книги / Механика деформирования и разрушения горных пород

Энергия Пк, расходуящаяся на создание динамических эффектов разрушения, связанных с высокими скоростями деформации и колебательными процессами в системе нагру­ жающее устройство — образец после разрушения образца, соот­ ветствует площади ВСД

Пк = 0,5{Ррл, - Р о„)М о„.

В точке Д нового устойчивого равновесия в системе сохраняется запас энергии П°ст, складывающийся из упругой энергии, оставшейся в образце и в нагружающей системе (площадь НДК)

П уСТ= 0,5 (А/у + Д/нс )PQCT/Рраз.

Диаграммы Р — А1 для образцов различной длины (см. рис. 3.23) отличаются друг от друга, что сказывается на эффекте динамичности разрушения. Образец, длина которого меньше hKр имеет пологий модуль спада. Это свидетельствует о наличии энергоемкости запредельного деформирования П3 (площадь

FBCS).

При длине образца, равной /?кр, энергоемкость П3 равна нулю. Во втором случае процесс разрушения полностью обеспечивается собственной энергией материала образца и про­ текает с большим эффектом динамичности. При длине образца больше hKp выделение энергии П к происходит как из нагру­ жающей системы, так и из самого образца, что усиливает динамический эффект разрушения.

Общий баланс энергии выражается уравнением

Пу + П н = П раз+ П т + П к + П уСТ

Рассмотренный баланс и формулы для определения со­ ставляющих справедливы и для случая разрушения образцов при низких боковых давлениях, когда наблюдается разрыхление по всему объему образца. Единственное отличие заключается в том, что процентное соотношение между составляющими баланса энергии в этом случае не зависит от длины образца.

При одноосном сжатии энергоемкость запредельного дефор­ мирования П3 в условиях неуправляемого динамического разрушения отличается от энергоемкости, полученной в режиме жесткого нагружения при медленных скоростях деформации. В случае объемного напряженного состояния скорость дефор­ мации также влияет на энергоемкость разрушения. Поэтому при расчете баланса энергии необходимо пользоваться экс­ периментальными данными, полученными при соответству­ ющих режимах испытания.

С целью изучения влияния скорости деформации на остаточ­ ную прочность были проведены дополнительные эксперимен­ тальные исследования. Образцы в условиях объемного напря-

Рис. 3.24. Диаграмма	напряже­
ние—деформация,	полученная

при переменном скоростном ре­ жиме деформации на участке остаточной прочности

женного состояния в режиме жесткого нагружения при скорости деформации с-1 доводили до выхода на остаточную прочность (точка А на рис. 3.24) затем осуществлялся дина­ мический режим деформирования = 10“2; 10“ '; 10° с-1). С увеличением скорости деформации наблюдался рост остаточ­ ной прочности. После прекращения динамического воздействия сопротивляемость образца на остаточной прочности возвра­ щалась к первоначальному значению. Чем выше скорость деформации, тем больше сопротивляемость сдвигу по плос­

кости разрушения. В	исследованном диапазоне скоростей
(ët = 10-5 —10° с-1) связь	между скоростью деформации и со­

противляемостью линейна. Подобные эксперименты были про­ ведены при различных уровнях бокового давления (табл. 3.5).' Эксперимент показал, что влияние скорости деформации на значение остаточной прочности с ростом бокового давления

Т а б л и ц а	3.5
П о р о ла	Боковое	давление	С к о р о с т ь деформации		Остаточ ная	проч­
	ст2.	М П а	lgE|,	с ~ (	ность т,	М П а
Мрамор	0,1		1 0 " 5		10
	0,1		1 0 " 1		15
	1		1 0 ‘ 5		20
	1		1 0 " 1		26
	10		1 0 ' 5		56
	10		1 0 * 1		68
	21		1 0	“ 5	80
	21		1 0 " 1		102
Песчаник	0,1		Ю " 5		9
	0,1		1 0	“ 1	18
	5		1 0	“ 5	4 4
	5		1 0	" 1	62
	10		I 0 " 5		71
	10		1 0	” 1	94
	21		1 0 ~ 5		100
	21		1 0 “ 1		136

увеличивается. На мраморе прирост прочности, вызванный

увеличением	скорости,	при а 2 = 0,1 МПа равен	5 МПа, а	при
а 2 = 21 МПа	составил	22 МПа. На песчанике	при тех	же

значениях бокового давления прирост прочности соответственно равен 9 и 36 МПа.

По результатам этих экспериментов построены паспорта максимальной и остаточной прочности в координатах 1пт —с, где т = 0,5(а! —ст2). Паспорта максимальной и остаточ­ ной прочности, полученные при высокой скорости деформа­ ции, располагаются выше и параллельно соответствующим паспортам, полученным при медленной скорости. Точка пе­ ресечения паспортов максимальной и остаточной прочности в динамических опытах сместилась влево. Это говорит о том, что условия, при которых наступает чисто пластическая деформация, при динамическом течении процесса достигается при меньших значениях параметра с, в отличие от статической скорости деформации. Подробно этот вопрос рассмотрен в разд. 2.

Таким образом, энергоемкость сдвига одной части матери­ ала относительно другой по плоскости разрушения в условиях объемного напряженного состояния, также как и энергоемкость самого разрушения, существенно зависит от скорости протека­ ния этого процесса, что необходимо иметь в виду при определении баланса энергии процесса неуправляемого дина­ мического разрушения.

При динамическом неуправляемом разрушении в условиях объемного напряженного состояния баланс энергии существенно отличается от результатов, полученных в условиях одноосного сжатие. Эти различия заключаются в следующем:

Разрушение не сопровождается разлетом осколков, поэтому в балансе отсутствует соответствующая доля энергии.

Вследствие сохранения остаточной прочности, обусловлен­ ной силами трения между частями разрушенного материала, значительная часть энергии, которая может достигать десятков процентов, переходит в тепло (Пт). При одноосном сжатии эта доля составляет менее одного процента.

После процесса разрушения в. системе пресс-образец со­ храняется упругая энергия П°ст за счет остаточной прочностй материала.

Количество энергии Пк, высвобождающейся в виде динамических эффектов, определяется не только энергией запасенной в нагружающей системе, но и упругой энергией

самого образца- При определенных уровнях бокового давления, когда раз­

рушение материала происходит по одной плоскости, процентное соотношение между составляющими баланса энергии зависит от длины испытываемого образца.

3.6. МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА ДЕФОРМИРОВАНИЯ ГОРНЫХ ПОРОД С УЧЕТОМ НЕОДНОРОДНОСТИ ИХ СТРУКТУРЫ

Горная порода представляет собой сложную неоднородную среду, состоящую из структурных элементов (зерен) с от­ личающимися друг от друга физическими и механическими свойствами, и цемента, заполняющего пространство между ними. Экспериментальные исследования показывают, что гор­ ные породы разделяются на мономинеральные и полиминеральные по количеству входящих в их структуру минералов. К мономинеральным относятся, например, мраморы, галиты,

ак полиминеральным—диабазы, песчаники и другие породы.

Вработе [32 ] приведены петрографические исследования закономерностей распределения структурных элементов ряда

горных пород. При этом получено описание структуры пород и установлена количественная оценка размеров зерен и их

числа в	зависимости от типов	пород.
В результате исследований у разных пород выявлен раз­
личный	характер распределения	.числа зерен в зависимости

от их размеров. При этом у мрамора и диабаза диапазон •изменения размеров зерен оказался довольно узким: они изменяются не более чем в 2—3 раза. Малый размер зерен установлен у выбросоопасного и кварцевого песчаников. Очень большой разброс размеров зерен выявлен у каменной соли, диаметр которых для Старобинского месторождения изменя­

ется	в 30 раз, и для каменной	соли	из Средней Азии — в 20
раз.	Сильвинит, в основном,	дал	разброс зерен сильвита

и галита примерно в 10 раз.

Структура горных пород по сравнению с другими матери­ алами, например металлами, обладает существенно большей неоднородностью. Это обстоятельство сказывается на процес­ сах пластического деформирования горных пород, которые по сравнению с соответствующими процессами для более однородных материалов, в частности металлов, имеют ряд особенностей.

Основными из них являются пластическая дилатансия горных пород и деформационное разупрочнение в области запредельного состояния.

Описание физических явлений при пластическом дефор­ мировании горных пород с использованием модели однородной сплошной среды вызывает определенные трудности. В связи с этим представляется естественным при построении моделей сред горных пород учитывать неоднородности их структуры.

При моделировании горных пород последние рассматрива­ ются в виде совокупности структурных элементов в форме зерен, каждое из которых обладает однородными реологичес­

кими свойствами. Пространство между структурными эле­ ментами заполнено изотропным однородным материалом (цементом).

Построению моделей сред на основе известных реологичес­ ких свойств элементов, структуры и закона связи между элементами посвящены работы по теории пластического дефор­ мирования поликристаллических сред, структурному модели­ рованию и др. Недостатком этих моделей является введение некоторых допущений и гипотез, которые не отражают ре­ альные процессы деформирования горных пород.

Современные исследования физики неупругого поведения материалов показывают, что явления, наблюдаемые при дефор­ мировании поликристаллов и других неоднородных матери­ алов, могут быть качественно объяснены с помощью введения микронапряжений, возникающих в структурных элементах.

Основная идея этих работ по учету структуры материалов использована при построении моделей горных пород.

При построении моделей горных пород в качестве основной гипотезы использовано допущение о непрерывности напряжений и перемещений между элементами среды. На первом этапе ввиду значительных математических трудностей при рассмот­ рении объемного напряженного состояния ограничимся ана­ лизом плоского деформирования.

Горные породы содержат в себе зерна, конфигурация, размеры и реологические свойства которых различны в одном и том же типе пород. Кроме этого, свойства материала существенным образом зависят от способа расположения структурных элементов, т. е. от их «упаковки».

При построении моделей горных пород вводится пред­ положение, что горная порода состоит из упругих и пластичес­ ких элементов длиной /, которые чередуются друг с другом, например, в шахматном порядке. При этом возможны раз­ личные «упаковки» элементов.

Рассмотрим неоднородную плоскость (рис. 3.25), которая сжимается на бесконечности (a v = a 2, a y = Oi). В начальный момент времени среда деформируется в рамках закона Гука, при этом пластические деформации отсутствуют. Обозначим через а угол между системой осей возможной пластической деформации в пластическом элементе и осями ориентации элементов. При росте интенсивности касательных напряжений в пластических элементах появляются пластические дефор­ мации, развитие которых приводит к накоплению микронапряжений, экранирующих внешние усилия и препятствующих дальнейшему развитию пластической деформации. В микромас­ штабе это явление соответствует упрочнению материала.

При дальнейшем росте	внешних усилий микронапряжение
в пластических элементах	настолько возрастает, что это

l

l

l

l

l

l l l l l l i l

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

Рис. 3.25. Расчетная

схема:

1— полоса скольжения:

2 — упругопластический

элемент;

3 — трещина

приводит к разрыву связей между отдельными структурными элементами (зернами), т. е. к образованию трещин. С помощью теории дислокации было установлено, что при пластической деформации растягивающие напряжения концентрируются в уг­ лах квадратной сетки, образованной пластическими элементами (см. рис. 3.25).

При построении модели предполагается, что трещины развиваются в одном наиболее благоприятном направлении,

вданном случае вертикально. Заметим, что появление трещин приводит к ослаблению мйкронапряжений в пластических элементах, в результате чего происходит дальнейшее развитие пластической деформации.

Пластическая релаксация наступит тогда, когда длина трещины достигнет значения 2 (1 —tga). В процессе роста трещины при достижении ею размера пластического элемента происходит нарушение связности среды, которое соответствует

вмакромасштабе разделению тела на части.

Решение задачи о равновесии пластического элемента в уп­ ругой среде показало, что касательные напряжения, усреднен­ ные по различным площадкам скольжения, незначительно отличаются друг от друга. Вследствие этого в качестве меры

напряженного состояния пластического элемента принимаются средние касательные напряжения по какой-либо одной фик­ сированной площадке. Условием перехода элемента в пласти­ ческое состояние принимается равенство среднего касательного напряжения на площадке значению фиксированной константы,

называемой	пределом пластичности тп.
В качестве условия роста трещин принимается критерий
Гриффитса	К{= Л^пр, поскольку	значения вязкости разрушения
для многих	материалов и ряда	типов горных пород найдены.

В модели предполагается, что трещина находится в критичес­ ком состоянии, т. е. с увеличением нагрузки она непрерывно растет. Поскольку среда находится в условиях сжатия, то рост трещины устойчивый. При дальнейшем росте напряжения Gi трещина достигает критической длины, при которой напряжение на ее продолжение становится сжимающим и даль­ нейший рост трещины прекращается.

В качестве условия возникновения трещин в среде можно принимать Достижение средними растягивающими напряжени­ ями на площадке предельного значения а р. При. этом трещина будет расти, если растягивающие напряжения, усредненные на ее продолжении, превысят значение а р. Можно показать, что оба критерия будут эквивалентны, если промежуток усреднения мал по сравнению с длиной трещины.

Напряженное состояние модели представляет собой линей­ ную комбинацию трех состояний: системы пластических элемен­ тов в упругой среде, трещин разрыва и совпадающих простран­ ственно с ними трещин сдвига, на которые наложено упругое поле внешних усилий. Для каждого из таких состояний выполняются уравнения равновесия, условия совместности деформаций и граничные условия. Определение напряжений и перемещений производится отдельно для каждого состояния. Полученный при этом набор состояний называется нормирован­ ным. Коэффициенты в линейной комбинации находятся с по­ мощью уравнения равновесия берегов трещин для растягива­ ющих и касательных напряжений и условия пластичности. Эти коэффициенты обозначаются через 1П, 1р и 1с и называются интенсивностямиПри этом, поскольку число нормированных состояний ограничено, то вышеуказанным условиям можно удовлетворять только в среднем.

Для полного описания состояния модели необходимо кроме интенсивности также указать ее механическую конфигурацию, так как трещины могут быть различной' длины и находиться в открытом состоянии или в закрытом.

При рассмотрении модели среды можно выделить следу­ ющие четыре возможных состояния.

Линейная упругость. При этом значения коэффициентов интенсивности равны нулю (1п = 1р = 1с = 0).

Упрочнение среды. В пластических элементах в этом состо^йии происходит развитие деформаций (1пт*0), вызывающих упрочнение материала. Трещины в среде при деформировании материала не образуются, вследствие чего 1р = 1с = 0.

Состояние горных пород с образованием открытых трещин.

На участке деформированного разупрочнения материала при дальнейшем увеличении нагрузок, согласно результатам экс­ периментальных исследований, происходит развитие процессов разрушения среды. При этом в материале образуются трещины отрыва и совпадающие с ними пространственно трещины сдвига. Вследствие этого коэффициенты интенсивностей 1п, 1р, 1С отличны от нуля.

При образовании в материале закрытых трещин коэффициент интенсивности 1р = 0, а 1п и 1с отличны от нуля.

Перейдем теперь к построению уравнений математической модели.

Условие равновесия касательных напряжений на полосе скольжения определяется соотношением

- I	nt n ( /) + I PTp ( /) +	I c T; (/) + t H = Tn,	(3.28)
где / — параметр,	/е [ д ,/>]; т' (/),	т’ (/), т*(/) — соответственно

компоненты напряжений, возникающие в среде в результате действия пластических деформаций, а также растяжения и сдви­

га; тн — сдвиговая нагрузка	на полосе скольжения,	образующа­
яся в результате действия	внешних напряжений	a j и а 2,
т„ = 0,5 (а2 —а ! )sin 2а.		(3.29)

Так как при построении модели рассматриваются значения средних напряжений и деформаций, то применим операцию усреднения

к уравнению (3.28)

IП "Ь IР “t” I С “Ь =

(3.30)

где

h

а

Составляя аналогичным образом уравнения равновесия на берегах трещины для растягивающих Рп, Рр, Рс и касательных напряжений /п, /р, /с и записывая их вместе с уравнением (3.30), получаем систему линейных уравнений для определения

коэффициентов 1П, 1р и 1с:		'
1п/5п'-1р/>р = /5„;		(3.31)
1п^П	^н■>

где Рп, Рр, Рс — соответственно средние растягивающие напря­ жения на трещине, образованные системой пластических элеме­ нтов, системой трещин отрыва и системой трещин сдвига; /п, гр, гс — средние сдвиговыечнапряжения на трещине, образованные вышеуказанными системами дефектов; Рн, /н — компоненты внешней нагрузки на трещине, определяемые по формулам

PH= o 2cos2Р+ ст! sin2 Р;		/н = 0,5(а2 —ai)sin2p,
где Р— угол	между осями GI	и а 2	и осями ориентации
пластического	элемента.		напряжения Кх через
Выразим коэффициент интенсивности

интенсивности 1п, 1р и 1с. Предположим, что напряженное

состояние		в плоскости	с	периодической системой			трещин
Может быть		описано с	помощью		функции
	ф (z) = 1пфп (z)+		1 р Е ФГ (Z ) +		Ic Z ср? (- ) + ф" (z),		(3.32)
где фп(г),	ф“ (г) — соответственно				функции для пластических
элементов	и	внешних	усилий; фР("),			ф ■(г) — соответственно
функции для		/-й трещины		разрыва и		сдвига и как	числа 1п,

1р, 1с подлежат определению из условий равновесия на трещине и условия пластичности в пластическом элементе.

Заметим, что	в	силу	периодичности системы	трещин,
функция
		cpr(z) = (p8(r-zi)		(3.33)
периодическая и непрерывна всюду, кроме /-й трещины.
Можно показать, что на удалении от точки				г, на 0,5
длины трещины	имеет место оценка
		ф 'р(-)^ф?(г),		(3.34)
где ф?(г) — решение		для	трещины, раскрытой постоянным

напряжением, равным среднему напряжению для функции фГ(") на l-й трещине.

Тогда напряжение, появляющееся в результате воздействия /-й трещины на j-ю, может быть заменено постоянным напряжением, равным среднему Р°

а,-	Рассмотрим		баланс		растягивающих напряжений		стп, ст0,
	на одной	из	трещин Р„:
				InCT„-IpK + SCTI-)+PH= 0,			(3.35)
						I/о
где	стн — проекция			внешней		нагрузки.
	Тогда с учетом оценки					(3.34) имеем
				1пап-1 р (ао+ Е а?) + Рн = 0.			(3.36)
						Wo)
	Из уравнения		(3.36)		найдем
				1рСТ0 = 1па п + / \ 1-Д Л р,			(3.37)
где	Д/>= Е а „	при		1Ф0.
	X
	Отметим,	что		если	условие (3.37) выполняется на		одной

из трещин, то в силу периодичности оно выполняется и на

всех	остальных.
Для нахождения неизвестных констант усредним уравнение
(3.37)	по трещине:
	1рР° = 1пРа + Р„-АР1Р.	(3.38)
Преобразуем уравнение (3.38) к виду
	1„Р„-1рРр+Ри = 0,	(3.39)

где Р° + АР=Рр.

Для нахождения коэффициента интенсивности К{ уравнение

(3.37) запишем так:
1р<т<,= 1пстп + Л ,-1р(Л ,-/>‘’;(.	(3.40)

Величина 1рст0 представляет собой напряжение, которое появляется вследствие раскрытия трещины. Поэтому интег­ рируя соотношение (3.40), получаем коэффициент интенсивности

1	/
		/4-Х
+1Л-1р(л>-п]У^		(3.41)

Выразив из уравнения (3.39) выражение 1пЛп зависимость для нахождения коэффициента интенсивности запишем в виде

*1 = 1, dx — PnS/n l + 1Р Ро- (3.42)

Формула (3.42) позволяет найти значение коэффициента по известным величинам 1п и 1р.