книги / Общая физика. Гидродинамика и теплообмен

Тепло, выходящее за время ∆t через поверхность S шара во внешнюю среду,

Q2 = qS∆t = q4πR2∆t .

Стационарный тепловой режим означает, что во всех точках объема шара устанавливаются определенные (вообще говоря, различные) температуры, которые не меняются с течением времени. При этом во всех точках устанавливается и неизменный во времени поток тепла. Ясно, что в стационарном режиме Q1 = Q2 , т.е. все теп-

ло, которое за время ∆t выделилось внутри шара должно выходить за то же время наружу. В противном случае температура внутри шара изменялась бы с течением времени. Получаем

qV 4 πR3∆t = q4πR2∆t , 3

откуда следует

q = qV R . 3

В подразд. 1.4 была рассмотрена задача о стационарной передаче теплоты через плоскую стенку, где поле температур представляет собой линейную функцию всего от одной координаты.

Пример 3. На одном конце металлического стержня длиной L = 50 см поддерживается температура t1 = 250 °С, на другом конце t2 = 50 °С. Чему равны температуры и потоки тепла в точках, расположенных на расстояниях 20 и 40 см от горячего конца? Коэффициент теплопроводности материала стержня λ = 100 Вт/(м·К) и не зависит от температуры. Считать, что поток тепла направлен только вдоль стержня.

Решение. Данная задача аналогична задаче о стационарной передаче тепла через плоскую стенку. Не повторяя решение, данное в подразд. 1.4, сразу скажем, что температура будет линейно зависеть от координаты. Пусть ось х направлена вдоль стержня, начало координат совпадает с горячим концом стержня, тогда

111

T (x) = C1x + C2 .

Учитывая, что (граничные условия первого рода) Т(0) = T1, T(L) =

= T2, находим

C2 = T1 , C1 = − T1 − T2 ,

L

T (x) = T1 − T1 − T2 x = 250 − 400x . L

В последней формуле температура Т выражается в градусах Цельсия (°С), а координата х – в метрах (перевод температуры в кельвины в данном случае необязателен и нецелесообразен).

Находим температуры при х = 0,2 м и х = 0,4 м:

Т(20) = 250 − 400 0,2 = 170	(°С),
Т(40) = 250 − 400 0,4 = 90	(°С).

Согласно закону Фурье поток тепла qr = −λ gradT . В данном случае величина градиента температуры

		gradT =		dT		= −		T1 − T2	,
				dx				L
	тогда								(Вт/м2 ).
	q = λ	T1 − T2	= 100		200		= 40000
		L
			0,5

Отметим, что поток тепла не зависит от координаты, т.е. одинаков в любой точке стержня.

Часто приходится решать более сложные задачи теплопроводности, например, когда поле температур имеет сферическую или цилиндрическую симметрию.

Поле температур сферически симметрично, когда температура зависит только от расстояния r до какого-то центра (который можно

принять за начало координат): Т = Т(r), где r = x2 + y2 + z2 . В этом

случае оператор Лапласа, примененный к функции Т(r), можно представить в виде

112

∆T =

∂2T

+

2 ∂T

=

1

∂

2

∂T

r

.

∂r

2

r ∂r

r

2

∂r

∂r

Соответственно уравнение теплопроводности будет иметь вид

сρ	∂T	=	λ			∂		2	∂T	+ qV .
	∂t						r
			r	2
						∂r			∂r

Поле температур имеет цилиндрическую симметрию, когда температура зависит только от расстояния r до некоторой оси (которую мож-

но принять за ось z): Т = Т(r), где r =

x2 + y2 . В этом случае оператор

Лапласа, примененный кфункции Т(r), можно представить в виде

∆T =

∂2T

+

1 ∂T

=

1

∂

∂T

r

.

∂r

2

r ∂r

r

∂r

∂r

Соответственно уравнение теплопроводности будет иметь вид

сρ

∂T

λ ∂

∂T

∂t

=

r

+ qV .

r ∂r

∂r

В любой реальной

ситуации

коэффициент теплопроводности

в той или иной мере зависит от температуры. Поскольку температура является функцией координат, то и коэффициент теплопроводности тоже является функцией координат λ = λ (x, y, z). С учетом зависи-

мости коэффициента теплопроводности от координат уравнение теплопроводности имеет вид

cρ ∂T = div(λ T ) + q , ∂t V

и, соответственно, в случаях сферической и цилиндрической симметрии поля температур

	сρ	∂T =	1
			r2
		∂t
	сρ ∂T =			1
				r
		∂t

∂			λr	2	∂T		+ qV
								,
∂r					∂r
∂			λr	∂T		+ qV .
∂r					∂r

113

Пример 4. Докажите, что в случае сферической симметрии поля температур

∆T =

∂2T

+

2 ∂T

=

1

∂

2

∂T

r

.

∂r

2

r ∂r

r

2

∂r

∂r

Решение. Итак, пусть Т = Т(r), где r =

x2 + y2 + z2 .

Предварительно найдем производные

∂r ,

∂r ,

∂r :

∂x

∂y

∂z

∂r =

1

2x =

x

.

∂x 2 x2

+ y2 + z2

r

Аналогично получаем

∂r =

y

;

∂r =

z

.

∂y

r

∂z

r

Далее, поопределению: ∆T =

∂2T

+ ∂2T +

∂2T

. Сначаланайдем

∂x2

∂y2

∂z2

∂T = ∂T ∂r =

∂T

x

.

∂x

∂r

∂x

∂r

r

Теперь находим вторую производную:

∂2T

∂

∂T

∂

∂T

x

∂ ∂T

x

∂T

∂

x

=

=

=

+

=

∂x

2

∂r

r

∂r

∂x

∂x

∂x

∂x

r

∂x ∂r

r

2

∂r

x

∂T

r − x

∂r

2

x

2

∂T

r −

x2

∂x

=

∂ T

+

=

∂ T

+

r

=

r

r2

r2

∂r2 ∂x r

∂r

2

∂r2

∂r

=

∂2T

x2

+

1

∂T − ∂T

x2

.

∂r2

r2

r

∂r

∂r r3

∂T ∂x :

114

Аналогично получаем

∂2T

=

∂2T

y2

+

1

∂T −

∂T

y2

;

∂y2

∂r2

r2

r

∂r

∂r r3

∂2T

=

∂2T

z2

+

1

∂T −

∂T

z2

.

∂z2

r2

∂r2

r

∂r

∂r r3

Таким образом,

∆T = ∂2T +

∂2T +

∂2T =

∂2T

x2 + y2 + z2

+

3

∂T − ∂T

x2 + y2 + z2

.

∂r2

∂x2

∂y2

∂z2

r2

r

∂r

∂r

r3

Учитывая, что x2 + y2 + z2 = r2 , получаем ответ:

∆T

= ∂2T

+

3

∂T −

∂T

1

=

∂2T

+

2

∂T .

r

∂r2

∂r2

∂r

∂r r

r

∂r

Последнее выражение можно представить в виде

∂2T

2 ∂T

1 ∂

2 ∂T

+

=

r

.

∂r

2

r

∂r

r

2

∂r

∂r

Действительно,

1

r2

∂

∂r

2 ∂T

1

∂

(r

2

)

∂T

2

∂

∂T

r

=

+ r

=

r

2

∂r

∂r

∂r

∂r

∂r

1

2

2

2

=

2r

∂T + r2

∂

T2

=

∂ T2

+

∂T .

2

r

∂r

∂r

∂r

r ∂r

Пример 5. Внутри шара радиусом R за счет внутренних источников тепла в единице объема за единицу времени выделяется тепло qV , одинаковое в любой точке шара (например, при протекании

ядерных реакций). Температура в центре шара установилась равной Т0. Коэффициент теплопроводности шара равен λ и не зависит от температуры. Найдите температуру Т1 на поверхности шара.

Решение. Температура в любой точке шара может зависеть только от расстояния r до центра шара Т = Т(r). Следовательно, поле температур имеет сферическую симметрию. В этом случае уравнение теплопроводности приводится к виду

115

сρ	∂T	=	λ			∂		2	∂T	+ qV .
	∂t						r
			r	2
						∂r			∂r

Поскольку температура в центре шара установилась, тепловой режим стационарный, температура в каждой точке шара постоянна

во времени, т.е. ∂Т = 0 (при этом все тепло, выделяющееся внутри

∂t

шара, отводится через его поверхность в окружающую среду). Уравнение теплопроводности для области r ≤ R примет вид

0 =	λ			d		2	dT		+ qV .
					r
	r	2
				dr			dr

Заметим, что, так как температура является только лишь функцией от r и от времени не зависит, символы частной производной можно заменить на символы полной производной ∂ → d .

Преобразуем уравнение

d

2

dT

qV r2

r

= −

.

λ

dr

dr

И далее интегрируем

r2

dT

= −

qV r3

+ C

dT

= −

qV r

+

C1

.

dr

3λ

1

dr

3λ

r2

Определим С1. По закону Фурье поток тепла

dT

qV r

C1

qV r

λC1

q = −λ gradT = −λ

= −λ

−

+

=

−

,

dr

3λ

r

2

3

r

2

откуда следует, что С1 = 0. Действительно, если С1 ≠ 0, то при r → 0 поток тепла q → ∞ , т.е. из центра шара получаем бесконечный поток

тепла, что физически невозможно. Таким образом,

dT = − qV r . dr 3λ

116

qV R . 3

Интегрируем еще раз:

Т(r ) = − qV r2 + С . 6λ 2

Из условия T(0) = T0 следует, что С2 = Т0 и

Т(r ) = Т0	−	qV r2	.
		6λ

Подставляя в последнюю формулу r = R, получаем температуру на поверхности шара:

T1 = Т(R) = Т0	−	qV R2	.
		6λ

Пример 6. Внутри шара радиусом R за счет внутренних источников тепла в единице объема за единицу времени выделяется тепло qV , одинаковое в любой точке шара. Температура в центре шара ус-

тановилась равной Т0. Коэффициент теплопроводности шара равен λ. Найдите поле температур внутри и вне шара. Считать, что коэффициент теплопроводности окружающей среды тоже равен λ. Внутренних источников тепла в окружающей среде нет.

Решение. Для области r ≤ R решение получено в примере 5:

Т(r ) = Т0 −

qV r2

.

6λ

Температура на поверхности шара

Т1

= Т0 −

q R2

Поток тепла

V

.

6λ

qV 2r

внутри шара q = −λ gradT = −λ

dT

= −λ

−

=

qV r

Поток тепла

.

dr

6λ

3

на поверхности шара q1 = q(R) =

Теперь рассмотрим область вне шара r ≥ R. Граничными условиями будут являться результаты, полученные при рассмотрении области

	r ≤ R: температура на поверхности шара T (R) = Т1 = Т0	−	qV R2	(гра-
			6λ
				117

ничное условие первого рода) и поток тепла на поверхности шара

q1

= q(R) =

qV R

(граничное условие второгорода).

3

В уравнение теплопроводности подставляем

∂Т = 0 (режим ста-

∂t

ционарный) и, кроме того,

qV = 0 (во внешней среде отсутствуют ис-

точники тепла). Получаем

0 =

λ d

2

dT

d

2 dT

= 0 .

r

r

r

2

dr

dr

dr

dr

Интегрируем:

r2

dT

= C

dT

=

C3

.

dr

3

dr

r2

Интегрируем еще раз:

T (r) = − C3 + C4 . r

Тогда поток тепла

q = −λ gradT = −λ dT = −λ С3 . dr r2

Используя граничное условие для q, находим константу С3:

−λ	С3	=	qV R	C = −	qV R3	.
	R2
		3		3	3λ

Далее, используя граничное условие для Т, находим константу С4 (сделайте выкладки самостоятельно):

	С4 = Т0 −	q R2
		V	.
		2λ

В итоге получаем поле температур во внешней области:

T (r ) = Т0 −	q R2	+	q R3
	2λ		3λ r .
	V		V

118

Можно определить температуру на большом расстоянии от центра шара. При r → ∞ получаем

T∞ = Т − qV R2 .

0 2λ

Результаты решения задачи во внутренней и внешних областях можно представить на одном графике зависимости Т(r). Самостоятельно постройте этот график.

Пример 7. За счет внутренних источников тепла температура на поверхности шара радиусом R установилась равной Т1, температура на большом расстоянии от центра шара T∞ = Т1 / 2 . Определите уста-

новившуюся температуру Т2 на расстоянии 2R от центра шара. Коэффициент теплопроводности окружающей шар среды не зависит от температуры.

Решение. Это задача с двумя граничными условиями первого рода T (R) = Т1 и T (r → ∞ ) = Т1 / 2 . Для ее решения достаточно рас-

смотреть только внешнюю область r ≥ R. В примере 5 для этой области было получено решение:

T (r) = − C3 + C4 . r

Константы С3 и С4 находим, используя граничные условия:

		= −	C3	+ C4 ,		= −		T1R		,
T1					C3
			R					2
							T1
	T1	= C4 ;			C4 =				.
						2
2

В результате поле температур во внешнем пространстве:

T (r) =	T1R	+	T1		=	T1		+	R
							1			.
	2r		2			2
									r

При r = 2R получим

T	= T (2R) =	T1	1	+	R		=	3	T .
2	2						4		1
					2R

119

Пример 8. При включении обогревателя температура внутри сферического батискафа радиусом R = 3 м установилась равной Т1 = 20 °С при температуре воды Т2 = 10 °С. Определите поток тепла q, выходящий от батискафа во внешнее пространство, если толщина стенок батискафа L = 10 см. Определите мощность обогревателя. Коэффициент теплопроводностистенок батискафа λ = 5 Вт/(м·К) и не зависит от температуры.

Решение. Во-первых, для упрощения расчетов (носящих оценочный характер) будем считать, что основной вклад в полное термическое сопротивление вносит сопротивление теплопроводности L/λ. В этом случае температура внутренней поверхности батискафа (радиусом 3,0 – 0,1 = 2,9 (м)) очень близка к температуре воздуха в батискафе, а температура внешней поверхности (радиусом 3 м) очень близка к температуре воды.

Во-вторых, температура между внутренней и внешней поверхностью батискафа будет зависеть от расстояния r до центра сфер, т.е. температурное поле будет сферически симметрично. Однако выкладки можно значительно упростить. Поскольку радиус батискафа значительно превышает толщину стенок, небольшой участок сферической поверхности батискафа можно приближенно считать плоским. Таким образом, задача о температурном поле внутри стенки толщиной 10 см сводится к задаче о стационарном переносе тепла через плоскую стенку.

По закону Фурье qr = −λ gradT . При переносе тепла через плоскую стенку величина градиента температуры внутри стенки в любой точке

одинакова и равна gradT = − T1 − T2 (см. пример 3). Получаем

L

q = λ T1 − T2 = 5 10 = 500 (Вт/м2 ) . L 0,1

Поскольку тепловой режим стационарный, тепло, выделяемое нагревателем внутри батискафа за единицу времени, т.е. мощность нагревателя, равно теплу, уходящему от поверхности батискафа за единицу времени:

P = qS = q4πR2 = 56,5 (кВт) .

120