книги / Системы управления летательными аппаратами и их силовыми установками

где	- дисперсия ошибки.
	Зависимость, с помощью которой определяется дисперсия для слу­

чайной величины с равным нулю математическим ожиданием, имеет вид

		Dx = ”j x 2f(x ) dx .			(8.5)
		—00
Для рассматриваемого случая			с
		Dx =	\ х f{x ) d х .		(8.6)
			С
			2
Плотность вероятности определим из известной зависимости:
		]/ (x )d x = l,			(8.7)
или для рассматриваемого случая
		С
		2			( 8.8)
		1 / (*)d x = l.
Тогда			с
		Я М	2С=!;		(8.9)
		/ « *	= -•
			с
Подставив (8.9) в (8.6), получим
			_ 1 Ах	—	2
n	1 2г д 2 ,			2 _ £ _
Dx = -		] Дх dx = — -			( 8. 10)
	с	J	с 3	_£ ~12
				2

Следовательно,

2V3'

Итак, при квантовании сигнала по уровню возникает ошибка, средне­ квадратическое отклонение которой в д/З раз меньше максимального зна­ чения.

От того, учитывается ли ошибка квантования максимальным значени­ ем или среднеквадратическим отклонением, будет зависеть число разрядов преобразователя, которое определяется исходя из требования к точности преобразования.

8.3. Учет влияния квантования по уровню в преобразователе код-аналог (при малом числе разрядов преобразователя)

Будем считать, что в этом случае величина ступеньки квантования со­ измерима с максимальным значением преобразуемого сигнала. Поэтому преобразователь представляет собой элемент с существенно нелинейной статической характеристикой. Для упрощения рассмотрения влияния на точность системы ошибки квантования введем следующее допущение:

-будем рассматривать только собственное движение системы;

-примем число разрядов преобразователя равным 1;

-не будем учитывать зону нечувствительности в статической харак­ теристике преобразователя, которая в этом случае примет вид, показанный на рис. 8.5, а.

	Рис. 8.5
Таким образом,
F(x) = c	при	*> 0 ;
F(x) = -с	при	дс < 0.

Функциональную схему системы стабилизации можно в данном слу­ чае представить как содержащую линейную и нелинейную части (рис. 8.5, б) (Ф - фиксатор, ЛЧ - линейная часть).

В нелинейную часть системы входит импульсный элемент, запоми­ нающее устройство нулевого порядка и релейный элемент. Назовем нели­ нейную часть системы релейно-импульсным элементом (РИЭ). Известно, что в релейной системе автоматического регулирования может возникнуть устойчивый периодический процесс (автоколебания). Задача состоит в оп­ ределении амплитуды автоколебаний с целью оценки влияния квантования по уровню на точность системы. Для определения амплитуды автоколеба­ ний используем метод гармонической линеаризации. Чтобы решить дан­ ную задачу, необходимо знать комплексный коэффициент передачи РИЭ.

Определение комплексного коэффициента передачи РИЭ Wp. Этот коэффициент является функцией амплитуды сигнала а, поступающего на вход РИЭ, фазы квантования \j/* и соотношения частоты квантования и частоты сигнала:

	(8.13)
Wp =f(a, у, я),	(8.14)

Сигналы на входе РИЭ, на выходе фиксатора и на выходе релейного элемента (1,2,3) представлены на рис. 8.6.

Фаза квантования характеризует фазовое отставание сигнала на выхо­ де РИЭ по сравнению с сигналом на входе. Комплексный коэффициент пе­ редачи можно выразить через модуль Rp и аргумент фр:

Wp{a, у, и) = RpeyV

(8.15)

Выразим модуль и аргумент через коэффициенты гармонической ли­ неаризации РИЭ q и q':

<рр =arctg^-,			(8.17)
где
1	2я	sin4/d\j/;	(8.18)
о = —	fF (v )
ТТЛ	о
1	2п	cos \|/d\|/;	(8.19)
q' = —	J F (y )

Учитывая вид сигналов на входе и выходе РИЭ (см. рис. 8.6), опреде­ лим q и q' \

II !|м ла

\		^	4с	( 8.20)
	с sin у d\y ==—f-cosvur+v* 1= — cos \/1
Vк	7ш\	У	л<я

	* + П	с cos \|/ёф = — (sinv|/|’' +'1'* 1=		-4 с .	( 8.21)
q' =	J			----- sin у
	ла	7Ш V	■v* у	па	1
Тогда
					(8.22)
		Фр = -У*.			(8.23)

Выразим фазу квантования через соотношение частоты квантования и частоты сигнала.

Как видно из рис. 8.5, аргумент РИЭ представляет собой сумму аргу­

ментов фиксатора срф и релейного элемента фрэ:

ФР = Фф + Фр э -

(8.24)

Но для релейного элемента с однозначной статической характеристи-

w	г\	со	-71
кои фрэ = 0, а фф = - я —			= — .
	^	соо	п

Тогда

Фр = - * 7 7 -		(8-25)
F	COQ

Подставив (8.22) и (8.25) в (8.15), получим

Щ а, у, и) = — е “ 0

па

Заменимусо нар, тогда

		ЦУ		_Ph
и / /	. 4 с	а>0	4 с	2	(8.27)
^p(a,V ,p) = —		е	— е
	па		па

Методика определения параметров периодического процесса, возникающего в системе стабилизации за счет квантования сигнала по уровню. Задача состоит в определении частоты и амплитуды периодического процесса, т.е. частоты и амплитуды автоколебаний на входе РИЭ. Воспользовавшись методом гармонической линеаризации, запишем условие существования периодического процесса в системе :

	а а д а д ] = - 1 .					(8.28)
	Здесь Wn(p) - передаточная функция линейном части системы.
	С учетом формулы (8.27) получим
		рТ0
		2	= -	1.		(8.29)
		па
	4с
	Вынесем — за скобки:
	па
		рт0
	4с г	2	= -	1	.	(8.30)
	па s	И 'л (Р )

Как видно из выражения (8.30), необходимо осуществить операцию z-преобразования от функции с запаздыванием. Для решения такой задачи применяется модифицированное z-преобразование, символ которого С/п

[2].

При использовании модифицированного z-преобразования вводится некоторый параметр т , характеризующий запаздывание функции:

m =

(8.31)

То

где т - величина запаздывания, причем 0 < т То <,. Модифицированные z-преобразования различных элементарных функций приведены в прило­ жении 1.

Так как для исследуемой системы т = ^2-, то т = 0,5.

С учетом вышеизложенного перепишем зависимость (8.30)

^ " ¥ л{р)]=-\.	(8.32)
Используя приложение 1, получим
zr: Wn(z,m) = - l .	(8.33)

Для определения параметров периодического процесса воспользуемся частотным методом (методом Е.П. Попова). С этой целью запишем харак­ теристическое уравнение системы в области w, выделим мнимую и веще­ ственную части характеристического уравнения и в итоге получим два уравнения для определения амплитуды и частоты автоколебаний.

Итак, переходим в область w с помощью известной подстановки 1+ YV

4с	Wn(W) = - l .	(8.34)
па
Характеристическое уравнение системы примет вид
£	M w ) + i = o.	(8.35)
па
Заменим w наjv:
^ » л ( А ) + 1 = 0.		(8.36)
па

Выделим вещественную и мнимую части уравнения (8.36) и приравняем их к нулю:

Re	4с	Wn<Jv) + \ = 0 ;	(8.37)
	_па
Im	—	W„(jv) + \ = 0 .	(8.38)
	.па

Из этой системы уравнений находим v и а.

Определение параметров периодического процесса в системе угло­ вой стабилизации. Структурная схема СУС представлена на рис. 8.7.

Рис. 8.7

Для решения поставленной задачи воспользуемся зависимо­ стью (8.30), тогда условие существования периодического режиме запи­ шется в виде

			рТ0
4с с.			2	Д г ) = -1
па S ^г^п^уб 2		е
	Р
или
4КгКпЬу$с	С			д * ) = - 1.
па

Воспользуемся модифицированным z-преобразованием:

	4КГКцЬу§с	тТ0	|	то	£»(z) = - l .
	па	2 - 1	,	,Ч2
			(z - 1 )

при m = 0,5.

Произведем алгебраические преобразования:

2^г^п^убс^0 z +1

па	(z -1 )	д * ) = - 1.
Перейдем в область w, учитывая, что

(8.39)

(8.40)

(8.41)

(8.42)

(8.43)

*0 b y t c T p (1 -у у )(7 > + 1) ,	(8.44)
+ 1= 0 .
па
w (w + 1)

Заменим w на jv и произведем преобразования, в результате получим уравнение в виде

- v 3- 1	2 + КрЬ^Трс	_ 1)+ КрЬфТрс = о	4
па	па	па

Выделим мнимую и вещественную части и приравняем их к нулю:

_ V 3 + W	W	K - ^ Q;	(g46)
	7Ш
' КрЬуьТ0сТк	Л ^2	( КрЬу§Трс _ в

(8.47)

па

Решая совместно равенства (8.46) и (8.47), определим а и v:

	_	(^к ■"!)	(8.48)
	а	я(Гк-2)
			’
	v =	Ч к -"2	(8.49)

Анализ данных зависимостей показывает, что фиктивная постоянная времени дискретного вычислительного устройства должна иметь величину

Тк > 2. Амплитуда периодического процесса пропорциональна коэффици­ енту передачи линейной части системы КоЬ^ь и величине ступеньки кван­ тования с.

Таким образом, если амплитуда периодического процесса превышает допустимое значение, то необходимо уменьшить прежде всего с, т.е. уве­ личить число разрядов преобразователя.

8.4. Динамика системы стабилизации при учете нелинейности рулевого привода

Как указывалось в начале данной главы, основная нелинейность руле­ вого привода обусловлена ограничением скоростной характеристики руле­ вой машины (РМ ) (рис. 8.8). На рисунке 5 - скорость выходного вала РМ, / - ток на выходе усилителя. Наибольшее влияние данная нелинейность оказывает на динамику СУС при учете сигналов помех, которые наклады­ ваются на полезный сигнал. Помехи в автомате стабилизации возникают

вследствие вибрации двигателя ЛА, наличия упругих колебаний корпуса, наличия собственных колебаний ги­ ростабилизаторов и т.д.

Таким образом, сложный сигнал, представляющий собой сумму полез­ ного низкочастотного сигнала и высо­ кочастотного сигнала помехи, прохо­ дит через нелинейное звено, которым является рулевая машина. В результа­ те прохождения такого сигнала может

ухудшиться качество регулирования в системе и даже может быть потеря­ на устойчивость, Рассмотрим данное явление подробнее.

Прохождение сложного сигнала через нелинейное звено. Предста­ вим структурную схему рулевой машины с учетом нелинейности (рис. 8.9). Будем считать, что за период изменения сигнала помехи /п полезный сиг­ нал /о остается постоянным. Данное допущение справедливо ввиду суще­ ственного различия частот полезного сигнала и сигнала помехи.

Р
Рис. 8.9
Итак, результирующий сигнал на входе рулевой машины
/ = /о + /п,	(8.50)
где
/n = i4nsin GV-	(8.51)

Эпюры сигналов на входе и выходе нелинейного звена РМ представ­ лены на рис. 8.10. Здесь b - зона линейного участка скоростной характери­

стики рулевой машины; К - коэффициент передачи РМ.
Рассмотрим два наиболее характерных случая:
1.	h + An<b.	(8.52)

Как видно из рис. 8.10, в этом случае нелинейность РМ не оказывает влияния на величину полезной составляющей выходного параметра РМ

5oi:
	801=KIQ.	(8.53)
2.	I0 + An>b.	(8.54)

В этом случае происходит искажение выходного параметра РМ. Те­ перь уже полезная составляющая выходного параметра 5Q2 зависит от ко­ эффициента передачи РМ по полезной составляющей с учетом коэффици­ ента нелинейности который определяется методом гармонической ли­ неаризации

V	2/L	' ^	/о гг\
Кн = —		arcsin—- ( 8 . 5	5 )
	71	Ап

Зависимость (8.55) показывает, что с увеличением амплитуды помехи

Кнуменьшается. Таким образом

§02 <8()1-

Можно отметить, что с увеличением амплитуды помехи полезная со­ ставляющая выходного параметра РМ (скорости вращения) уменьшается.

Влияние нелинейности рулевого привода на динамику СУС. Пред­ ставим структурную схему рулевого привода при учете только полезной составляющей скорости вращения выходного вала РМ (рис. 8.11). Опреде­ лим для данного случая передаточную функцию РП:

Кн	_	(8.56)
Wn(Р) = Р + КИК0С
		ТПр + \
1		(8.57)
*п =
* о с
1		(8.58)
Т„ =

К н К ос