книги / Физические теории пластичности

будет изменяться скачком, как в соотношении (7.62), однако «пороговый» характер будет проявляться.

При температуре θ > 0 неупругое деформирование может протекать посредством нескольких физических механизмов. Во-первых, поскольку основным механизмом, определяющим величину критического напряжения τ(ck ) , является упругое взаимодействие атомов, то повыше-

ние температуры, которое сопровождается уменьшением модулей упругости, приводит к снижению величины τ(ck ) , поэтому при θ > 0

τ(ck ) (θ) < τ(ck ) (0) . Во-вторых, что, вероятно, более важно, с повышением

температуры локальные близкодействующие барьеры движению дислокаций (с характерным размером менее 10 атомных диаметров) могут быть преодолены при достаточно низких напряжениях сдвига за счет тепловых флуктуаций.

Таким образом, по утверждению авторов, можно разделить барьеры для движения дислокаций на два типа: 1) которые могут быть преодолены с помощью термической флуктуаций, и 2) которые непреодолимы за счет термических флуктуаций. Соответственно критическое напряжение сдвига предлагается разложить на две составляющие – термическую и атермическую:

τc(k ) = τ(k ) (θ, микроструктура) + τ(ak ) (θ, микроструктура) ,	(7.63)
где τ(k ) – описывает вклад в упрочнение барьеров 1-го типа, τ(ak )	– барь-

ерами 2-го типа. Типичные примерами атермических барьеров являются группы дислокаций, большие некогерентные включения. Напряжения Пайерлса, примесные атомы, лесовые дислокации – барьеры 1-го типа. Следует заметить, что в цитируемой работе не обсуждается вопрос о приемлемости гипотезы об аддитивности вкладов от двух указанных типов барьеров. Также вызывает вопросы явная зависимость атермической составляющей от температуры, возможно, авторы имели в виду косвенное влияние на критические атермические напряжения упругих

ипрочностных свойств дальнодействующих барьеров.

Врассмотрение вводятся эффективные сдвиговые напряжения τeff, определяемые соотношением

τeff(k ) =

τ(k )

− τ(ak ) .

(7.64)

161

Отмечается, что данные напряжения характеризуют термическую составляющую напряжений и применимы для описания ОЦК- и ГПУ-крис- таллов (напряжения Пайерлса возрастают с уменьшением температуры). Тогда соотношение (7.62) может быть записано следующим образом:

v(k ) = v(k ) (τeff(k ) , τ(k ) , θ).

(7.65)

Основываясь на ранее опубликованной монографии A.S. Krausz и H.E. Eyring (1975), вводится свободная энтальпия активации (или свободная энергия Гиббса) ∆ G(k ) , которая определяет величину энергии, необходимой для преодоления барьера и реализации приращения сдви-

га. Величина		−	∆ G(k )
	exp			(kb – константа Больцмана) является ве-
				kbθ

роятностью того, что термическая флуктуация энергии, равная (или выше) требуемой величины для осуществления приращения сдвига, имеет место в материале при температуре θ>0. Скорость, с которой дислокации преодолевают препятствия, определяется выражением:

	−	∆ G(k )
νexp			,
			kbθ

где ν – характерная частота (порядка 1012 c–1). Обозначая l(k) длину пробега дислокации, записывается средняя скорость дислокаций:

				0,	если τeff(k ) ≤				0
v(k ) =				∆ G(k ) (	τ(k ) , τ(k ) )
		exp	−		eff	a			если0 < τeff(k ) < τ(ak )
	l(k )ν							,
				kbθ

(7.66)

среднюю

движения

(7.67)

Используя (7.67) и соотношение Орована, скорости сдвигов могут быть преобразованы к виду

0,

γ(k ) =

γ(0k )

если τeff(k ) ≤				0
		∆	G(k ) (τ(k ) , τ(k ) )					(7.68)
exp	−			eff	a		,	если 0 < τeff(k ) < τ(ak )
				kbθ

162

где	γ0(k ) = ρ(mk )bl(k )v . Полагается, что для упрощения модели множитель
γ0(k )	можно принять одинаковым на всех СС, обозначив его как γ0 , вели-

чина γ0 имеет порядок γ0 ≈ 106 …107 с−1 . Следует заметить, что в общем случае γ0 является функцией приложенных напряжений и температуры

[112], однако в цитируемой работе эта зависимость не учитывается.

В работе [112] конкретизируется выражение для свободной эн-

тальпии ∆ G(k ) :
				(k ) p q
∆ G(k )= ∆	F	−1		τeff			,	(7.69)
				τ(k )
где ∆ F – свободная энергия активации,					требуемая для преодоления

барьеров скольжением без помощи приложенных сдвиговых напряжений, которая в анализируемой работе полагается одинаковой для всех СС и не изменяющейся в случае, если вид препятствий не меняется.

	Энергия активации ∆ F лежит в диапазоне:
	0, 05 ≤	∆ F	≤	2 ,	(7.70)
		µb3

где µ – модуль сдвига, b – модуль вектора Бюргерса. Параметры p и q

могут принимать значения: 0 ≤ p≤

1, 1≤

≤q

2 .

При неупругом деформировании кристаллита предлагается ис-

пользовать соотношение:

τ(k )

= τ(ak ) + Z (θ,

γ(k )

)τ(k ) ,

(7.71)

θ 1/ q 1/ p

∆ F

где Z = 1

−

≤ 1,

θc=

. При θ = 0 параметр Z = 1,

θc

k

ln

γ0

b

γ

(k )

при θ = θc

получаем Z = 0. Таким образом, делается вывод, что темпера-

тура, превышающая значение θc ,

является достаточной для преодоле-

163

ния дислокацией препятствия посредством термической флуктуации (без приложенных сдвиговых напряжений). Отметим, что соотношение (7.71) представляется несколько непонятным, поскольку действующие касательное напряжение определяется параметрами материала; вероятно, подразумевалось критическое напряжение сдвига.

Законы упрочнения

Сдвиговые напряжения k-й СС определяются согласно соотношению

(k ) (k )

τ(k ) = (f e T f e k IIx ) : b n . (7.72)

Последнее соотношение можно преобразовать к более привычному виду, часто используемому в законе Шмида:

τ(k ) = (f e T f e k IIx ) : b(k ) n(k )				= (f e T f e det (f e )f e−1 σ
= det (f e )(f e T σ f e−T ) : b(k )				n(k )		= det (f e )σ: f e−T b(k )
ˆ (k )	ˆ	(k )	ˆ (k )	ˆ	(k )
= det (f )σ: b			= k : b			,
	n			n

f e−T ): b(k ) n(k )	=
(k )
n f e T =	(7.73)

где k = det (f )σ – взвешенный тензор Кирхгоффа (учтено, что det (f ) = det (f in f e ) = det (f in )det (f e ) = det (f e ) ). Принимается, что упру-

гая составляющая f e тензора искажений близка к единичному тензору,

асам f		можно считать ортогональным тензором: f		= f		; b	= f		(k )
			e−1						b ,
	e				e T	ˆ (k )		e

(k )

nˆ (k ) = f e−T n – ортонормированные векторы k-й СС в актуальной конфигурации.

В работе используется закон упрочнения стандартного типа:

τc(k ) = ∑ hαβ		γ(β)		,	(7.74)
β

где γ(β) – скорость сдвига по β-й CC, hαβ – матрица модулей упрочнения (описывает деформационное и латентное упрочнение). Использование модуля скоростей сдвигов γ(β) отражает то обстоятельство, что упроч-

164

нение незначительно зависит от направления сдвига. Каждый элемент матрицы hαβ зависит от истории деформирования.

Поскольку в работе используется разложение на атермическую и термическую составляющую (7.63), то ключевым моментом является определение эволюционных соотношения для внутренних переменных τ(k ) , τ(ak ) . По мнению авторов, для ОЦК-кристаллов, в которых τ(k ) ха-

рактеризует напряжения Пайерлса, можно принять:

τ(k ) = τ		= const ,					(7.75)
и
τc(k ) = τ(ak ) = ∑ hαβ				γ(β)		.	(7.76)
		β
Следует заметить, что вывод о том, что термические составляю-
щие критических напряжений τ(k )		могут быть постоянными, вызывает

некоторые сомнения, так как к этой составляющей авторы также относят дислокации леса, конфигурация и плотность которых не могут считаться постоянными.

Матрица модулей упрочнения принимается в виде [150]

hαβ = (q + (1− q )δαβ )hβ		,	(7.77)
1	1

где hβ – параметр деформационного упрочнения, q1 – параметр латентного упрочнения. Отмечается, что q1 не обязательно должен быть постоянным и может, как и hβ, зависеть от истории нагружения.

Основной целью данной работы является формулировка конститутивной модели для описания неупругого деформирования поликристаллов при сложном нагружения. В связи с этим авторы предлагают усложнить эволюционное соотношение для параметра hβ [76]:

	hβ = hβ	1−	τ(β)
			a
			τ(aβ,s)
	0

− τ(β)

sign 1 a

τ(aβ,s)

, (7.78)

где параметры

модели h0β, τ(aβ,s)

зависят от

скорости

деформирования

и температуры:

h0β = h0β (

γ(β)

, θ)

и τ(aβ,s) = τ(aβ,s)

(

γ(β)

, θ) –

напряжение на-

сыщения для τ(aβ) .

165

В качестве определяющего соотношения для монокристалла в цитируемой работе выступают термоупругий закон Гука, записанный в разгруженной конфигурации Kx:

аk IIx = π: (εex − b∆ θ) ,

(7.79)

где π – тензор 4-го ранга упругих свойств в разгруженной конфигурации, b – анизотропный тензор 2-го ранга теплового расширения в Kx, ∆ θ – изменение абсолютной температуры.

Для поликристалла использовались гипотезы, предложенные в работе Тейлора [164], в соответствии с которыми градиент деформации каждого зерна равен макроскопическому градиенту (расширенная гипотеза Фойгта). Для такой модели, подробно рассмотренной в [64], тензор напряжений Коши макроуровня можно записать в виде

N
σ = ∑ρ(n)σ(n) ,	(7.80)

n=1

где ρ(n) – объемная доля каждого зерна в представительном объеме поликристалла. Принимая все зерна агрегата одинаковыми по объему, тензор напряжений Коши представим как

σ = 1	N
	∑σ(n) .	(7.81)
N n=1

Авторы внедрили представленную конститутивную модель в коммерческий конечно-элементный комплекс ABAQUS и провели ряд расчетов для изотермического и адиабатического случаев.

7.2. КРАТКИЙ ОБЗОР РАБОТ ПО УПРУГОВЯЗКОПЛАСТИЧЕСКИМ МОДЕЛЯМ

Одной из первой работ, в которой представлены теоретические результаты, полученные с применением физической упруговязкопластической модели, удовлетворительно согласующиеся с экспериментальными данными, была статья [170]. Модель, предложенная в цитируемой работе, базируется на теории термоактивируемого

166

движения дислокаций (Kroner&Teodosiu (1972), Kratochvil&de Angelis (1971)) и модели Линя.

В предлагаемой модели приняты все гипотезы модели Линя, за исключением соотношений для определения скоростей (или приращений) сдвигов: предполагается, что скорости сдвигов связаны с касательными напряжениями на кристаллографических системах скольжения вязкопластическими соотношениями вида:

γ(k ) = γ	0	exp[–H		0	/ (k θ)] sinh[ν		(τ(k ) – τ(k ) )],
						b	c	(7.82)
τ(k ) ≥ τc(k ) , k =						,
			1, K
где γ0 – константа материала,					Н0 – величина энергетического барьера
(Пайерлса); kb – константа Больцмана; θ –							температура (К); ν – кон-

станта, относящаяся к объему препятствий (так называемый активационный объем); τ( k ) , τ(ck ) – касательное напряжение и критическое на-

пряжение сдвига в k-й системе скольжения, причем τ(ck ) характеризует

сопротивление сдвигу на препятствиях, не преодолеваемых за счет термической активации, и связано с дальнодействующими полями напряжений; K – число систем скольжения (для рассматриваемых в работе ГЦК-кристаллов принято K = 24, т.е. удвоенное число кристаллографических систем скольжения); при τ(k ) < τ(ck ) скорость сдвига в k-й СС

равна нулю. Предлагается эволюционное уравнение для τ(ck ) , представляющее собой модификацию закона упрочнения Тейлора:

			K
	(k )	= A ∑ γ		(i)	(k )	ˆ	m
								/ (kbθ)] , k = 1, K , (7.83)
	τc				– [B(τc	– τc )] exp[–QD
			i =1
	где А, В,	m,	τc –	материальные			константы,	QD – энергия активации
			ˆ

диффузии.

В качестве основы конститутивной модели, как и в модели Линя, используется (изотропный) закон Гука, записанный в скоростях. Численная процедура реализуется пошагово, задается история осредненных скоростей полных деформаций (используется гипотеза Фойгта).

Предлагаемая модель была апробирована для случая простого и сложного (на двухзвенных траекториях с изломами на углы 30, 60, 90,

167

120, 150 и 180о) нагружений поликристаллического алюминия при изотермическом деформировании при температуре 200 оС и скоростях деформирования от 3 10–5 до 3 10–3. Результаты расчетов находятся

вудовлетворительном соответствии с экспериментальными данными;

вчастности, хорошо описывается эффект «нырка» (резкого падения интенсивности напряжений в окрестности точки излома траектории деформации; с описанием эффекта можно познакомиться в [51]).

Крассмотренной выше работе вплотную примыкает статья [171],

вкоторой более детально рассматривается процедура ориентационного осреднения тензора напряжений. Рассмотрена также модификация модели для реализации процесса нагружения в пространстве напряжений. Отмечается возможность использования вместо гипотезы Фойгта самосогласованной модели Кренера.

В работе [70] рассматривается вариант упруговязкопластической модели со степенным законом течения вида (7.44) и комбинированным (изотропным и кинематическим) законом упрочнения. Используется аддитивное разложение тензоров деформации скорости и вихря на упругую и неупругую составляющие

d = de + d p , w = we + w p ,

(7.84)

неупругие деформации осуществляются сдвигом (в силу чего изохоричны); неупругие составляющие в (7.84) определяются соотношениями (7.6) (т.е. для неупругих ротаций принимается полностью стесненная модель Тейлора). Полагается, что скорость ротации решетки определяется упругим спином we. В качестве ОС для упругой составляющей принимается изотропный закон Гука в скоростной форме; в качестве меры скорости напряжений используется производная яуманновского типа тензора напряжений Коши:

σJ = σ+ σ we – we σ .

Предложенная модель встроена в конечно-элементную программу и использована для анализа образования полос сдвига в монокристалле при высокоскоростном деформировании (скорость деформации 103 с–1).

Модификация упруговязкопластической модели, учитывающая наряду со сдвиговой модой деформирование двойникованием, предложена в [107]. Для скоростей сдвигов и скорости изменения объемной

168

доли двойников использован степенной закон с одинаковым показателем степени; для двойникования предполагается наличие предельной доли двойников, запрещен обратный переход. Градиент скорости перемещений для зерна определяется как сумма трех составляющих: скорости сдвига в исходной матрице, скорости двойникования и скорости сдвига в сдвойникованной области, взвешенных с объемными долями каждой зоны. Для упрощения процедуры интегрирования соотношения записываются в неизменной отсчетной конфигурации. Приведены примеры расчета текстуры для ГЦК- и ОЦК-поликристаллов; из сопоставления с экспериментальными данными следует, что неучет двойникования ведет к качественно неверным результатам. В [108] описанная модель расширена включением еще одной моды деформирования – микрополос сдвига. Применение данной модели к ГЦК-поликристаллам с низкой энергией дефекта упаковки позволило описать четыре стадии кривой упрочнения; отмечается необходимость учета образования микрополос сдвига для корректного предсказания эволюции текстуры.

В последние годы физические теории вязкопластичности все шире применяются для решения реальных прикладных задач МДТТ. В работе [71] вязкопластическая самосогласованная модель использована для анализа процесса равноканального углового прессования (РКУ). В качестве представительного объема макроуровня рассматривается совокупность 500 зерен, которое в каждом проходе подвергается однородной сдвиговой деформации, определяемой углом излома канала. Материал – поликристаллический алюминий, начальные ориентации зерен полагаются случайными, распределенными по равномерному закону. Каждое зерно эллипсоидальной формы, окруженное матрицей с эффективными характеристиками, описывается вязкопластической моделью. Предложена простая геометрическая модель дробления зерен, согласно которой в зависимости от отношения длин большой оси к наименьшей и средней к наименьшей зерно дробится на две или четыре одинаковые части. Ориентация после дробления сохраняется. Приведены результаты расчета напряженно-деформированного состояния, полюсные фигуры, распределение размеров зерен по проходам. Отмечается удовлетворительное соответствие полученных результатов экспериментальным данным.

Детальное изложение модели пластичности монокристалла содержится в работе [79]. Приведен общий вид условия текучести на СС:

169

τ(k ) = ± f (k ) (γ(k ) , r(k ) ,θ) ± τc(k ) + ρ(k ) ,	(7.85)
где τ(k ) – напряжение сдвига в k-й системе скольжения,	τ(k ) = σ: m(S)(k )
	;

функция f (k) описывает вязкопластическое сопротивление сдвигу (для пластичности, не зависящей от скорости деформации, она тождественно равна нулю); θ – абсолютная температура; r(k ) , τ(ck ) , ρ(k ) – внутренние

переменные, характеризующие вязкостное (в цитируемой статье данная составляющая называется «сопротивлением множественному скольжению», что связано с реализацией в вязкопластической модели сдвигов одновременно по многим СС), квазистатическое и кинематическое упрочнение соответственно. Для внутренних переменных r(k ) , τ(ck ) , ρ(k )

эволюционные феноменологические уравнения в общем виде записываются следующим образом:

r

= r

{γ

, r

, r

, τc

, τc

, ρ

, θ},

(k )

ˆ(k )

(k )

(k )

(l )

(k )

(l )

(k )

τc(k )

= τˆc(k ) {γ(k ) , r(k ) , r(l ) , τc(k ) , τc(l ) ,

ρ(k ) , θ},

(7.86)

ρ(k ) = ρˆ (k ) {γ(k ) , r(k ) , r(l ) , τc(k ) , ρ(k ) , θ}.

Знак «^» введен для отделения обозначения функции от ее значения; наличие в 1-м и 2-м соотношении соответственно r(l ) и τ(cl ) означает учет

упрочнения за счет взаимодействия дислокаций на сопряженных СС. Формулировка конститутивной модели основана на термодинамиче-

ском подходе. Прежде всего, авторы вводят сопряженные параметрам r(k ) , τ(ck ) , ρ(k ) термодинамические переменные состояния R( k ) , Τ(k ) , Ρ( k ) . Функция свободной энергии (Гельмгольца) представляется суммой «упругой» и «неупругой» составляющих, ψ= ψe + ψi . «Упругая» составляющая

зависит от тензора упругих деформаций и температуры, по ней из неравенства Клаузиуса–Дюгема определяется тензор напряжений Коши. «Неупругая» составляющая связана с внутренними переменными, определенными на СС, в связи с чем предлагается следующее представление:

ρ0ψi = ∑(ψ(Rk ) +ψΤ(k ) +ψ(Ρk ) ) ,	(7.87)
k

170