книги / Силы инерции в задачах биомеханики

мышц-разгибателей голеностопного сустава человек приводит в движение ступни, поднимаясь на носки и оказывая дополнительное давление на основание (см. рис. 32, б). В результате этого пружины сжимаются, накапливая упругие деформации. В последующей фазе указанные мышцы расслабляются, пружины возвращаются в начальное недеформированное состояние и выталкивают тело человека вверх (см. рис. 32, в).

а

б

в

Рис. 32. Отталкивание от упругого основания (деформации пружин сильно увеличены)

Решение поставленной задачи проведем в два этапа. На первом этапе, используя схему, изображенную на рис. 33, определим силу R реакции опоры в момент времени t0 . В этот момент

человек приподнимается на носки, вследствие чего точка приложения силы R смещается к передней части ступней. При этом центр масс C тела должен располагаться над данной точкой, во

51

избежание возникновения момента пары, образуемой силами, приложенными в точке С, и силой R (см. рис. 33). При отталкивании тела от поверхности к точке C приложен главный вектор

сил инерции Rи, направленный противоположно вектору ускорения aC (см. рис. 33). Сформулируем уравнение принципа Даламбера (23а) для рассматриваемого тела:

Fy : R Rи Mg 0.

Учитывая соотношение (26), перепишем данное уравнение в виде следую-

	щего равенства:
	R M aC g .	(30)
	Следует отметить, что в рамках при-
	нятой модели упругого основания сила R
	реакции опоры – это результирующая сил
	упругости сжатых пружин. Иными слова-
	ми, сила R является той внешней силой,
	которая «толкает» тело человека вверх.
	Для решения последнего	уравнения
	требуется знать ускорение центра масс тела
Рис. 33. Начальная	человека. С целью определения данной ве-
фаза отталкивания	личины автором был проведен эксперимент
	на базе КГАУ «Центр комплекснойреаби-

литации инвалидов» (г. Пермь). В эксперименте использовались сенсоры комплекса «Траст-М» [16]. Эти сенсоры (рис. 34) дают возможность регистрировать линейные ускорения различных сегментов человеческого тела в трех взаимно перпендикулярных направлениях, а также угловые скорости этих сегментов относительно данных направлений. Регистрируемая информация считывается с сенсоров с частотой 1000 Гц и отправляется на компьютер, где анализируется соответствующим программным обеспечением и воспроизводится ввиде графиков. Используяэтивозможности, впро-

52

цессе упомянутого эксперимента производилось одновременное определение угловой скорости ступней и ускорения центра масс тела человека, выполняющего прыжок согласно рассматриваемой схеме (см. рис. 30). Масса испытуемого М = 72 кг.

Регистрируемые данные представлены в виде графиков зависимостей величин и aC от времени (рис. 35), где ω – угловая скорость стопы испытуемого, aC – ускорение центра

масс его тела. Выбросы на графиках соответствуют процессам выполнения прыжков.

Регистрация угловой скорости стопы является целесообразной в связи с тем, что в ходе решения задачи необходимо сопоставить максимальное значениеускоренияцентрамасс тела испытуемогос положением его ступней.

Рис. 34. Сенсоры нателеиспытуемого

10	aC , м/c2
0
10

0	5	10	15	20	25	30	35	40	45
5	, р/c
0
-5
0	5	10	15	20 t, c 25		30	35	40	45
Рис. 35. Ускорение центра масс тела испытуемого
и угловая скорость его ступней при выполнении прыжков

53

На следующем рисунке представлен участок графика, соответствующий начальной фазе выполнения прыжка (рис. 36).

Из графика, приведенного на рис. 36, следует, что наибольшее значение ускорения центра масс (aC 8,9 м/c2 ) достигается

в момент начала вращения стопы, т.е. в момент времени t0 .										Под-
ставляя указанное значение aC					в формулу (30), получаем:
				R 1390 Н.						(31)
10	aC , м/c2
5
0
-5
-10
0	0.05	0.1	0.15	0.2	0.25	0.3	0.35	0.4	0.45

2 , р/c

0

-2

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

t, c

Рис. 36. Начальная фаза выполнения прыжка

Итак, сила реакции опоры, соответствующая моменту времени t0 , определяется значением (31).

На втором этапе решения представленной задачи найдем искомоезначениеусилия вахилловомсухожилии. Для этоговоспользуемся схемой, предложенной в книге [24] (рис. 37). На данной схеме приведены силы, приложенные к ступне в начальной фазе отталкивания, т.е. в интересующий момент времени t0 . Как было отмечено

ранее, в этот момент времени происходит отрыв пятки от поверхно-

54

сти, в связи с чем точка приложения силы N реакции опоры находится в передней части стопы (согласно рассматриваемой схеме данная точка определяется расстоянием O1B). На пяточную кость

со стороны ахиллова сухожилия действует усилие T. Добавление силы N1 объясняется необходимостью учета влияния на стопу той

части тела, которая исключенаиз рассмотрения (точкой приложения данной силы будем считать некоторую точку O, расположенную на поверхности таранной кости). Весом ступни можно пренебречь, так как еемассанезначительна посравнению смассойвсего тела.

Следует подчеркнуть, что согласно представленной схеме сила N – это реакция, приложенная только к одной ступне. Вместе с тем предполагается, что на вторую ступню со стороны опоры действует точно такая же сила, т.е. R 2N .

Таким образом, для ступни, изображенной на рис. 37, справедливо уравнение:

MO : N O1B T O1 A 0,

т.е. значение силы T выражается следующей формулой:

T	R O1B	.	(32)
	2O A
	1

Рис. 37. Силы, приложенные к ступне в момент времени t0

Согласно данным исследования [28] для человека, соответствующего антропометрическим параметрам испытуемого, О1А ≈ 5 см,

55

O1B 13 см. С учетом указанных данных, а также ранее вычислен-

ного значения реакции опоры R (см. выражение (31)) из уравнения (32) находим:

T 1750,3 Н.

Найденное значение силы T можно сравнить с весом 175-кило- граммового груза. Подобные нагрузки вызывают существенные механические напряжения вахилловом сухожилии.

Принцип Даламбера позволяет разделить реакцию каждой связи, наложенной на систему, на две составляющие: статическую и динамическую. Динамические реакции определяются только силами инерции, тогда как при нахождении статических реакций силы инерции полагаются равными нулю. Если в качестве связи принять ахиллово сухожилие, то динамическая состав-

ляющая TД силы T вычисляется посредством исключения из уравнения (30) силы тяжести Mg:

T Д 833 Н.

Статическая составляющая TC искомой силы находится за счет исключения из рассмотрения сил инерции:

T C 917,3 Н.

Нетрудно убедиться в том, что T C T Д T . При этом зна-

чение T Д составляет 91 % от величины T C , т.е. при выполнении прыжка сила, развиваемая в ахилловом сухожилии испытуемого, практически в два раза больше той силы, которая действовала бы в случае, когда он остается в начальном положении.

Итак, в рассмотренном примере с помощью принципа Даламбера было проведено определение усилия, действующего в ахилловом сухожилии испытуемого при выполнении им прыжка вверх с места. Аналогичным образом можно исследовать силы, действующие в различных сегментах опорно-двигательной системы человека в процессеосуществлениявсевозможных движений.

56

§2.4. Движение системы связанных тел

Два альпиниста с помощью веревки опускают в ледниковую расщелину третьего. При этом альпинисты A и B скользят по горизонтальной поверхности ледника (рис. 38). Соответствующий динамический коэффициент трения скольжения определяется величиной f. Масса каждого альпиниста равна m. Считая веревку нерастяжимой и пренебрегая ее массой и трением о поверхность, найти ускорение a альпиниста C.

Рис. 38. Схема расположения альпинистов на леднике

В приведенном примере альпинисты, сцепленные веревкой, представляют собой материальную систему, движения элементов которой связаны между собой. Решение данной задачи проведем с помощью принципа Даламбера. Для этого введем некоторые допущения. Будем считать, что взаимное расположение частей тела каждого альпиниста не изменяется, иными словами, в представленном примере рассматривается поступательное движение трех твердых тел. Участок BD веревки примем горизонтальным.

Поскольку веревка считается нерастяжимой, то значение ускорения центра масс каждого из альпинистов равно искомой величине a. Если мысленно разрезать веревку сечением E, то в проекции на координатную ось Ox уравнение (23а) на участке AE представленной системы запишется в виде (рис. 39):

T 2F		2Fи 0,	(33)
1	тр

57

где T1 – сила натяжения веревки на данном участке, Fтр – сила

трения скольжения, возникающая при взаимодействии альпини-

ста с поверхностью. Fи ma – главный вектор сил инерции, приложенных к телу альпиниста (см. формулу (26)).

Рис. 39. Рассматриваемая система сил

Следует отметить, что в данном уравнении заведомо заложено равенство между силами трения, действующими со стороны рассматриваемой поверхности на альпинистов A и B. Это равенство легко обосновать, используя известное уравнение связи между силой трения скольжения и силой реакцией опоры N:

Fтр f N.

Очевидно, что сила N принимает одно и то же значение для тела A и для тела B N mg , т.е. сила трения, действующая на

альпиниста A, равна силе трения, действующей на альпиниста B. Соотношение (33) можно переписать следующим образом:

T1 2 fmg 2ma 0 .

(34)

Мысленно разрезая веревку сечением F, получаем в проекции на координатную ось Oy следующую запись выражения (23а) для участка CF рассматриваемой системы (см. рис. 39):

58

T mg F и 0,	(35)
2

где T2 сила натяжения веревки на этом участке. Поскольку трением веревки о поверхность можно пренебречь, то T1 T2 . С учетом этого уравнения(34) и(35) сводятсяк следующему равенству:

2 fmg 2ma mg ma,
или
a	g 1 2 f	.	(36)
3
Проанализируем получившееся выражение.			Если принять
f 0,2, что соответсвует среднему значению			коэффициента

трения скольжения резиновых подошв по льду, получим

a	g 1 2 f	0,2g 2 м/c2.
3

Допустим, что глубина расщелины определяется величиной h. Согласно известной формуле, характерной для равноускоренного движения, скорость альпиниста при достижении им дна расщелины будет следующей:

v v02 2ah.

При нулевой начальной скорости

v 2ah,

или с учетом найденного значения a

v 2 h.

(37)

На рис. 40 представлен график зависимости (37). Если считать, что предельная скорость безопасного приземления человека равна 6 м/с [21], то согласно приведенному графику глубина расщелины не должна превышать 9 м.

59

10		v, м/с
8
6
4
2
0	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
											h, м
						Рис. 40. График зависимости (37)

Следует отметить, что проведенные расчеты справедливы для f 0,2. В реальности динамический коэффициент трения сколь-

жения зависит от многих параметров, таких как материал подошв обуви, шероховатость опорной поверхности, шероховатость поверхности подошв, температура окружающей среды и т.д. Поэтому значение ускорения, зависящее от динамического коэффициента трения скольжения (см. формулу (36)), определяется индивидуально для каждого конкретного случая. Следовательно, индивидуальный характер будет иметь и зависимость скорости движения тела от пройденного им расстояния.

§2.5. Вращение гимнаста на перекладине

Определить реакцию, действующую со стороны перекладины на руки гимнаста, в момент прохождения им положения равновесия, считая, что движение начинается из вертикальной стойки на руках (рис. 41). Масса гимнаста определяется величиной M, расстояние от перекладины до центра масс спортсмена постоянно и равно значению r.

Для решения задачи тело гимнаста будем считать абсолютно твердым, а перекладину – идеальным цилиндрическим шарни-

60