книги / Моделирование технологического оборудования

Время нарастания /„ характеризует быстродействие системы. Оно опреде­ ляется как проекция отрезка касательной к переходной характеристике в точке с ординатой, равной половине установившегося значения параметра л\С1, на временную ось.

Перерегулирование а представляет выраженное в процентах отношение максимального значения параметра к величине установившегося значения. Оно характеризует склонность системы к колебаниям.

Показатели переходного процесса зависят от свойств системы и от закона изменения внешних сил, т.е. от характера возмущения. При исследованиях пе­ реходных процессов чаще всего используют ступенчатое возмущение (рис.2.3).

FBX U

Т

F= h = const

i ___________	>
	t

Рис. 2.3. Ступенчатое возмущение

При h = 1 говорят о единичном ступенчатом возмущении. Ступенчатая функция является наиболее «тяжелым» видом возмущения, так как показатели переходного процесса при этом оказываются наименее благоприятными. В слу­ чае единичного возмущения кривую переходного процесса называют переход­ ной функцией, которая весьма удобна при экспериментах и математическом анализе и потому широко используется при исследовании переходных процес­ сов.

Для приближения к реальным внешним силам иногда в качестве возму­ щения при построении переходного процесса используют линейно изменяю­ щуюся функцию, параболу или импульсную функцию.

Рис. 2.4. Линейно изменяющееся возмущение

Рис. 2.5. Параболическое возмущение

Рис. 2.6. Импульсное возмущение

Зная реакции системы на типовые возмущения, можно построить реак­ цию линейной системы на возмущение произвольного вида, используя принцип суперпозиции. Для этого достаточно аппроксимировать реальное возмущение суммой типовых возмущений, тогда суммарная реакция от реального возмуще­ ния найдется как сумма реакций на типовые возмущения. В данной работе для отражения-возмущений используются ступенчатое и импульсное воздействия.

Вынужденные колебания во многом определяют работоспособность тех­ нических систем, в том числе технологического оборудования [19, 20, 26]. С ними связаны уровни динамических нагрузок в элементах системы, а также ка­ чество протекания процессов.

Вынужденные колебания в системе наблюдаются при воздействии на нее внешних периодических сил. При этом поведение линейной системы описыва­ ется системой неоднородных обыкновенных дифференциальных уравнений ви­ да

U k а I + \В Нq U \СН Я^ = \ Fit) к

(2.5)

где [а] - матрица инерционности; [д] - матрица демпфирования; [г] - матрица жесткости;

Г</ И ЧМ 4 Г” обобщенные ускорения, скорости и координаты;

—вектор-столбец внешних возмущений.

При этом значение вектора^ F(/) j представляет собой функции времени,

отражающие воздействие периодических сил:

F=fit).	(2.6)

Обычно для исследования вынужденных колебаний в линейных систе­ мах используют принцип суперпозиции и на вход подают гармоническое воз­ действие

F = A- sin(co-/).

(2.7)

Принцип суперпозиции основан на том, что колебания, вызванные раз­ ными силами, не зависят друг от друга и при определении результирующего движения складываются.

Как известно, решение неоднородного дифференциального уравнения представляет собой сумму общего и частного решений [5, 23]. Вынужденные колебания определяются частным решением, причем форма решения известна и представляется выражением

	д й(ш)
	Аи, —■	( 2. 10)
	Д(со)
где Д(а>)	- главный определитель системы;
Д (со)- МИН0Р главного определителя системы, полученный из него вы
ij	черкиванием j -го столбца и /-й строки и взятый со знаком	(-1)' '

Анализ этого выражения позволяет выявить важнейшее свойство выну­ жденных колебаний, связанное с резким повышением амплитуды выходного сигнала и называемое явлением резонанса. Это наблюдается при приближении знаменателя выражения (2.10) к нулю. Знаменатель представляет собой глав­ ный определитель системы и определяется только параметрами и стрчктурой самой системы. Главный определитель будет равен нулю при равенстве часто­ ты вынуждающей силы одной из собственных частот системы:

Д = |с + j • Ъ• со - о • со21 => 0.

( 2.1

Таким образом, значение А0,(/“ ) характеризует динамические свойства самой системы и не зависит от характера приложенных к системе воздействий. Функцию л (усо) от непрерывного аргумента со называют спектральной харак­ теристикой выходного сигнала. Спектральная характеристика представляет со­

бой преобразование Фурье [16, 24] для выходного сигнала		Ф(д(/)).
Отношение спектральной характеристики выходного .сигнала к спек­
тральной характеристике входного сигнала Ф(/г(0)	называется амплит\дно -
фазовой характеристикой системы по отношению к	входному воздействию:

Ф(<7(0)	( 2. 12)
ф(Г (0 )
Модуль амплитудно-фазовой характеристики |W/( /o)|	характеризует

изменение амплитуды сигнала АА при прохождении последнего через сисгем>,

а аргумент argH^/co)	определяет фазовый сдвиг Д<р выходного сигнала от­
носительно входного во времени.
Величину \W(ja>)\	называют амплитудно-частотной характеристикой

системы, а величину argW'Xyco) - фазочастотной характеристикой системы. Эти частотные характеристики имеют графическое представление. Амплитудно-фазовая характеристика (АФЧХ) строится в комплексной

плоскости и представляет собой годограф вектора ^Г(усо)(рис. 2.8).

Как видно из этого рисунка, вынужденные колебания элементов системы всегда отстают по фазе от возмущающей силы.

Большим достоинством частотных характеристик является возможность их построения экспериментальным путем по записи развернутого во времени входного и выходного сигналов (см. рис.2.7).

\W (у<ю)| « АА

arg Ф (усо) » Аф.

(2.13)

Таким образом, в.системе, находящейся под действием внешней возму­ щающей силы, возможны существенные изменения амплитуды и фазового уг­ ла. Чтобы снизить влияние вынужденных колебаний, следует стремиться к уменьшению их амплитуды. Это уменьшение может быть достигнуто как за счет уменьшения величины сил возмущений, так и за счет изменения парамет­ ров и структуры системы. Изменение параметров и структуры системы ведет к изменению амплитудно-частотной характеристики. Эти изменения могут быть двух видов.

Первый вид изменений связан с уменьшением ординат графика АЧХ во всем диапазоне частот (рис. 2.11) и значительным уменьшением резонансных пиков. Такого результата можно достичь увеличением демпфирования в систе­ ме.

Рис. 2.11. Снижение амплитуды вынужденных колебаний за счет повышения демпфирования в системе

Второй вид изменений заключается в смещении резонансного пика. Смещая резонансные пики за границу диапазона частот возмущающих воздей­ ствий, можно значительно уменьшить значение ординат АЧХ в данном диапа­ зоне (см. рис. 2.12).

Затухание переходного процесса имеет место только тогда, когда веще­ ственные части всех корней S, характеристического уравнения отрицательны.

Таким образом, для суждения об устойчивости системы достаточно оп­ ределить все корни характеристического уравнения или построить график пе­ реходного процесса. Из-за трудности решения данной задачи разработаны ме­ тоды, которые позволяют без решения характеристического уравнения опреде­ лить знаки вещественных частей его корней. К ним относятся критерии устой­ чивости Рауса, Гурвица, Михайлова и критерий Найквиста (амплитудно­ фазовый критерий).

Особенно актуальны вопросы устойчивости для работы замкнутых сис­ тем, когда наличие запаздывания сигнала обратной связи может приводить к дополнительной неустойчивости [18].

Выделяют собственную устойчивость элементов разомкнутой системы и устойчивость замкнутой системы. При этом необходимым условием устойчи­ вости замкнутой системы является собственная устойчивость ее элементов. Ес­ ли получение характеристического уравнения разомкнутой системы не вызыва­ ет затруднений, то получение характеристического уравнения замкнутой сис­ темы требует значительных усилий. Это определяет последовательность иссле­ дования устойчивости системы. Вначале следует убедиться в собственной ус­ тойчивости элементов системы, затем исследовать устойчивость замкнутой системы. Для этого используют разные подходы.

Задача о собственной устойчивости решается на основе получения ха­ рактеристического уравнения разомкнутой системы (рис.2.13), нахождения его корней и построения переходного процесса, также могут быть использованы критерии Гурвица, Михайлова и Рауса. Программа PAN позволяет определять собственные значения системы и строить графики переходного процесса (см. п.2.3.5).

-I

Рис. 2.13. Одноконтурная система в разомкнутом состоянии

Для решения второй задачи используют амплитудно-фазовый критерий (критерий Найквиста), который позволяет судить об устойчивости замкнутой системы (рис. 2.14) по амплитудно-фазовой характеристике разомкнутой системы (см. рис. 2.13). Помимо этого, он дает возможность исследовать

устойчивость замкнутой системы по экспериментально снятым частотным характеристикам отдельных звеньев, учитывать чистое запаздывание сигнала и т.д. Все это определило широкое применение амплитудно-фазового критерия.

E HX(S)			£ вых\>
к\	w	ЩЯ)	-------------------- ъ.

-1

Рис. 2.14. Одноконтурная система в замкнутом состоянии

Амплитудно-фазовый критерий устойчивости

Амплитудно-фазовый критерий позволяет по амплитудно-фазочастотной характеристике разомкнутой системы судить об устойчивости замкнутой сис­ темы, если передаточная функция fV(S) подчиняется условию

lim \ W (S)\ = 0

или
lim \ W	= С,	(2.14)

где С - константа;

S=jCО

На практике, если передаточная функция разомкнутой системы описыва­ ется выражением

W(S) =

ао$п +a\Sn~' + —+««

(2.15)

то условие (2.14) сводится к тому, чтобы степень числителя передаточной функции не превышала степени знаменателя, т.е. т < п. Для реальных физических систем это условие обычно выполняется.

Чтобы исследовать устойчивость замкнутой системы (см. рис. 2.14), не­ обходимо построить годограф разомкнутой системы (рис. 2.13), представляю­ щий собой кривую (рис. 2.15), которая соединяет концы вектора lV(j(o) в ком­ плексной плоскости и описывается уравнением