книги / Механика деформаций гибких тел

Пусть континуум, образующий стержень, в начальный момент

времени занимает трехмерную область (объем)			с границей
(поверхностью)	^v. Система лаграшкевых координат ж" связыва­
ется C eaaoBoii	криво!’!	Координата д:’ отождествляется с нату­

ральным параметром этой кривой, а ж* н ж* образуют плоскую систему координат в поперечном (нормальном к базовой крпво1'г) сечении стержня. Произвольная точка-орпгипал X = (а:*; л’'; х’) стержня однозначно отображается в точку-образ х ^ (х ^ ) базовой кривой, описываемой уравиеипямп х " = 0 .

У сторжне!’! односвязного (сплошного) сечения область

односвнзна	н	поверхность	представима объединением одной
трубчатоГ!	нонерхиостп		п двух пересекающих ее кромочных
HonepxiIOCTeii		которые	считаются плоскими и пормальнымп

к базоIioii кривой. Следовательно,

У CTepHtiieir многосвязпого сечения область Si' п кромочные по­ верхности мпогосвязны, а под следует понимать объедппение трубчатых поверхностей. По определению кромочные по­ верхности задаются уравпсшшмп х® = с"‘, с™ = Const.

Пусть X — П03ИЦП01ШЫЙ вектор точки-образа, а„(х) — задан­ ные в пен единичные базисные векторы плоской системы коорди­ нат х". Позицноппьп! вектор X точки-оригинала задается равен­ ством

Х = х + х"а„.

(3.1.1)

Если базовая лииия гладкая, то в каждой ее точке существует единственное касательное направление, определяемое единичным вектором аз = х.з = д{х.

Введенно!! системе координат ставятся в соответствие два начальных базиса: трехпараметрическнй базис A x(X ), заданный во всей области Si^ и однопараметричешшй базис ах(х), задан­

ный па базовой кривой. По определению Ах = ^л-Х, а’ =	а, = 5зХ.
Следствием (3.1.1) являются равенства
А„ = а,„ Аз = аз + .г"Ь„, Ь „^а„,з,	(3.1.2)

связывающие один базнс с другим. Формулы (2.1.4) задают ком­ поненты метрических н дискриминантных тензоров введенных базисов и матрицу их взаимного преобразования. Однопарамет­ рический базис подчинен условию ортогональности (2.1.5), со­ гласно которому каждый из векторов ап ортогонален касатель­ ному к базово!! кривой вектору аз. В этом смысле векторы а„ люгут быть названы пормальнымп.

Производные от векторов а.у представимы разложениями

^N,3 =

коэффициенты которых определя­

ются равенствами Ьл/. = а ‘ал'.з (для ортонормпровашюго базиса

Каждая граничная поверхность ^лг оснащается полем еди­ ничных нормалей е м ( Х е ^ м ) . Так как кромочные поверхности

ортогональпы базоной Kpirnoii, то Сш — это поле					постояпных		еди­
ничных векторов, коллпнеарных		касательному			вектору	в	гра­
ничной точке, п, более	того, Ci =	- аз(с‘), е1 =		аз(с‘‘).
Для произвольного	поперечного		сечения	стержня		вводится
обозначение SS. Оно ограничено плоским контуром ^’з, который
является продуктом пересечения ^			с ^з- Нормаль к этому				кон-

iypy в его плоскости задается единичным вектором с,.. 13 общем

случае	он не совпадает с вектором		Сз, нормальным к	поверх­
ности	вдоль контура "й^з.			93 и
Элементы объема стержпя, площадс!! поверхностей
H длины базово1Г кривой вычисляются по формулам
	ds^ = Зйх^йх^йх^,	с193 = ]йхЧх-,
	d^s = (бузу)~^Jзdx^d^з,		буз = Cv •
	d^m = Jmdx^dx-, d ^ — c?.г•^
	/-((1еЬ[Лл-з,])‘^	^ -(d et[a„„ .])‘/^

в которых 7 (Х )— якобиан прострапствеппого базиса Ал-; 7з — его значение на трубчато1Г поверхности 93з] у(х) — якобиан плоского базиса а„; у,„ — его значение в rpannBiioii точке.

В начальный момент времени н в процессе деформации стер­ жень подвергается механическим п/или термическим висшии.м воздействиям. Первые имеют характер кинематических связей, поверхностных п объемных силовых полей, вторые — поверхност­ ных II объемных тепловых полей. Поле объемных внешних сил

II сил инерции обозначается Z(X ) (зависимость от времени явно не указывается). Поверхностные механические воздействия пред­ полагаются распределенными следующим образом: на трубчатой

поверхностп ^ з задано силовое поле 2 ,з{Х ^ ^ з), на кромочной

поверхности	— либо силовое поле Zm (а^"), либо поле переме­
щений !!"‘(ж").

§ 2. НЕЛИНЕЙНАЯ МОДЕЛЬ СТЕРЖНЯ

C ДЕФОРМИРУЕМЫМИ ПОПЕРЕЧНЫМИ СЕЧЕНИЯМИ

Предполагается, что прострапствеипая деформация стержпя пе сопровождается локальными момептнымп эффектами и может быть описана приведенными в первой главе уравнепиямл трехмерного безмоментпого континуума. Она порождает трех­

мерное	(объемное)	поле	перемещений его точек			U (X )	и	одно­
мерное	(контурное)	поле	перемещений		точек	базовой		линии
н ( х ) . Начальные базисы			Ал-(X)	и ал-(х)	преобразуются		в	соот­
ветствующие мгновенные: A^, (X)				п Элг)(х). При этом
	Ад., ^ 5дг (X + U) - Ад- + W,,,				^ Зд-и,		(3.2.1)-

начальный касательный вектор Эз преобразуется в мгновенный

biii вектор

аз) ^ (х + и) = Эз + ЛУз, Wa = SaU,

нормальные векторы а„ преобразуются в мгновенные векторы Эп) C изменением длины и нарушением условия ортогональности касательному вектору Qj,.

G целью построения обобщепцой одномерной модели стержня его деформация подчиняется внутренней кинематической связи

А „,= а„).

(3.2.2)

Ее следствием является лпиениое распределепие по нормальным координатам поля перемещений стержня:

U = U + ^"Wn, лу„ = Эп) — а„.

(3.2.3)'

Здесь н (х ), Wsi(X)-OZiUOMepnbie поля линейных п угловых перемещенш"! нормальных векторов. Компоненты этих кинематически независимых векторных noueii образуют систему девяти основ­ ных параметров деформации стержня.

Связь (.3.2,2) экстраполирует первое из начальных равенств (3.1.2) на любой момент времени. Согласно (3.2.3) начальное поперечное сечение стеряшя остается плоским в процессе дефорлгацнн. Поэтому погрешность экстраполяции (3.2.2) невелика до тех пор, пока не происходит заметной депланации сеченпя. Равенство (3.2.2) выражает так называемую гипотезу плоских сечений. Оно исключает возможность деплапацпи поперечного сечения и допускает возможность его деформации в своей плос­ кости II перекоса но отношению к базовой кривой.

C учето.м (3.2.2) и (3.2.3) равенствам. (3.2.1) может быть придан вид

	Ап) = Эп), Аз) = Яз) + х"Ь„),	(3.2.4)
	UJ/) — HiV + WJV, Ь„) = Эп), з-
	Соответственно (3.2.3) следует ограничить класс	допустимых
	заданию па поверхности ЗЗт noneii перемещений	такими по-
	ЛЯ1НИ 11^(.¾"), которые имеют представление U"* =	и”* +

где и™ и лУп — заданные в гранично!! точке векторы линейных и угловых перемещепп1г.

Для реализации преобразования жесткого поворота вводится

одномерное поле поворотов	у (х ). Начальные базисы			Ал-(X)	и
0;»(х) преобразуются в повернутые		базисы	AA J(X) и HA-J (х )		по
одному II тому же закону	(1.2.9),	Между	последними	сохраня­

ются связи, подобные (3.1.2) и (3.2.4):

А„] = а„), Аз] =		аз] +
V	, л/ „
Ь„] =	Ьп.	ам].

Локальные попороты поронщают одномерное векторное поле изгибаний базовой кривой

VJ = ф,5зУ + фзУ X SJV+ (фзSзф) V.

(3.2.6)

Коэффициенты фл' вычисляются по формулам (2.2.6) .

C помощью saBiiciiMOCTeii	(3.2.4) п (3.2.5) прострапственпые
векторы деформации (1.1.15) представляются равепствами
Un = Un,	и з= и з + а:”у„,
Ил' = Зл')	(3.2.7)
	Элг], Л'п= Ь„) Ьп],

которые вводят два одпомерны.х: кинематических тензора стерж­ ня: тензор метрических деформащи! Нлг(х) и тензор изгибиых дeфopмaцIIii у„(х ). Формулы

Ux = ЛУх - ф1У X ах, + фгУ X (V X а х ,) ,		/о о оч
лт^ л.	й	(О .2.»)
Vn = У , Х а „ , + и„.з,	л у з ^ д з п

выражают эти тензоры через четыре кинематически независи­ мых вектора: и , Wn, V. Лослсднпп из них является свободным и должен быть задан целевым образом.

Как видно пз (3.2.7), векторы и» определяют деформацию стержня в плоскости поперечного сечения, векторы Иэ п Vn— дсформацпю пз плоскости (продольную). Поперечная деформация однородна по нормальному сечению стержня, продольная распре­ делена лнненным образом.

Деформация стержня порождает трехмерное поло напряжении Z^'(X). В мгновенном состоянии оно подчиняется глобальному уравнеппю механпческоп энергии (1.1.109), которое при нало­ жении кинематическо!! связи (3.2.3) и внутреннем интегрировапип по произвольному поперечному сечению ^ сводится к ра­ венству

f { г •6и + •Ьwn — p)dx^ -H

+ гпг'би’"-НУт*би;;Г = 0.

(3.2.9)

При его записи введены следующие обозначения:

= \		J Z d	^	[	(^va)	^JsZ^dWу,
	а			^3
/у”= f SZX^d^ + J					ievs)~^JзZзx'^d^&зi
	JmZm =		J	*	^	тл
"“I	^ym =			J n^m^^d^ п,
		(«” ),				и ” ,
	Zm,		если задан вектор 2„,;
						(3.2.10)

Ут, если задан вектор Zn',

пзУ” (с” ),

и ”*,

^TO ^ j u (с*"), если задан вектор Zm',

~ [ х Г ,

и ” ,

[Wn (с™), если задан вектор Zm',

и"*.

в©п

Здесь г(х) п у (х) — контурные векторы сил п моментов, экви­ валентные инерционным н впешппм силам, распределенным по

объему	H трубчато!!	поверхности;	и Ут — точечные результи­
рующие	«еь'торы сил	МОЛ10ПТОВ на кромочных сечениях; и*" и

Wn — точеч]1ые векторы линейных и угловых перемещений кро­ мочных сечений.

Величина р = {])~^ |* JPdSS имеет смысл контурной плотности

мощности дсформацпн стержня. В соответствии с (1.1.98) и (3.2.7) она определяется равенствами

P = •(би),з + у" •(блу„ ),3+ Z" •Ь\\п—

- (ах, X Z"^ + Ь„) X у") • боУ = Z^ ■ боП;^ + у” • боУа (3.2.11)

п содержит контурные поля Z^(X) и у"(х) впутрепппх ycnnnii п моментов, которые являются результирующими от поля папряженш1 по поперечному сечению стержня:

JZ^dSS, / у "= [ / 2 ^ а д .

(3.2.12)

В результате пнтегрпрованпя по частям равенство (3.2.9) преобразуется к виду

с®

^

J (( 2 + ^!з) •би + (у — Z" Ч- yГз)•бWn +

+ (a^V) X 2 ^ -Ь Ьп) X у”) -боУ)

—

— втэ (г®•би -Ь у""- бw„)

+ Zm-би”* + Уm•бWn = О

(3.2.13)

л дает выполняющиеся на базовой кривой локальные динамиче­ ские уравнения

2?з + Z = О, у”з - Z^ + у" = О,

(3.2.14)

ау) X Z'^ + Ь„) X у” = О

и вьшолняющиеся в граничных точках	х'‘ — с™
ллп двнаиичесхше условия
U = i " ,		(3.2.15)
-= *1», «юУ” ”	ySi-	(3.2.16)

Последнее из уравпепий (3.2.14) является следствием усло­ вия безмоиентиости (1.1.96) континуума, образующего стержень.

Скалярная формулировка полученных уравиепнй осущест­ вляется C помощью разложении

	Ujif = Uifana*^^,		V = Ула'^ — У а ,а "',
	Vn =* UnM]»"’, V. = г,„а*^-FaM,
	* АП	®п	пЛГ.,	(3.2.17)
Z =	== г’^ймь у *		У «л/ =
Zjn *= Zfn	== Zm^J)/],	Уп“	Ушад1 “	Ут^^ЛмЪ

У”= у " " а л = У""W ,.

Она включает в себя систему кпиематпческпх ypaBnennii

Мл'М] ** флглг + («мл + ф'«к)

*^ПАЦ=	Л^'пМ^ЭЬ) + ^з*^яМ]	®**Л/^^зЬ1КпК]»		(3.2.18)
W iL — d iU L , F JM J =* (Ллгк +		флгк) a^ ^ Fat,
V i L =	(ф .ал,!, + ф.а.иькУ'*) d iV ^ + (фа^аф) VL ,
фА’ЗГ	ffld trU L V ^ + ^ fz iV xV M	— ttK M V L f^ )
систему динамических уравнений
	■Ч	=
	^nAf] ^ JnA/] _		0.	(3.2.19)

a^LK ((®АГМ + ицщ ) + Ф ’пА! + UnA/]) У”^0 = ^

хинематическпе граничные условия

им	им, WnM = WnMl	(3.2.20)
динамические граничные условия
^тзг***’ =	^nN] ^ JnA/]	(3.2.21)
	етЛ

и уравнения для восстановления пространственных кпнематиче С1ШХ полей

U M * C it. ( U L + tcViOf

(3.2.22)

UnMi - Cit-UnLb U m = Cit. {иш + ^ W ]) .

Локальным динамическим уравнениям (3.2.19) п граничным условиям (3.2.20) и (3.2.21) эквивалентно глобальное уравнение

ческо11 энергии

J (	4-	— р) (Ix^ +
+	Zm^UM 4- У	^lVnM = О,	(3.2.23)

в котором контурная плотность мощности дсформацпп задается фор.мулой

P = + у ""’бу„,г„ (3.2.24)

устанавливающей эпоргетпческп согласованные одномерные па­ раметры состояния стержня: кипематическпе и^лг], Упдг] и дина­

мические	у ""’. Следующие из	(3.2.12) равенства
	,JVM] = J J 2 ''¾ '. д а * = ,
	^ ,„ и 1 ^ Л 2 = « с г ,'.л ”* д а		(3.2.25)
	SS
выражают обобщенные динамические параметры через к
лепты пространственного тензора папряжепий.
Равенства (3.2.9) и (3.2.23) можно трактовать как			эквива­
лентные	формулировки уравнения	виртуальных работ	стержня

на леремещениях, подчппеппых кппе1матической связи (3.2.3). Полученная система одномерных кинематических и динампческих уравнений (3.2.18) — (3.2.21) требует формулировки одно­

мерных	же	термодинамических и определяющих уравнений.
C это11	целью	выделим начальны!': элемент	объема стержня,

заключенный между двумя нормальными сечениями, отстоящими друг от друга па расстоянии А9'. При условии достаточной глад­ кости вектора теплового потока для выделенного объема спра­ ведливы интегральные формулпровкн (1.1.63) первого н второго постулатов термодинамики:

J (Илгах^йх'^')^ йх^ =	( J P +	JQ - - (JQ ^ ).N) йхЧхА^ ах\
\ 35	33
J (И(JT d S - J Q -	JQ ^ IIt, + (	J Q ^ ' ) , J x ^ > 0.
33
		(3.2.26)

Здесь по-прежнему SZ, Р, dS п Q - скорости виутреппей энер­ гии, энергии деформации, производства эптронии и тепла в еди­

нице	начального объема стержня;	вектор	скорости тепло­
вого	потока; T — поле абсолютной	температуртл;	Н х ^ Т ~ 'ду Т —
вектор, коллииеарпый тслшературпому градиенту.

Условия (3.2.26) принимают обобщенную формулировку

		J	йх^=		J (р +	(i — 7?з)
							(3.2.27)
			J (г+ + /")йх=»^0
при введении	обобщенных				тер.модипамнчсскнх параметров
		^ =	J J	JQdxЧx^^ —		f
			^				(3.2.28)
дз =	I	J JQ^dxMx-, / - + S - I J					JQ ^ II^dxЧ x\
	SS					SS
		г " =	I	J JT b S dX^ dX^ +			(/% - д,
P =		^ J	J P	dX^ dX-, Z =		J J /Z dX^ Jx -.

Они имеют смысл осредненпых по поперечному сечению скоро­

стей	внешнего (д)	и внутреннего (д’) потоков тепла, теплово!!
(г'*’)	и внутренней	(г~) дпсснпацп!!, дсформациопио1"1 (р) и внут­

ренней (бг) удельных мoщпocтeii. Контурная плотность мощно­ сти деформации выражается фopмyлoii (3.2.24) через одномер­ ные кинематические п динамические параметры состояния стержня.

Из (3.2.27) следуют локальные формулировки термодинами­

ческих ограппченп!! в одномерном	пространстве	базово11 npiiBoir:
б2 = P -Ь g — д^з,	-I- г ^ 0.	(3.2.29)

Эти условия долл^пы выполияться в любом термомехапическо.м процессе деформирования стерл«1я, иодчниенпом кипематпческоГг связи (3.2.3). Первое из них мон<по трактовать как уравнение, определяющее обобщенный термодинамический потенциал Z (х) — контурную плотность BnyTpeHHeii энергии деформированного со­ стояния стержня. Второе — как условие, которому должен подщшяться параметр температурпого поля.

Построение определяющих уравнешп! деформируемого стержня следует начать с выбора массива определяющих параметров его трехмерного состояния. Как и в случае оболочки, полагаем, что массив образуется из температуры Г, компонент W KM) симмет­ ричного тензора деформаций Грина и, возмолшо, их скоростей. За исходные принимаются трехмерные определяющие уравнения,

представляющие симметричный тензор иапрянщнп1г		вектор
скорости теплового потока	и плотность энтропии S	известны­

ми зависимостями (2.2.29). По формуле (2.2.30) осуществляется преобразование тензора в Z^^K

Посредством равенств (1.1.108) ir (3.2.22) устанавливается явная зависимость трехмерных параметров W^K) от координат х" и одно-мерны.х кинематических нере.менных Цлгдг], Уплг):

(х", Нл'.ч), ^n-V]).

(3.2.30)

Соотиетствепио (3.2.22) и (3.2.30) полагаем, что параметр Т, обрядующш'г объемное скалярное поле, может быть алпроксимирокаи iiaiiecTHoii фупкцио!'! координат п контурного скалярного поля /(х):

		Т	= Т{Х,	t).	(3.2.31)'
1Тап})м.мер,	в	случае, когда	задано	распределение температуры
на трубчатоП		поверхности стержня, можно			представить Г = 0о +
+ /0,. где	00	II 01 — известные функции			координат, причем па

трубчатоГ! поверхности первая из них принимает задаппое зпаченпо температуры, вторая обращается в пуль. Прл равпо.мерпом распрс.делсннп температуры по поперечному сечению стержня завпспмос'п. (3.2.31) выражается равенством T = t{x).

Уравнения (2.2.29), (2.2.30) и (3.2,30), (3.2.31) позволяют

Н])еибра;юват1. (3.2.25)	в зависимости вида
		(3.2.32)
'’'*"	= г/''-'''(“хл-1, У(К1,	...),
KOTO])ые II составляют искомую систему одпо.мерпых определяю­
щих ypaBHemiii. Полевые переменные I,		Пхм], и,!.Wi н пх скорости

образуют массив одномерных определяющих параметров дефор­ мированного состояния стержня.

Система обобщенных определяющих уравнении (3.2.32) до­ полняется обобщеш1Ы.ми термодинамическими ограипчеппямп

(3.2.29),	при формулировке	которых используются завпсплюстп
(3.2.28),	(3.2.31) II (2.2.29).	В частном случае совершенного ма­

териала, когда отсутствует зависимость от скоростп процесса, термодинамические ограничения (3.2.29) вырождаются в ра­ венства

? - (7?з = б- - P = I f JT bS	dX^
а

Одно из них имеет смысл обобщенного уравпеппя теплопровод­ ности. другое определяет обобщенныГ! термодинамический потен­ циал, Определяющие уравпеппя выражаются в этом случае за­ висимостями

=и,к|. 0 .

Сформулпровапиая система уравиепип одпомерпой модели деформируемого стержня не замкнута, поскольку содержит в себе свободное кинематическое поле поворотов у (х ) . По апалогпп C двумерно!! моделью оболочки могут быть предложены че­ тыре варианта фиксации этого поля.

П ервы й вариант. Поворот осуществляется т а ю т образом, чтобы вектор Яз) был касательным к деформированпой базовой крн> вой п, следовательно, коллпнеариым мгиовеппому касательному вектору 03). Математически данное условие формулируется цеnoMKoii равенств

ЙЗ) •OfiJ * Из •0п] — UitW“ О,

которые исключают из числа нскол1ых фушщш! кинематические переменные UsniВозможность свободного поворота ба.зиса отно­

сительно вектора Яз устраняется одним из	условий: у-аз^Н з==
= 0, нг •а|] * Мз!] = 0. Соотвототвонно тензор	метрических дефор-

мацпй стержня представляется одно/! из матриц (в первой мат­ рице UJIJ UU J) :

[Ни]	Wia] Wiojl	Гцц]	Wia]	Wiojl
Wai]	Waa] Waa] I.	I 0	Иаа]	«га] •
о	о изз]1	L o	о	UaaiJ

Второй вариант. Поворот производится так, чтобы векторы ащ расположились в деформировапном поперечном ссчеиии стержня,, т. е. в мгновенной коорднпатпоп плоскости я’ « const, содержа­ щей векторы а„). В результате выполняется цепочка равенств

Ц||) ■аз1 — Un •HSJ ■= Uns) ~ О,

которые исключают из числа пскомых фупкцш”! кпнематппеские перемеппые Unsj. Возможность свободпого поворота базиса отно­

сительно вектора аз устраняется одним из условии у •аз s									Uj = О,
и, •ац S ц,а = 0.	Соответственно				тензор	метрических		деформации
представляется	одной из матриц (в первой						матрице	UU J =T^=UJ ,,) :
Twii]		и,2]	о	1	Гиц]	о	O l
I Waii		UjaJ	О	I»	I Wai]	Waa]	О I.
Lwai] Waa] WaajJ L^^ai] WaaJ WaajJ
Третий вариант. Поворот фиксируется условиями полной сим­
метрии тензора	метрических			Деформаций: Waij = Buj, Кзи = Ujaj,
BU J ==UJ I J , так	ЧТО	тензор	представляется				симметричной		мат­
рицей		[Wu] Wia] Wia]1
		Wia]		«221 М23] L

Wia] Waa] WaajJ

Четвертый вариант. Жесткий поворот базиса исключается тривиальным условием V ^O , которое отождествляет повернутый

базис C начальньш: ал-1 ^

Равенства (3.2.7) определяют деформационные тензоры в виде

UJ,= * Vn = Wn,, Wa = ^a, У, = 0. Тензор мвтрот мацшг представляется несимметричной квадратной

Wiz	“^191
Wzz	W^aa |«	IT^Mx
Wzz	*^39J