не только от величины воздействующей э.д.с., но и от соотношения между ча­ стотой этой э.д.с. и собственной частотой контура.

Для частоты собственных колебаний контура Xl = Xc, а так как действие этих реактивных сопротивлений противоположно, то полное сопротивление контура без учета активных потерь в нем для тока свободных колебаний будет равно нулю. Поэтому даже малая энергия, запасенная в контуре, может создать в нем колебания достаточно большой амплитуды. Это положение справедливо и для случая вынужденных колебаний, если часто­ та э.д.с. источника, возбуждающего эти колебания fB, совпадает

16

с частотой его собственных колебаний /о, т. е. fo— h. Если /ъ>/о, то хьф хс и хъ> хс, так как с увеличением частоты индук­ тивное сопротивление увеличивается, а емкостное уменьшается. Полное сопротивление контура при этом больше нуля и носит индуктивный характер. Источник э.д.с. расходует часть своей

энергии на преодоление этого сопротивления,		следовательно,
ток в контуре и амплитуда колебаний уменьшаются.
При fB</o	Xl ¥= Хс, причем xL<Xc. В этом случае полное со­
противление	больше нуля и имеет емкостной	характер, в. ре­

зультате амплитуда колебаний получается также меньшей, чем в случае совпадения обеих частот.

Из сказанного следует вывод, что амплитуда вынужденных колебаний при fB= fо наибольшая; с увеличением разницы меж­ ду этими частотами амплитуда вынужденных колебаний умень­

шается.	\	амплитуды вынужденных	колебаний
Явление	возрастания
при совпадении частоты		воздействующей на контур э.д.с., и
собственной	частоты контура /0 получило название		резонанса,

а частота, на которой он возникает, называется резонансной и обозначается fp.

Условием возникновения резонанса, таким образом, являет­

ся равенство
/ . = / о = /р-	(36)

Явление резонанса может быть получено двумя способами; изменением частоты э.д.с. до совпадения ее с частотой собст­ венных колебаний контура или изменением параметров конту­ ра (настройкой) до совпадения его собственной частоты с ча­ стотой действующей э.д.с.

Так как источник э.д.с. может быть включен в контур после­ довательно или параллельно его элементам, то различают со­ ответственно последовательный и параллельный колебательные контуры. В первом наблюдается резонанс напряжений, во вто­ ром — резонанс токов.

Последовательный колебательный контур (рис. 6, а) состоит из последовательно включенных индуктивности, емкости и ис­ точника э.д.с. Примем для удобства, что все его активные поте­ ри сосредоточены на сопротивлении Ra, также включенном по­ следовательно.

Полное сопротивление такого контура переменному току вы­

ражается формулой
z = Y B * + (xl - X cY.	(37)

Так как условием резонанса является совпадение частоты источника с частотой собственных колебаний контура, то при резонансе xL= xc и, следовательно, хь—хс = 0, z= R &, т. е. пол­ ное сопротивление становится минимальным и имеет активный

характер.	______________
	Г,Х>. кубличиру]

Ток в контуре при резонансе оказывается максимальным и равен

/ = - £ - .

(38)

При прохождении тока в контуре на его элементах образуют­ ся падения напряжения uL и ис\

tiL~ I x L, а	нс = 1хс.	(39)
Благодаря равенству xL= xc	обаэти напряжения	равны,

вследствие противоположного действия индуктивного и емкост­ ного сопротивлений направления этих напряжений противопо­ ложны. Поэтому они компенсируют друг друга, а э.д.с. источни­

	ка уравновешивается только падением				напряжения	иа на ак­
	тивном сопротивлении Ra:
			«а =	/Яа-		(40)
	Увеличение тока в контуре в момент резонанса приводит к
	возрастанию напряжений иа элементах контура:
		UL — Uq,		= I Х с ,
	HO
	откуда	Ux,			Uxn
	uL		UQ\ uc =			(41)
		- - g k - =			= UQ
	(так как x L = x c\	Q =	Q =

Из полученного выражения видно, что при резонансе напря­ жений чем выше добротность контура, тем больше увеличение напряжений на его элементах.

Напряжения на катушке индуктивности и конденсаторе при резонансе напряжений всегда больше э.д.с., возбуждающей вы­ нужденные колебания, в Q раз. В этом заключается важнейшая особенность резонанса напряжений, благодаря которой он ши­ роко применяется в радиотехнике.

Параллельный колебательный контур представлен на рис. 10 и отличается от последовательного включением источника э.д.с.

Под действием переменной э.д.с. источника в индуктивной и емкостной ветвях контура устанавливаются токи IL и 1с, вели­ чины которых определяются по формулам:

Но вследствие противоположного действия индуктивного и емкостного сопротивлений эти токи по отношению к току во

18

внешней цепи (до разветвления) направлены в противополож­ ные стороны, внутри же контура они имеют одно направление и, как видно из рис. 10, составляют один ток заряда и разряда конденсатора через катушку индуктивности, т. е. ток вынужден­ ных колебаний. Ток во внешней цепи скла-

	дывается из обоих токов, но так					как на-	—
	правление их на этом участке противопо­
	ложно, то он равен их разности.				Чем бли­		i'c
	же	частоты вынужденных и собственных
							u © Mi
	колебаний		контура, тем	разница		между
	индуктивным и емкостным сопротивления­
	ми,	а значит, и между		токами	в	ветвях
	становится меньше. Это влечет за					собой
	уменьшение тока во внешней цепи.						Рис. 10. Параллель­
		При совпадении частот вынужденных и					ный колебательный
	собственных колебаний			контура	наступает		контур
	резонанс		токов. ' Индуктивное		сопротив­

ление контура становится равным емкостному, и в контуре воз­ никают свободные колебания, при этом 1ь= 1с и ток во внеш­ ней цепи отсутствует.

Практически в контуре всегда имеются потери, которые в основном сосредоточены в катушке индуктивности, поэтому и во внешней цепи проходит малый ток, обусловленный этими ак­ тивными потерями. Таким образом, полное сопротивление кон­ тура имеет активный характер и ток во внешней цепи совпада­ ет по фазе с э.д.с. источника. Энергия источника при резонансе токов, как и при резонансе напряжений, расходуется только на пополнение активных потерь и, следовательно, даже слабые ко­ лебания могут возбудить в контуре вынужденные колебания достаточно большой амплитуды.

Чем выше добротность контура, тем большее увеличение то­

ка можно в нем получить:
Il = IC = IQ,	(42)

т. е. ток внутри контура всегда в Q раз больше тока во внешней цепи.

Малая величина тока во внешней цепи параллельного конту­ ра при резонансе объясняется большим его сопротивлением для тока источника, полное сопротивление контура будет в Q раз больше индуктивного или емкостного сопротивления контура. Поэтому резонанс токов применяется для создания большого нагрузочного сопротивления току определенной частоты.

§ 7. Полоса пропускания и избирательность контуров

Ранее было показано, что полное сопротивление контура и величина тока в нем зависят от частоты источника э.д.с., воз^- буждающего колебания.

19