книги / Микрополосковые антенны и решетки в слоистых средах

Теоретические сведения для анализа микрополосковых антенн

В (1.18) используются те же обозначения, что и в (1.13). Определим элементы тензора (1.8) при — Нх< z < z0 < 0:

	Z
£	i z 0
	С	Г	( П )
Ь()
1
СО	■	н	( - 1 )
о СО

Рис. 5. Среда в виде диэлектрического слоя

G0(M,M 0) = J[(l+ / $ ))еЧ|(г'*о) + Л^,)е“2г,|Н' (1+ i?^,))e“rJl(r_^o)]x

		r ] / M p ) d k
	^0)еф-го) +^(-i)e-2m (1+^)e^i(^o)
&М,Мо)	\ep Э	1 - ^ 4	^ ^ < /Я ; (1.19)
дх	2 ^ 3 x 1
		4 0)e^ ( ^ ) - 4 _1)е“а д (1-^4°)>е_Г7|(г_=0)

1 - 4 - Ч 0)е ^ Я1

- i? ^ 1))e',l(z”-r°) - ^ ~ l)e_2’?lW( 1 - 4 ° ))е“г,|(' :o) ]ц

1

-J0(Xp)dX..

Рассмотренные выше примеры построения тензорной функции Грина (1.8) позволяют определить ее для слоистых сред, представляющих интерес при исследовании микрополосковых структур.

Например, для среды в виде диэлектрического слоя (рис. 5) элементы тензора (1.8) при z > z0 > О

имеют вид:

	,, ->*0RMM0 °1						1
G0(M,M0)		-----------+		[ /г^,)е~'7о('+го)У0(Яр)—</Я;
		RM M 0 Q					Но
Эг<м,м0) ^ d j ^ m			_			>J<)(Xp)M.		( 1.20)
		О
	с	„ ~'k0RMM0		_ “			1
G ,(M ,M 0) =			------------- f 4 ° )е"'?0(г+-'0)Л ( Я р ) Л / Я ,
	£i	RMM0		£I Q			По
где /г{У),/?£0) - коэффициенты отражения от границы слоя.
Импеданс указанной границы из (1.14) имеет вид,
_	. а>Мо Мо/Но + ( р 0/ г ц ) М П \ Н				)	z £ _ .	г?, Н о/£о + ( H i/£i)tb (r? |rt	)
	Hi Mo/Hi + ( P o h o ) M t h H				) ’	°	H i/£ i + (r?0/ eo ) th ( n itf	) '
Для коэффициентов ЛМ£из (1.15) имеем:
р0	2 £,я _ Ж£.Я
	_		WH		0;	W£ =i—2-.
*£,//	““ Z £,H + f f £.W;			По
							^ o

Отметим, что в элементах G0(M М0) и Gi(M, М0) из (1.20) выделен подобно (1.10) член, опреде­ ляющий дипольную особенность поля при При этом несобственные интегралы быстро сходятся.

Двухслойная среда (рис. 5) может быть усложнена введением дополнительных границ раздела сред. При этом интегральные представления элементов тензорной функции Грина (1.8) определяются при помощи изложенной выше методики на основе рекуррентных выражений для расчета поверхностного импеданса на

10

Теоретические сведения для анализа микрополосновых антенн

границах раздела сред с последующим вычислением коэффициентов отражения парциальных волн

на этих границах.

Рассмотрим слоистую среду, которая в качестве дополнительной границы раздела содержит абсо­ лютный проводник (рис. 6). Импеданс эквивалентной волноводной линии для Е- и Я-волн в сечении z = -(Н\ +Н0) соответствует режиму холостого хода и короткого замыкания в эквивалентной волноводной

линии. Соответственно			импеданс, пересчитанный в	сечении z = -Н\ линии	равен
2 я = _,-£#fo thfoj#,,); Z£			= /Jk_cth(773# 0), где щ = ^А2 -А'32	; k3 = й )^ о £з
Лз
Далее, из соотношений (1.11) вычисляется импеданс в сечении линии (0) при z = 0.
z я =	.<*Щ{(оц0/ЛзУЧПзН0) + ( щ 0/тУЧЛ\Н )
°	* Л\	а)д0/Д +(а)Ц0/т?3) 1Ь(г]3Яо)?/г(г]|Я 1) ’			(].2 1)
Z E = . Щ (г?з/^з)С ^(т73Я 0) + (т?|/й)£,)1Ь(Т7|Я |)
0	сое,	т?,/й)£, +(г]3/й)ез)аЬ(г7зЯ0)//г(ц1Я 1)
Коэффициенты		для слоя (0) вычисляются из (1.12).
Подобным образом вычисляется импеданс в сечении линии (1) при z=H2 и коэффициенты					R $ E .

Подстановка указанных коэффициентов, например, в (1.13) полностью определяет элементы тензорной функции Грина (1.8) для данной слоистой среды.

Рассмотрим случай слоистой среды (рис. 6), для которой экран в сечении z = (-Я1+Я0) характеризу­ ется поверхностным импедансом Zs. Тогда импеданс, пересчитанный в сечении z = - Я ь равен:

z n _ i(Ofi0 Zs(OHo/ri3-((0HQ/ri3)tg(ri3Ho)

	Пз	"М о/Д )+(^й^оЛ 7зМ т?з#о)’
Z E	Щз	^3/ ( ^ 3 ZS ) + (Из/ Ш£3) tg(T?3^o )
■'	(0£г 1ь /сое3- (ri3/((0£3Zs ))tg(773Я0) ’

где щ = yjfс32 - Я 2 ; /с3 =(О^£3ц0

Из соотношений (1.11) вычисляется импеданс в сечении линии z = 0

z „ ico/ло (z " -< W n i)tg (r7 ,# ,) ° Tli (ОЦо/щ

Z E _ . Г/i -Z?,TJ3/(0£3 +(iT)l/(Q£,)tg(Tl,Hl)

°Щ 77,/ше, - ( - Z f, Г73/аз£3)tg(r/1/ / ])

Коэффициенты

для слоя (0) из (1.12) равны:

(0) = z o" -< W H .2. R (Q) = Z O - WE2) . w m =iJh_

н Zg +Щ0 /Л2 Е Z0E +w p - Е <ое2

	1	_Z
со
So			м \
		т % : Н7	, '
		Г ц	(0)
е 3		Но	(-1)

>99999999999999999999»_______

Рис. 6. Слоистая среда с экраном

Далее в соответствии с (1.11) вычисляются импеданс в сечении (1) при z = Я2 и коэффициенты ^я*£ по формуле (1.12). Указанные коэффициенты полностью определяют элементы тензорной функ­ ции Грина (1.8).

11

Теоретические сведения для анализа микрополосковых антенн

1.3.Примеры вычисления поля в слоистой среде

■Рассмотрим наиболее простой случай возбуждения среды с одной границей раздела сред (см. рис. 1). Элемен­

ты тензорной функции Грина при ( z - z 0)> 0 имеют вид интегральных выражений (1.10). Полагая условие Rer70,Re7]I >0 несобственные интегралы в (1.10) равномерно сходятся относительно параметров р и z. Отсю­ да следует , функции G0(R), G\(R), g(R) являются регулярными с теми же производными относительно ука­ занных параметров , что и подынтегральные функции. Отсюда следует допустимость дифференцирования под знаком интеграла по этим параметрам и допустимость проведения эквивалентных преобразований. Предель­ ное значение интегралов из (1.10) при z —> z0 и z 0= 0, как и при Re/]0—>0, понимается в смысле “обобщенных”

значений этих интегралов [18].
Вычислим поле вертикального электрического диполя с моментом							p = i.p, р = Idz
Из (1.4), (1.8) и (1.10) следует:
		-~По(---о)	-То(--+г0)					( 1.22)
£, 4К ■>		------------ RE---------- А/0(Ар)Л,
		По	По
где RE = £()f?l	£|7?0 ;	rj, = 7 я 2 -к-,2	; щ = ^ Х 2 - к{
е0П,+£|По
		/-о
Определяя поле Ez =—5—			■>+колг	из (1.22) при z 0 = 0 можно получить
		/й£Ь dz2
			- О о - - Л	2		-iK\P		(1.23)
	J	< > (А р)		■ Ш	+ -
EZ=P 4ni(D		£ол/а2- к-,2 +е1У]х2- щ
где Яр (Яр) -	функция Ханкеля [10].
Подынтегральную функцию в (1.23) рассмотрим на плоскости комплексного переменного се = А + /сг(рис. 7).
					Ветви неоднозначных функций 7]0, 7jj выбирают­
				ся из условия Re770,Re77j >0 , берега разрезов функции
				выбраны из условия Rerj0, Re/Ji = 0. Подынтегральная
				функция F(ае) внутри контура однозначна.
					По теореме Коши для аналитических функций [6]
				имеем при R—>оо
				H +J			-R	(1.24)
						F (ее)das + JR F(as]das - -2xiresF(h),
				pj?	00	01
Рис.7. Плоскость комплексного переменного ае = Я + /<т
				где в правой части равенства имеем вычет в полюсе ае = /2,
N(h) = £i^ h 2 -к%		+ e 0yjh2 - к 2 = 0 П р и е ,> £ 0 h ~ k 0				I + I S L
						2 £j
В свою очередь для вычета имеем [12]
2xiF(h) = 2 x i - f i - j y j h 2 - k 2H'02\ h p ) e ~ ^ 2								(1.25)
	£Г-£.

Интегралы по разрезам £)(ь £?i быстро убывают и достаточно вычислить главную часть интегралов для значений ае вблизи точек ветвления kQи к\.

В результате:

12

				Теоретические сведения для анализа микрополосковых антенн
				-/*0л	--<М Ч
Но		1		----- + В^~
	1		1	R	bz	; л = ^ 7
Ez — ip .
4лГ£,--£0-				+27гЯ£2)(Лр)е- ф ^ 02

где А м В - некоторые коэффициенты.

Таким образом, поле Ez состоит из поля диполя в однородной среде (первое слагаемое), поля, отражен­ ного от границы раздела сред (второе слагаемое), и поля радиальной волны (третье слагаемое), которое имеет характер поверхностной волны. Такое представление поля характерно при возбуждении слоистых сред.

Пусть ZQ± 0 (рис. 8.). Учитывая указанный характер поля, из (1.22) методом перевала [12] можно полу­ чить при z > 0 [15]:

е~ikоR1		( 1.26)
/?£(/:o.yin0)	1+0
	k0R
при 0*7 г/ 2; О < 0< л:/2,гд е	A = Aosin0; А0Я-»оо
J £, -sin “0 -£ , COS0
*£ =

yje l -sin20 +£, cos0

Представление коэффициента RE соответствует представле­ ниям геометрической оптики. При R—*Ri (0 —>7Г/2 ) вблизи гра­ ницы раздела необходимо учитывать дополнительные слагаемые

для поля Ez.

Пусть z, z0 = 0, €\ »	Е0и (0 = /г/2).
Тогда из [15]
е - ' М	J e~r dx ,
l +
2nR	о

где ^ = к 0Е/(2£{) - приведенное расстояние.

При малых £ преобладает первое слагаемое. При увели­

чении	£	второе и третье слагаемые возрастают и их сумма
при	» 1	стремится к (-1). Второе слагаемое соответствует

поверхностной волне.

Представление поля вида (1.26) позволяет определить поле излучения дипольного источника с учетом влияния слоистой сре­ ды. Подобным образом в приближении геометрической оптики можно представить поле и для многослойных сред.

Например, для случая диполя над диэлектрическим слоем (рис. 9) в приближении геометрической оптики 0 < 6 < л /2 име­ ем представление поля (1.26), где коэффициент отражения ^ о п ­ ределяется из (1.20) как

_ (^£1-sin 20sin4/ + £, cos0 cosЧ*)^, -sin 20 -£ , cos0

*£ =

(^/e, -sin 20 cos 4* + £, cos0 siny/)^^ -sin 2 0 + £j cos0

Рис. 8. Диполь и его зеркальное изображение для границы раздела двух сред

Рис. 9. Диполь и его зеркальное изображение для диэлектрического слоя

где Ч* = k0H yJel -sin20

13

Теоретические сведения для анализа микрополосковых антенн

1.4. Особенности вычисления элементов тензора Грина

Анализ полей микрополосковых структур, связанный с использованием элементов тензорной функции Грина, требует разработки способа быстрого и точного расчета последних.

Непосредственное использование интегральных представлений элементов, рассмотренных в п.1.1, встречает вычислительные трудности, которые могут исключить проведение указанного анализа. По­ этому возникает необходимость преобразования интегральных представлений элементов тензора с це­ лью выделения в последних сингулярных членов и улучшения сходимости несобственных интегралов представлений, а также выбора для последних численного метода.

Рассмотрим случай слоистой среды с одной границей раздела сред (см. рис. 1). Для многослойной среды элементы тензора целесообразно представлять в виде суммы двух составляющих, одно из кото­ рых соответствует одноименному элементу тензора для указанного случая. Этот прием позволяет выде­ лить в интегральных представлениях элементов в явном виде сингулярные члены и улучшить сходи­ мость несобственных интегралов представлений. При исследовании микрополосковых структур интерес представляют элементы тензора Go и dg/dz , которые составляют ядро интегрального уравнения для то­

ка исследуемой структуры. Эти элементы, наиболее сложные в вычислительном отношении, получат ниже преимущественное рассмотрение. Вычисление других элементов тензора при других вариантах размещения точек наблюдения и источника рассматриваются аналогично.

Элементы тензорной функции Грина для случая среды (см. рис. 1) при (z - zo) >0 имеют вид выра­ жений (1.10). При условии Rer]0> 0 (аь—>0) последние определяют несобственные интегралы, равномер­ но сходящиеся относительно параметров р и г , как указано в п. 1.3.

При z —►ZQ и ZQ= 0, переходя к нормированным значениям p =k0p , z = к01 , из (1.10) можно получить:

^о(Р) =~7~~~ +°\~ —— — JQ(Xp)dX;

Р• Щ +Т1\ По

dg{R) \z=o=~ ~ — г^о(Р)-----—1 ] {Щ ^ J0(Xp)XdX ;			(1.27)
9z	£!+1	£, + 1J 77, + £|TJ0

*?0 =л/я2 —1; т?= л/я2 —£,

Особенности подынтегральных функций, зависящих от параметров среды, и быстро осциллирую­ щий характер бесселева ядра интегралов в (1.27) делает невозможным их непосредственное численное интегрирование.

Выделим подынтегральные функции Р(Х) = (ri0 - ц,)/{щ + rj,) и Q(X) =£\Щ +Т}{, в которых отметим наличие точек ветвления А, = 1, X? = ^£\ и точки полюса Q(Xn) = 0 . Для первого интеграла в (1.27) по­ дынтегральная функция Р(Х)/щ имеет особую точку А,, а в точке Х2 - разрыв первой производной. Для

второго интеграла в (1.27) подынтегральная функция имеет особую точку А,,. Для численного интегри­ рования необходимо выделить особые точки подынтегральных функций.

Используя известный прием, для первого интеграла из (1.27) получим:

[p(X)— j 0(Xp)(/x = [ Р(Я)Я				P(A])j Q(Xp)dx-+p(xl) \ J°^Xp)dX .
{	Ъ	Jo	"о	{ По

В первом интеграле подынтегральная функция является непрерывной и ограниченной, допускаю­ щей численное интегрирование, второй интеграл вычисляется как табличный [10]. Особенность типа полюса в точке А,, выделяется таким же образом. Однако, прямой необходимости в этом нет. Для функ­

14

Теоретические сведения для анализа микрополосковых антенн

ции Q(X) значение полюса Я„ является иррациональным числом. Это число содержится в памяти ЭВМ в

приближенном виде, что связано с представлением рациональных чисел и ограничением длины разряд­ ной сетки машинного слова. Поэтому при вычислении с обычной точностью происходит регуляризация функции в точке полюса.

В результате, приходим к интегралам вида

ОО

/(p ) = J <p(X)J0(Xp)XdX,

о

где (р{Х) - непрерывная ограниченная функция.

Более того, <р(А) является гладкой монотонной функцией всю­ ду, исключая небольшой отрезок, на котором расположены точки

ветвления и полюса. Представим ср(Х) =<р{(А) + <р2(А), где

«р,(А =	<КА)-<р(Ао),	Я - Д° ;	<р2(А) = {<Р(До)’
	О,	А>Ао;	^ } 1<р(А), A > V

Рис.10. Криволинейный полосковый излучатель

Выбирается значение Ао > А,,,, где А™- наибольшая особая точка на отрезке интегрирования. Тогда несобственный интеграл из (1.28) принимает вид:

ОО Л ф оо

|<р(А)У0(Ар)Ас/А= |		<р, (А)У0 (Ар)А</А + J<p2 (A)J0 (Xp)XdX .	(1.29)
о	о	о

Первый интеграл можно вычислить с использованием квадратурной формулы Гаусса при сравни­ тельно небольших значениях р, которая применяется на отрезках, содержащих четное число нулей функции Бесселя Jo(p). Другой способ состоит в построении интерполяционного многочлена для функ­

ции <р,(А). Тогда интегрирование на отрезке интерполяции сводится к вычислению табличных интегра­ лов при непосредственном интегрировании степенного многочлена и функции Бесселя. Этот способ

удобен при небольшом отрезке интегрирования.

Для вычисления второго интеграла в (1.29), /(р) при р < р0, где р0 - некоторая заданная величина,

поставим вопрос о приближении функции фг(А) в классе функций, для которых функция 1(р) финитна в пределах полосы 0 < р < р0 . Функции такого рода существуют и принадлежат классу Wa,a < p 0.

	Проводя построение интерполяционного многочлена в этом классе для функции <рг(А) и учитывая
ее	асимптотику	<p2(A) = 0(l/A m),	X —>°°,т>2	получаем	квадратурную	формулу
	к
/(р ) = Д ]> > 2 (A* )JQ(Xkp)Xk + Rk (<р), р < Ро, где Хк = кА ; Д = n ja ; Rk (<р) -					остаточный член.
	к=1

Для среднеквадратического приближения 8к > Rk имеем оценку <5* (<р) < ДИ - » -

Для заданных 6к ,р 0 данная оценка позволяет подобрать величину А =я / р0 , К и А=КА, где А -

величина, ограничивающая верхний предел интегрирования в (1.29).

1.5. Интегральные уравнения для тока криволинейной микрополосковой антенны

Рассматривается антенна в виде криволинейной микрополосковой структуры, представляющая со­ бой тонкие ленточные проводники S^p (рис. 10), расположенные на одной из границ плоской слоисто-

15

Теоретические сведения для анализа микрополосковых антенн

однородной среды. Среда моделирует свойства подложек и укрытий антенн, и характеризуется парамет­ рами e(z), o(z), /то. Среда может содержать в качестве граничного слоя абсолютный проводник. Ленточ­ ные проводники Suр характеризуются образующей в виде кусочно-гладкой кривой £ и имеют ширину 2d,

k o d « l, к0=2л/Л, где Я - рабочая длина волны.

Геометрия проводников описывается ортогональной криволинейной системой координат (5, v) с ко­ эффициентами Ламе h\,h2соответственно. Вход антенны представим в виде зазора (щели) в полосковой структуре 51|р с размерами 2b, k0b « 1. К кромкам щели приложена разность потенциалов U, которая создает первичное поле Е° Под действием первичного поля на полосковой структуре 5мр антенны наво­

дится поверхностный ток j(M0), М0 е 5пр . Поле (Е ,Н ), создаваемое этим током, будем характеризовать векторным А и скалярным Ф потенциалами. Векторный потенциал А для тока j(Af0), М0 е Snp , в слои­

стой среде представим, как в (2.4), в виде

A(M) = - ^ f f j ( M 0)G(M,M0)d(7Mo,	(1.27)
-*пр
где М, М0 - точки наблюдения и истока;	G (M ,M 0) - тензорная функция Грина слоистой среды (1.8) с

элементами G0(M, М0), g(M, М0), G\(M, М0).

Скалярный потенциал Ф связан с векторным потенциалом А условием калибровки (1.2). Для векто­ ров поля (Е,Н) имеем соотношения (1.1) или (1.3). Поле (Е,Н ), определяемое указанными соотноше­ ниями, удовлетворяет системе уравнений Максвелла, граничным условиям на границе раздела сред и условию излучения на бесконечности, что обеспечивается выбором элементов тензорной функции Грины G (M ,M 0) Условие на проводнике Е, = 0 и условие на ребре проводника iS„p выполняются далее при

выводе интегральных уравнений и конструировании решения задачи. Для узкого ленточного проводни­

ка Slip при k0d « 1 ограничимся представлением тока в виде j(M0) = s°j s (M0), М0е Snp.
Потребуем выполнения граничного условия
(E + E°,s° ) = 0, М е д ,	(1.28)

где s° - единичный вектор, касательный контуру £ проводника Slip(см. рис. 9).

Для указанного тока, рассматривая поле в ортогональной криволинейной системе координат (s,v, z).

определим компоненты потенциала А = (А5, А,,,А .) в виде:

Ы М ) =^ \ 1 м М 0)(*0,4 ) в 0(М ,М о№ и0;

*^пр
AV(M) = - ^ - J J y s (M0)(v°,s°)G0(M,M0)^aWo;			(1.29)
*^пр
АГ(М) = — jj j s (М0) Vs	„очЭ£(М,М0) / 0 0	dg(M,M0)	da Mo
	----- ;—;--------VV iS0J-	hi9dv
С	Ihds
°пр

При выводе интегрального уравнения для тока j s(M0), М>е 5пр, узловым моментом является инте­

гральное представление скалярного потенциала Ф. Определим последнее.

16

Иш h\dsM

Теоретические сведения для анализа микрополосковых антенн

Представим, что точка наблюдения М не лежит на полосковой структуре, М е 5пр. Подставив (1.27)

в (1.28) и с учетом (1.29) получим

Ф(М)=	4^	Я M[lSWo)G(M,M0)]doMo, m t G(MMo) =G0{M,M0) + — Md’zMo) •
		^пр
Используя формулы векторного анализа, это выражение можно преобразовать к виду
^ M ) =- ^ — ^ j s (M0)g^dXMG(M,Mo)d(yMo ,			(1.30)
		*^пр
где gradx -	операция для координатной плоскости (s,v).
Для выражения (1.30) возможно дальнейшее преобразование. Функция			G(M,M0) зависит от рас­
стояния рММо и справедлива замена gradwG(A/,M0) = -gradA/oG(M,A/0).
Тогда из (1.30) получим:
Ф(М) =		5(М0JJj )grad1WoG(MMo )doMo	(1.31)

^пр

Подставим (1.31) и (1.27) с учетом (1.1) и (1.29) в граничное условие (1.28). Из непрерывности функции Е следует, что при М —>q составляющая поля (E,s°) должна стремиться к своему предельному

значению. Тогда для указанной составляющей получим уравнение:

snp	1 м°	s„p		-	(1.32)
- k 2JJy5(Mo)(s0,s°)Go(M,Mo)^aW = -/4дй>е(Е0,80).
^пр
		^	м	)
Элементы тензорной функции Грина G0(M,Mo) , ——			— — , которые входят в ядра уравнения (1.32),

OZ

зависят от расстояния р ММй (рис. 10) и при М —>М0 имеют особенность, порядок которой, как следует из п. 1.2, равен о(|/ рШ о), рММо -» 0 .

Дифференцирование под знаком интеграла по направлению приводит к сильной особенности ядра, порядок которой равен O^l/р 2мм0), Рмм0 >0 • Таким образом, уравнение (1.32) является сингулярным

интегральным (интегро-дифференциальным) уравнением относительно тока jsiMo), М0е 5пр. Численное

решение уравнения требует разработки специальных алгоритмов [4].

Рассмотрим способ, который состоит в преобразовании интегро-дифференциального уравнения к дифференциальному, разрешимого в квадратурах, с последующим выделением интегрального уравне­ ния. Этот способ позволяет получить интегральное уравнение Фредгольма первого рода [5] для тока на ленточной структуре Snp, которое удобно для численного решения.

Используя представления (1.30) и (1.27) с учетом (1.1) и (1.29) в граничном условии (1.28), для со­ ставляющей поля (E,s°) получаем уравнение (Л|,/i2=const):

17

Теоретические сведения для анализа микрополосковых антенн

lim hxdsM ^ JJл (^ o)(s^ S o)G (M ,M oV aл/o+ ^ - J ' J y s (Mo)(v^S0)G(M,M0) ^ Wo

*np

+k2JJJ'sW o )(s°,sl)G0(M,M0)daMo =-i4ncQ£(E° ,s°).

°np

Переходя к пределу в этом равенстве при обозначениях dl=h\ds, dt=h2dv, получаем обыкновенное

дифференциальное уравнение второго порядка:

	о _0^dg(M,M0)'-doMo -i4moe(E°,s0) -
[^■+ ■к2)Яjs(M 0)(s°4)G(M,M0)doMo =к2JJ j s (M0)(s°,sg)-		dz
5нр	^пр	(1.33)
"э1гЯjs (Mo)(v°,s0o)G0(M,Mo)<iO\f0,	M s f .
°пр

Решение этого уравнения можно получить, используя формулу обращения для выделенного диф­ ференциального оператора из [6]. В результате имеем интегральное уравнение

JJjs(M 0)K(M ,M0)daMo =г— J£°(tOsinfc|/ -м| + С, sink! +С2 coski,		M s g ; M0s S np,	(1.34)
°пр
с ядром вида
К(М,М0) =(s°,s°) G0(M,M0) + dg(M,M0j	\(S°U, sO ) M ^ o ) sin *|/ _ u\du _
dz
- ^ J Sig n (/-« )c o sM /-» )|/t,(S»>sg)^ o(M u,Mo) + ^	^ Mo)j + (v °,sg )|-	G0(MU,M0) + 9g(M,„M0)
			dz
			(1.35)

dg(M Mn)

Элементы Go(M, Mo), ———2— 2 -, входящие в ядро (1.35), при M—>MQимеют особенность (п.1.2), поряdz

док которой равен 0(l/Рмм0)> Р —> 0 . Эта особенность ядра определяет уравнение (1.34) как интеграль­

ное уравнение Фредгольма первого рода для тока jsiM0), М0 s S„p. Коэффициенты С\ и С2 в (1.34) нахо­ дятся из дополнительных условий для тока на концах ленточного проводника S,v.

Интегральное уравнение (1.34) используется для анализа микрополосковых структур постоянной кривизны, к которым относятся линейные, кольцевые и эквиугольные структуры. Используя комбина­ ции фрагментов такого вида, можно составить весьма произвольные структуры. Представим, что струк­ тура 5„р антенны состоит из двух элементов различной кривизны. Тогда указанным способом можно по­ лучить систему двух интегральных уравнений для токов этих элементов, которая содержит четыре неиз­ вестных коэффициента, число которых уменьшается до двух, если учесть непрерывность скалярного по­ тенциала в месте соединения элементов.

Обозначим интегральное выражение в левой части равенства (1.33) как £/(/), а правую часть этого равенства - как F (/) . Из соотношения (1.2) для скалярного потенциала Ф, принимая во внимание обо­ значения (1.29), следует dU/dl = -/<вец0Ф Используя формулу обращения для дифференциального опе­

ратора в (1.33), получаем для одного элемента с образующей £ равенство

18

Теоретические сведения для анализа микрополосковых антенн

= —JF(t, )sign(/ - В,)cos k(l - £)d% +Q k cos kl - C2k sin kl

c

Аналогично определяется величина dO/dl для другого элемента g ленточного проводника 5„р. Из

равенства этих величин в месте соединения элементов, а также равенства токов, получим систему двух алгебраических уравнений относительно двух неизвестных коэффициентов. Остальные два коэффици­ ента определяются из дополнительного условия, выражающего поведение тока на концах проводника

Sup. Численное решение интегро-дифференциального уравнения (1.32) и интегрального уравнения (1.34)

связано с вычислением поверхностного токау\,{М0), М0 е 5пр.

Задача существенно упрощается, если в приближении узкой ленточной структуры 5„р при k d « 1

указанные уравнения преобразовать к одномерным уравнениям. Для этого введем понятие полного тока

j	d
как интегральной характеристики поверхностного токаj s по формуле /(/) = —	j s (l,t)dt Распределение

п J -d

поверхностного тока js для ленточного проводника 5„р определяется его особенностью на ребрах ленты. Отсюда следует представление:

js (l,t) = I ( l) /jd 2- t 2

(1.36)

Численное решение интегрального уравнения (1.34) предполагает его дискретизацию и сведение к

системе линейных алгебраических уравнений для тока на ленточной структуре 5пр.

Обозначим размер Д=шах{/г, 2d}, где h -	шаг дискретизации. В силу особенности ядра (1.35) при
Рмм0 < А его можно представить в виде:
~'кРММо
К(М ,М 0) = А -----------+ Р(М,М0),	(1.37)
Рмм0

где ДМ, М0) - регулярная функция.

При рММо > А функция К(М, М0) является регулярной. Далее используем дополнительные предпо­

ложения. Для величины рММо (см рис. 10), Me £, М0е				5пр, при условии kd «	1 ( t « 1) можно выделить
разложение рм щ	t2			п —
	- р 0 = v°t + s° — + ..., и принять рмщ			= y jp i + t 2 + 0(t2), t - * 0 .
	е-'РА/Мо	e -'Po	(1 + ip0 -	Г— ----- --	M ,M eg
В результате получим---------- =		.		p l+ t2) + o(t2), / —> 0;
	PMM0	yjPo+t2

Указанные предложения позволяют провести интегрирование ядра в (1.34) по одной из переменных t с весом l/\jd 2 - t 2 , например, по квадратурной формуле Эйлера с одним узлом. В результате получим одномерное интегральное уравнение для полного тока 1(1) на ленточных проводниках антенны. Пред­

ложенный вывод применим и для интегро-дифференциального уравнения (1.32), если рассматривать предельный переход на шаге дискретизации уравнения.

Полученные одномерные интегральные уравнения рассматриваются далее применительно к виду анализируемых микрополосковых антенн.

19