книги / Трехмерная теория устойчивости стержней, пластин и оболочек

ния корней /?*,'минимизированных по параметрам волнообразования т и л,

Ркр—Р Рэл, Рэя-

X - S -	(5.66)
V	i - b + v b - * .

находили при различных механических характеристиках материала и геометрических параметрах оболочки. При счете шаг по р* изменял­

ся в пределах 0,05...0,5 • 10-4 . Первоначальный шаг по р* выбирали

для фиксирования	перемены	знака	= 0,05;	0,01; 0,005)	и затем
уточняли значение корня, уменьшая шаг до 0,5 •				10-4. Шаг по т и п
принимали равным	единице.	Некоторые	данные	результатов	приве­

дены на рис. 31...33 в виде зависимости безразмерного параметра на­ грузки р* от величины R/2h, полученной по трехмерным линеаризи­ рованным уравнениям (сплошные кривые). На рис. 31...33 кривым /, 2, 3, соответствуют значения Е3Ю — E3/Gl3 = E 3/Gja = 5, 20, 50, 100; п — число волн в окружном направлении, а в скобках указано число полуволн вдоль образующей. Расчеты приведены для механи­ ческих характеристик, представленных в табл. 13.

Таким образом, погрешности классической теории, основанной на гипотезе Кирхгофа — Лява, для толстых оболочек, как и при осесим­

131

метричных деформациях, являются существенными. Однако для сравнительно тонких (2h/R < 0,02) стеклопластиковых оболочек эти погрешности не превышают 10%, что позволяет использовать в инже­ нерных расчетах результаты, полученные на основании гипотезы Кирхгофа — Лява.

								Таблица 13
Номер ри­		Е ./Е ,	Е ,/0 „		vu		v„	vM
сунки
31	0,100	0,28	9,30		0,22		0,35	0,30
32	0,025
33	0.100	1,00	2,50	|	0,20	||	0,20	0,25

Заметим, что критические нагрузки, соответствующие неосесим­ метричной форме потери устойчивости, для рассмотренных механиче­ ских и геометрических параметров по классической теории меньше, чем аналогичные величины при осесимметричных деформациях. Для рассмотренных диапазонов изменения механических и геометрических параметров здесь реализуется неосесимметричная форма потери устой­ чивости.

§ 40. Сферические оболочки

Рассмотрим устойчивость сферической оболочки толщиной 2h и радиусом срединной поверхности R, находящейся под действием равно­ мерно распределенного наружного давления q. Предположим, что материал оболочки является трансверсально-изотропным относитель­ но плоскостей (0, ф). Ограничимся случаем осесимметричных деформа­ ций. Тогда трехмерные линеаризированные уравнения в перемещениях для второго и третьего вариантов теории малых начальных деформаций имеют вид (2.65) при условии (2.66).

Выбирая решение уравнений (2.65) для второго варианта теории ма­ лых начальных деформаций (6 = 1) в виде (2.67), приходим к системе

двух обыкновенных дифференциальных уравнений с переменными ко­ эффициентами:

eh, + A ) ^	+ ( i t a B + s A +	, < . ) J . i ^ a . +
+ 12 (с12 — Огг — агз — стае) — п (п +		1) (G12-f- аее)1 -jr tin (г) +
+	» ( " + ! ) (fln + <?и) 4	+

+ * ( * + ! ) («л— «гг— «гз— 0и — 2аее) —■vn (г) = 0; (5.67/

132

<а' ' Gl2)	г		+		623 +	2 Gn		-f- 2 стее) А		и„ (г) +
+ 1б 12 + А ) ~ ЦгъГ)- +			(<*22 +		О0о)(1 —		п	—	п 2) -JT	Vn {Г) +
+	(2G1! +	2	^ +	^	- )	f ^	>		_ -
	— (а.а +	2Gn +		аоа) A		vn (г) =			О.

Докритическое напряженное состояние определим по формулам [108]:

Огг = а1г"1-ч> + а2г~т- ‘^,

сан = сГфф= Хта1гт~г/*

’(5.68)

0%= Опр=СТОф — 0,

д _

g(fl + ft)01+v»

, .

_

q(R —h)2m (R+ h)m+'7*

1

(R+ h)2™- ( R

- h f 1’

^

(R

h)2"1— (R—h)2m

*

/

1

,

2 (д22 -f- а2а

д12Г .

^

=

a*i+ aw+ an(m ----^-)

^

4

он

*

m

i”1--- r ) + 2au

X—m ~

о22+ а«я —ач

( т

+

—

)

Из соотношений (2.10) и (2.37) с учетом выражений (2.67) выводим

граничные условия на сферических поверхностях г =

const:

{(0.1 + <Й)

+ a,s^

- 12«. М +

п (п + 1) »„ (Г>|}

=

0;

(5.70)

К

+ <&) ^ 0

. О* 4 - К

(г) +

»„ Ml}

=

0.

Переходя

в соотношениях (5.67)...(5.70) к переменной

х (г =

*= R (1 +

х),

решение системы

уравнений (5.67) в области I х I <

-щ-

можно представить в виде степенных рядов (2.68). (Если R — h <

г <;

< R + Л, то

—h/R < х < h/R). Тогда граничные условия (5.70) с

учетом решений (2.68) можно привести к виду:

,

2а12Ло” +

al2n (п + 1) Д Г +

(1 + е) [аи — Я) Л\п) +

2а1геЛ!п»+

+ а1йп (п + 1) еВ\п>+

£

{[к (1 +

е) (ап -

я) + 2а1ге] в * " ^ я) +

+

апп (п + 1) е5У,)}

== 0;

(5.71)

-

Gn (А[п) + В[п]) + [GM-

(1 + в) я)№ ~ С12еА'П +

+ f 2 {[feа

+

е) (G12- ? ) - eG12]

-

A V ( U =

0;

e = A .

133

Два других уравнения получаются, если в

(5.71)

положить

q =

0 и

изменить знак перед е на обратный.

Для определения постоянных АТ и ВТ

(ft = 2, 3, ...) имеем сле­

дующую систему рекуррентных соотношений:

k ( k - l ) [аи + q(s2 — Sl)] A T =

— 2о„ (ft -

l)2 A(T -, +

+ [2 (%, +

— aK) — flu (ft2 — 3ft +

2) +

n ш + 1) Glaj AT--.- —

— n(« +

1) (a12 +

GJS) (ft — 1) Bl£Li — n (n -f I) (ala (ft — 1) -f

+ <J12 (ft — 3) —

— Oojl

—

_

D4

(^ ~

P ) (A _ P ~

1 )'? (S^ m - i- “

Sl“ LP)+ ±)

+

+ 1 ‘ Й -

p -

» ? [ ( « + 4 - ) S.“L"L± + (m — r ) s* C

х

]

+

A—2

+ (л2 +

n +

2) q 2

( - XmSla^>

9 + b_ms2P'p>

3)

+

P=Q

2

n,+ ~

+ 2n(n+ l)q%

(—

з + X_ms2P(p> з )

(5.72)

P«=0

,n~ 2

,n+

7

ft (ft — 1) [Gla + q(s2 — Sl)] B T = (a12 +

G12) (ft — 1) A£L}+

+ [(an +

C12) (ft -

2) +

a,, +

a23 +

2Gla) A i% ~2G n (ft -

l)2

+

+

l M 3 f t — ft2) +

eM (n2 + n — 1) + a 23] 5Й1а -f-

+ 2<7 V 2 ( - XmSla{» з +

X_mSaplP)

з ) A

^ 3-

p=0

“ 2

m+ —

(f t- P ) ( f t- P - l) ( s 2P(p)

± — S1OC(P*

, ) BTp+

P=I

2

771"f*

9

+ , E ( S _ ' , _ , l [ ( * + T ) v £ . j . + ( » — t-) * C J ' f c - +

	+ n (Я +	1) ? i f (— W		P1	3 +	^ - ms2p(p’ 3 ) B T p-2,
	где	P=0			2	' " + T
		(1	+ e)w+V«
					S2 — S1 (1 ---б)2” ,
	1	(1 + e)2"* — (1 — e)2,n
	а величины o^1	и p f	p-e коэффициенты разложений соответственно
	функции i/x = (1 4- *)*		и у2 =	(1 +	*)-*	по степеням х (s > 0).

Из условия нетривиальности решений системы четырех алгебраи­

ческих уравнений	(5.71) формируется характеристический		определи­
тель	del l ooj = 0	(i, / = 1, 2, 3, 4),	(5.73)
где	а„ = / (<7, t, а „, Gla, п).

134

Из этого определителя в зависи-

Таблица

14

мости от числа

узлов п

искомой

формы равновесия при заданных

Упругие

постоянные матерна-

геометрических

параметрах обо­

лочки и от механических харак­

л

По2

теристик

материала

определя­

1414

ется

бифуркационное

значение

ьГь? чГ II

Я

параметра давления

q* = q/qbSi

>

(<7эл_

критическое давление,

по-

о.ОЮ

0,946

лученное на основании гипотезы

2,6

Кирхгофа — Лява).

1,0

0,3

В табл. 14 приведены некото-

рые

минимальные

значения

ве-

’

°>002

0.989

личины

q*, полученные при

ре­

шении характеристического урав­

0,5

20

од

0 002

нения (5.73),

в

зависимости от

геометрического параметра

е =

= h/R и механических харак-^

оболочки.

теристик

материала

сферической

На рис. 34 сплошными кривыми показаны зависимости параметра

q] =

q^/q^ (q

_

значение

критического

давления,

вычисленное

,

___________i___ _

на основании

изложенного

выше

подхода;

q3n— критическое давле­

ние, полученное в рамках гипотезы

,- А :

Кирхгофа — Лява)

от

параметра

тонкостенности е =

h/R для

раз­

личных

отношений

£ I /G12

при

Е/Е1 = 2,5 (£ = £ , =

Е3). Кривые

I, 2 ,3 ,4

соответствуют значениям

О

0.005

0.0Ю

0.015

параметра

£ Х/С1г =

2,

4, 10, 20.

Штриховыми

линиями

выражена

зависимость

параметра

q\ =

_ „ in	/п	орличина	критического давления, полученная
ставлены зависимости п а р а			»	Р.аб0те I5,)	Е /Ег при EJGU 4
			м	q{е отт величиныр а

135

для различных		значений параметра	е.	Кривые	7,2 ,	3 соответ­
ствуют значениям		е = 0,005; 0,015;	0,025. На		рис. 36	показана
зависимость безразмерного параметра			q* от	G12/£ I	при Е!ЕХ= 5 для
различных значений е . Кривые 7, 2, 3, 4, 5 соответствуют						значениям
параметра е =	0,005; 0,010; 0,015; 0,020; 0,025. Для всех кривых vla =
= 0,2; v23 =	0,3.
§ 41. Ортотропные цилиндрические оболочки
при внешнем радиальном давлении

На основании соотношений (5.55) и (5.56) в § 38 указан путь постро­ ения характеристического определителя (5.57) при потере устойчивос­ ти ортотропной цилиндрической оболочки, нагруженной осевой силой и внешним боковым равномерным давлением. Выясним влияние механи­ ческих характеристик материала оболочки, находящейся под внешним боковым равномерным давлением q, на критические нагрузки. Ком­ поненты докритического напряженного состояния в этом случае зависят от координаты г и определяются из выражений (5.7)...(5.9) при р = 0. Граничные условия на цилиндрических поверхностях и рекуррентные соотношения для определения постоянных Ak, Bk, Ck \k = 2, 3, ...) имеют соответственно вид (5.55) и (5.56).

Заметим, что граничные условия (5.55) приведены для «мертвой» и «следящей» нагрузок q. В случае «мертвой» нагрузки выполняются достаточные условия применения статического метода исследования (1.118). Как сопутствующие получены результаты для «следящей» нагрузки.

Характеристическое уравнение (5.57) исследовалось численно на ЭВМ. Определялось минимальное значение безразмерного параметра давления q* = q/q3„, соответствующего отношению значения верх­ него критического давления, которое получено по трехмерной лине­ аризированной теории, к значению, вычисленному на основании ги­ потезы Кирхгофа — Лява [1251:

Полученные значения.корней характеристического уравнения (5.57) минимизировались по параметру волнообразования п (при т = 1) для различных геометрических параметров оболочки и механических ха­ рактеристик материала.

При счете первоначальный шаг по q* выбирался для фиксирования перемены знака характеристического уравнения (5.57) (hq* = 0,05;

0,01; 0,005), затем для уточнения корней шаг уменьшался до 0,5 • Ю-4 . Шаг по параметру п принимался равным 1. Выдерживая точность

136

четырех знаков после запятой при нахождении параметра критическо­ го давления <7*, для каждого значения е = h/R определялось необхо­ димое число членов в степенных рядах (2.48).

На рис. 37...43 представлены графики зависимости величины

от параметра IIR		(0,75 <	<	3,50). Сплошные кривые			приведены
						Таблица 15
Номер ри­	2/1/Л	E ,/E i	Е ./Е ,	£./Ся	vtJ	v„	Vn
сунка
37		0,500		10,0	0,30	0,25	0,20
38	0,04	0,050	1,00	2,5	0,20	0,20	0,25
39		0,025
40	0,03	0,200	1,27	4,3	0,35	0,30	0,16
41	0,04
42	0,02	0,100	1,00	2,5	0,20	0,20	0,25
43	0,01

139

для «мертвой» нагрузки, штрихпунктирные для «следящей» нагрузки. В табл. 15 приведены значения геометрических и механических пара­ метров, для которых выполнены численные расчеты. Кривым 1, 2, 3, 4 соответствуют значения E3JG = E jG n = E 3/G13 = 5, 20, 50, 100.

§ 42. Слоистые цилиндрические оболочки

Рассмотрим цилиндрическую оболочку, составленную из произ­ вольного числа слоев различной толщины (рис. 44), каждый из кото­ рых обладает цилиндрической анизотропией [1041. На оболочку дей­ ствуют осевые усилия интенсивности р и поверхностное давление q.

Для тела с цилиндрической анизотропией уравнения обобщенного закона Гука имеют вид (1.143), (1.144). Систему линеаризированных трехмерных уравнений устойчивости в ортогональных координатах можно пред­ ставить в виде (1.138), (1.139). Состав­ ляющие докритических напряжений

определяются согласно (1.78), (1.79). На торнах оболочки при х3 = 0, I

будем удовлетворять условиям (5.14).

На внутренней			и внешней поверхнос­
тях	(г =	г0, гм) должны удовлетворя­
ться	(для	«следящей»		нагрузки q) гра­
ничные условия			вида	(5.13).

Таким образом, задача устойчивости сводится к отысканию наи­ меньшего значения параметра внешней нагрузки (осевого сжатия или

внешнего давления), входящего в ст°г, <те0, Озз, при котором система 18 дифференциальных и алгебраических уравнений (1.143), (1.138), (1.137)

сграничными условиями (5.13), (5.14) имеет нетривиальное решение.

Вкачестве основных шести неизвестных функций, через которые алгебраическим путем можно выразить остальные двенадцать неиз­ вестных функций, выбираем огг, сг,0, стг3, и, о, w:

°rr =	Yi	S	Й W sin - ^ T 2" sin /10;
огв =	Yi	Y	y*	sin - n r - cos ft0;
	и=0 /1=0
Ort =		£	t/3 ( r ) c o s - ^ - s i n n 0 ;
	т=о /i=°			(5J5)
u = Y		Y	yi (r) sin JEr 2~sin n0;
v = Y		Y	y*	s i n c o s Л0;
w =	Yi	Y	y* ^	cosJEr L sin nQ-

140