книги / Строительная механика, динамика и устойчивость композитных конструкций

Пусть ребра, параллельные оси х, имеют жесткость на изгиб EJ1 и кручение GJ p1, расстояние между ребрами b1 . Ребра, параллельные оси у, имеют жесткости EJ2 и GJ p2 , расстояние a1 . Ес-

ли изгибающие и крутящие моменты, возникающие в стержнях, условно распределить равномерно по длине шага, то эффективные жесткости пластины будут иметь вид:

x x EJ1 , b1

y y EJ2 , a1

	1	GJ p1			GJ p2
	2					.
			b		a
			1		1

Рис. 3.7. Пластина с ребрами жесткости

Если x y * 0 , то уравнение

4 w		4 w	4 w	q(x, y)
x x4	2	x2 y2	y y4

опишет поведение сетчатой панели.

3.5. Пластина на упругом основании

(3.4.1)

(3.4.2)

Введем обозначения: q(x,y) – внешняя нагрузка, r(х,у) – реакция упругого основания (рис. 3.8).

121

Рис. 3.8. Пластина на упругом основании
Дифференциальное уравнение примет вид
	4 w		4 w		4 w
x	x4	2	x2 y2	y	y4 q r.	(3.5.1)

Реакцию упругого основания часто определяют по модели Винклера в предположении пропорциональности реакции прогибу пластины

r(x, y) kw(x, y),

(3.5.2)

где k – коэффициент жесткости упругого основания или коэффициент постели, к пропорционален отношению

E		1 v2			(3.5.3)
		1 2v3 3v2
или
E		1 v2
				,	(3.5.4)
	(1 v)(1 2v)

где E, v – модуль Юнга и коэффициент Пуассона материала основания.

Напомним, что аналогичные уравнения могут быть получены для описания деформирования балки на упругом основании. Для этого в дифференциальном уравнении обычной упругой балки

122

EJyIV q	(3.5.5)
полную нагрузку q надо положить равной
q q0 p q0 kby,	(3.5.6)
где q0 – внешняя нагрузка, реакция основания
p kby,	(3.5.7)

где k – коэффициент постели; b – ширина балки.

Таким образом, балка оказывается нагруженной кроме внешних сил также реакцией со стороны основания, причем эта реакция пропорциональна прогибу балки. В результате получим дифференциальное уравнение балки на упругом основании

EJyIV kby q .

(3.5.8)

0

В случае балки постоянного сечения интегрирование этого

уравнения не представляет особых затруднений

y e x C1 sin x C2 cos x

(3.5.9)

e x C3 sin x C 4 cos x .

3.6. Уравнение движения пластины

Дифференциальное уравнение имеет вид

h

2 w

4 w

2

4 w

4 w

q

(3.6.1)

t2

x x4

x2 y2

y y4

для установившихся колебаний q q(x, y)sin wt , где со – частота

вынуждающей нагрузки (рис. 3.9). Если искать решение уравнения в виде w w(x, y)sin wt , то получим уравнение

2	4 w		4 w	4 w
h w x x4		2		y y4	q,	(3.6.2)
			x2 y2

подобное уравнению пластины на упругом основании по модели Винклера, но сотрицательным коэффициентомпостели k h 2 .

123

Рис. 3.9. Пластина в движении

Интересно отметить, что данное уравнение при k > 0 имеет единственное решение. Если k < 0, то решение может быть единственным или не существует при определенных значениях. Соответствующие частоты , при которых нарушается единственность решения, называются собственными частотами или резонансными. Например, в задачах аэроупругости q аэродинамическая нагрузка называется «флаттер».

3.7. Приближенные методы решения задачи об изгибе пластины

Метод Бубнова – Галеркина. Метод Б.Г. Галеркина (прямой метод решения краевых задач) в 1913 году был применен И.Г. Бубновым к задаче об изгибе пластины. Рассмотрим уравнение прогибов пластины

		4 w	2		4 w			4 w q x, y .	(3.7.1)
				x2 y2
	11 x4						22 y4
Приближенное решение будем искать в виде
					n
			w i fi x, y ,						(3.7.2)
					i 1
где i	– неизвестные постоянные множители, подлежащие опреде-
лению,	fi (x, y)	– базисные функции,						удовлетворяющие краевым

условиям. Подставим аппроксимацию(3.7.1) вуравнение (3.7.2)

124

n

4 f

4 f

i

4 f

i

11

4i 2

22

4i

q x, y x, y ,

(3.7.3)

x

2

y

2

y

i 1

x

где δ(х,у) – функция невязки. Для того чтобы функция δ(х,у) = 0, необходимо выполнение условия

x, y x, y ds 0,	(3.7.4)
S

где φ произвольная функция, S площадь пластины. Приближенно удовлетворим последнее условие, рассматривая в качестве произвольных функций базисные функции

x, y fi x, y ds 0	(3.7.5)
S

в результате получим систему линейных относительно искомых

коэффициентов i уравнений
		C { } {F},							(3.7.6)
где [C] – матрица	n n , { }		– п-мерный вектор неизвестных,
{F} п-мерный вектор свободных членов;
		Fj q x, y f j ds,							(3.7.7)
		S
	4 f		4 f		i		4 f
Cij 11		4i 2				22		i	f j ds.
	x		2		2		y	4
S			x	y

Разрешая систему (3.7.6) относительно i , определим их

значения и получим приближенное решение данной задачи. Иногда поступают иным способом. Не обращают систему (3.7.6), а выбирают базисные функции таким образом, чтобы

Cij 0,

(3.7.8)

если i ≠ j.

125

Такой вариант метода Бубнова – Галеркина называют методом ортогонализации. При этом система (3.7.6) распадается на независимые уравнения, тогда

i

q x, y f j ds

,

(3.7.9)

S

4 f

4 f

4 f

11

4i

2

i

2

4i fi ds

x

x

2

y

2

y

S

где fi набор ортогональных базисных функций. В этом случае

можно рассмотреть неограниченное число членов ряда в аппроксимации (3.7.2) и получить асимптотически точное решение задачи. Для уточненных теорий изгиба пластин процедура полностью аналогична.

Метод В.З. Власова. Решение уравнения изгиба (3.7.1) будем искать в виде

n

i (x),

w x, y Wi y

(3.7.10)

i 1

где Wi – функция обобщенных прогибов,

i

функция поперечно-

го распределения

прогибов.

Пусть

i

–

некоторые

заданные

и удовлетворяющие

части

граничных

условий

функции,

Wi – функции, подлежащие

определению.

Подставим (3.7.10)

в (3.7.1), получим

W IV

2 W

/ / / /

W IV

i

q x, y x

(3.7.11)

11

i i

i

i

22

i

и минимизируем функцию невязки:

a 11Wi iIV 2 Wi / / i/ / 22Wi IV i q x, y j dx 0

(3.7.12)

i 0

A

B

C

F

,

W IV

W / /

W

126

где

a
Aij 22 i j dx,
0
a
Bij 2 i/ / j dx,	(3.7.13)
0

a

Cij 11 iIV j dx.

0

Необходимо решить систему п обыкновенных дифференциальных уравнений четвертого порядка, что достаточно непросто. Можно потребовать от функций i ортогональности, чтобы

Aij Bij Cij 0

(3.7.14)

для i j .

Метод Ритца – Тимошенко. Метод Ритца и С.П. Тимошенко является прямым методом решения вариационных задач. Необходимо рассмотреть вариационную постановку краевой задачи об изгибе пластины.

Для построения вариационной постановки воспользуемся принципом минимума потенциальной энергии, согласно которому из всех возможных перемещений точек упругого тела, удовлетворяющих условиям устойчивого равновесия, сообщают потенциальной энергии минимальное значение

E U A min,

(3.7.15)

где E – потенциальная энергия; U – энергия упругого деформирования; A – работа внешних сил; для пластины толщиной h по технической теории изгиба пластин

U 12 V ij ij dV 12 V x x y y xy xy dV

1

z

2

2 w

C12

2 w

2 w

2 w

C12

2 w

C11

x

2

y

2

x

2

C22

y

2

x

2

2 V

127

		2 w					2 w	2						1			2 w			2
			2	4C66					dxdydz						11				2
		y					x y							2
																	x
															S
				2 w 2 w						2 w 2						2 w		2
	2 12				2		2 22				2		4 66						dS, (3.7.16)
				x		y				y						x y

A q(x, y)w(x, y)dS.

S

Таким образом, необходимо исследовать на экстремум (минимум) функционал

E(w(x, y)) min .

(3.7.17)

Приближенное решение задачи о прогибе w ищем в виде

n
w i fi (x, y),	(3.7.18)

i 1

где αi неизвестные коэффициенты; fi – базисные функции. После подстановки получаем функцию E(ai). Систему из п разрешающих соотношений получаем из условия

E	0.	(3.7.19)
i

Функционал Е является квадратичным, после взятия частных производных получим систему линейных алгебраических уравнений относительно αi

C F ,

где

2 fi

2 f j

2 f j

2 f j

Cij 11

2 12

x

2

x

2

x

2

y

2

S

2

f

j

2 f

j

2 f

j

2

f

j

4

dS.

22 y2

y2

66 x y x y

(3.7.20)

(3.7.21)

128

3.8. Теория гибких пластин

Пластинки, прогиб которых превышает 1/4 толщины, называют гибкими (рис. 3.10). Перед рассмотрением построения теории гибких пластин проанализируем выполняемость основных гипотез теории пластин:

1)гипотеза о прямых не деформируемых нормалях (+),

2)гипотеза о недеформируемой срединной поверхности ((–),

так как u0 0,v0 0 ),

3) гипотеза о ненадавливании слоев друг на друга ((+), так как z 0 ).

Рис. 3.10. Тонкая гибкая пластина

1.Кинематические соотношения. Следуя 1-й гипотезе ( z 0 )

ииспользуя соотношения Коши z wz , получим, что функция

прогиба пластины w = w(x,y) не зависит от координаты z. Также следуя 1-й гипотезе о сдвигах ( xz yz 0 ), запишем

xz	u		w	0,	(3.8.1)
	z		x
yz	v		w	0,
	z		y

откуда находим производные перемещений u и v:

u		w	,	(3.8.2)
z		x

129

v w ,z y

интегрируя уравнения по z, получим

u z	w	f (x, y),	(3.8.3)
	x	1

vz wy f2 (x, y),

идля определения функций f1 и f2 используем условие на срединной поверхности 2-й гипотезы:

	u|z 0	u0 (x, y),					(3.8.4)
	v|z 0	v0 (x, y).
	Следовательно, f1 = u0, а f2 = v0 и окончательно получим
	u u0 (x, y) z			w		,	(3.8.5)
				x
	v v (x, y) z		w			,
	0			y

так как перемещение произвольной точки гибкой пластины определяется функцией прогиба w(x,y) и функциями перемещения точек срединной поверхности u0 (x, y) и v0 (x, y) . Используя

оставшиеся геометрические соотношения для x , y и xy , най-

дём компоненты тензора деформации произвольной точки пластины

				u		0	z	2 w	,
		x		x		x		x2

				v		0	z	2 w	,	(3.8.6)
		y		y		y		y2

130