книги / Функции комплексного переменного и их приложения. Ч. 1

				2m ь	%-z
	В результате получим
			Л 1 )= л - А 1 Ж				- ± . А	г т .	{2Ш)
			2т и \ - г				2л/ 1	%-г
	Если 4 G i j , TO|Z -			z0j < |4 -		z01, а значит, j-----^ < 1.
								$ - zol
	Поэтому согласно (2.198)					1	00	( z - z Y7
						----- = £ 7 ------
						$-z n=o(Z,-zQy*
	Полученный ряд сходится на Lx равномерно, так как имеет
	мажоранту -		сходящуюся геометрическую прогрессию со зна­
	менателем		\ z - z n	< 1. Его равномерная сходимость не будет
		q =
			\^~zo
	нарушена	после умножения			на ограниченную по модулю на
	контуре	L,		/ { А		Подставляя разложение			функ-
			функцию—— .
	1			2т
		в	первое слагаемое			правой части равенства (2.198)
	ции------

£- 2

иинтегрируя почленно, находим

1 ,/fe)d4		1	г^ /(4 )(;- 2 0Ы
2л/ 4 4 - 2		2л /4Го		( 4 - Z o f
= £ ( 2 - 2 оГ	' 7	- { / ^ Г		- 1 4 ( 2 - 2 оГ (2.199)
п =0	2 л / ц (4 -		20 /	Л=0

Коэффициенты ряда в правой части (2.199) равны

п	J _ , _ / ( 5 ) d t в = 0 , ,			(2.200)
	JA.	V+1 ’	5 ’ ’
	2Я /Л,(4-20Г

£ _£

Если же t, е L, , то |z - z0| > |£, - z01 и -------—< 1. В этом случае,

			z —ZQ
учитывая стандартное разложение, имеем
1	1	___ 1_		1
\ - z	f e - z 0) - { z - z 0)		z - z 0 J	z - z 0
	Z	W	"
	/7=0^z -z,0/

Этот ряд сходится на Ц равномерно, так как его мажоран­ той является сходящаяся геометрическая прогрессия со знаме-

к - г \

нателем q' =]------^} < 1. Поэтому аналогично (2.199) можно за-
r	zo|
писать для f ( z)
1 , / ( №		/	\ Я
		1 , /fe ) £	d$ =
2л/ Д	^- z
		2л/ Д z - z0 ,ы) Kz ~ zoJ

=-z
n=o(z-z0)”+A27t/
Изменив в найденной сумме индекс суммирования,
получим
| / / ( 0 <ц	у ( 2 _ г
	(2.201)

Коэффициенты ряда в правой части (2.201) равны соответ­ ственно

с" _ — J	и = _1 _2 - 3	(2.202)
* 2л/ Д ( ^ - 2оГ ’	’ 3’-

п=-1

Подставляя в (2.198) разложения (2.199) и (2.201), получаем представление (2.196), в котором коэффициенты вычисляются по формулам (2.200) и (2.202). Полученные формулы для коэф­ фициентов равносильны формулам (2.197).

Определение. Ряд (2.196), коэффициенты которого вычис­ ляются по формулам (2.197), называется рядом Лорана функции /(* ) по степеням z - z 0 (или с центром в точке z0).

Рассмотрим в отдельности два ряда, из которых состоит ряд Лорана (2.196) функции f(z) в кольце г < \z - z0| < R . Пер-

QO

вый ряд X c„(z - 2o)" - это ряд по неотрицательным степеням

л=0

z —ZQ, а второй ряд ^ cniz ~ zoT содержит отрицательные сте-

пени z —ZQ. Оба ряда сходятся в каждой точке z внутри рас­

сматриваемого кольца (см. п. 2.8). При этом первый ряд, как обыкновенный степенной ряд, сходится не только в кольце, но и в круге \Z - Z Q\ < R . Е г о сумма является аналитической функ­

цией в круге |z - z 0|< i? . Ряд, состоящий из неотрицательных

степеней ряда Лорана, называют правильной частью ряда Лорана.

Второй	—00		также можно преобразовывать
	ряд £ c n(z - z0)"
	Л=—1	с_п -Ьп, и = 1,2,3,... и произведя за-
в степенной ряд, полагая
1	= со. Преобразованный ряд имеет вид £ 6П-©*, он
мену
z - z n
сходится в круге У < —.
	г
Сумма этого ряда -		аналитическая в этом круге функция.
			—со
Следовательно, исходный ряд			X cn(z_ zo)" сходится в области

п=-\

z —z0| > г Этот ряд, содержащий отрицательные степени ряда

Лорана, будем называть главной частью ряда Лорана. Сделаем следующие выводы для ряда Лорана (2.196):

1) ряд Лорана функции, являющейся аналитической в коль­ це г < \z - z0| < R , сходится абсолютно в этом кольце;

2) ряд Лорана аналитической в кольце г <|z - z0| < R функ­

ции сходится равномерно внутри этого кольца.

В заключение этого пункта сформулируем две теоремы, ко­ торые имеют важное значение при нахождении ряда Лорана комплекснозначной функции. Доказательство этих теорем мож­ но найти в работах [2,4].

Теорема 2. Всякий сходящийся двусторонний степенной

ряд (2.70) является рядом Лорана (2.196) своей суммы.
Теорема 3.	Пусть	функция	f { z ) аналитична	в коль-
це г < \z - z0| < R ,	а ее	модуль	на окружности |z - z0| < р
(г <р < R) не превосходит числа А. Тогда коэффициенты ряда
Лорана этой функции удовлетворяют неравенствам
	ы	< 4р>	” e z -	(2-203)

Пример 2.41. Найти разложение в ряд Лорана по степеням

z для функции f(z) = cos2

z

Эта функция является аналитической всюду на комплекс­ ной плоскости (Z) за исключением точки z =0, т.е. в вырожден­ ном кольце 0 < |z| < оо, для которого r = 0,R = <x> Представим функцию f(z) в виде

/(z )= c o s2-	= ^-	1	- I	1	1	2
		1 + cos—		= —+ —cos—.
z	2		z )	2	2	z

Используя разложение функции cosz в ряд Тейлора

2

(см. п. 2.26), в котором переменное z заменим на —, получим

	2 1	1	1 ” ( - 1)"	( I T -	1 + у	Ы ^ 1	z > 0 .
	2	2	2 ^о{2п)\	UJ	h	( 2 H ) ! - Z 2" ’

Пример 2.42. Найти разложение в ряд Лорана функции

/(z ) = —— по степеням z - 1. z —1

Эта функция является аналитической в кольце |z -l|> 0 . Преобразуем ее

2z	£2И >2
/(* )= Z —1	Z - 1	Z-1

и используем разложение функции е2 в ряд Тейлора с заменой

z на	2( z - l) :
	1-	g2	g	(2(z -l))
	е~~				= e2f . — (z - \ Г '	|z -l| > 0 .
	z -1 z -1		л=о	и!
					л=ол!
		2.27.	Нули аналитической функции.
		Изолированные особые точки
	Определение 1.			Точку	а е С называют	нулем функции
f{z)	комплексного переменного z . если f(a) =0 .
	Пусть точка		а е С является нулем аналитической в этой

точке функции f{z). В силу теоремы п. 2.26 в окрестности точ­ ки а существует разложение этой функции в степенной ряд (ряд Тейлора) вида (2.186)

/(z )= £ c „ (z -a )”	(2.204)
/1=0

Так как точка z = a является нулем функции f{z), то из (2.204)

согласно (2.191) и определению 1 следует, что		С0 = f{a) = 0 .
Остальные коэффициенты в (2.204) будут равны:
с„ =	/ " ’И	(2.205)
	n eN .

т

Пусть ст - младший по номеру коэффициент разложения в (2.204), отличный от нуля, т.е. ск = 0,..., от - 1, и ст± 0. Тогда

число т е N называют кратностью (или порядком) нуля z~a аналитической функции /(г ), а саму точку z = a называют ну­ лем кратности от функции /(z ). Из (2.205) следует, что крат­

ность нуля z - a функции f{z) равна наименьшему порядку отличной от нуля в точке z = а производной этой функции. Нуль кратности единицы (от = l) называют простым нулем ана­

литической функции.

Разложение (2.204) функции/(z ), имеющей в точке z - a

нуль кратности от , имеет вид

/(*)= i cA z - a)'	= c„,(z-a)'"+l + - + c,„+1(z-a)",+l +
п-т	у2..2[)Ь)
+ - + спи\(z-a)"'+\ где стФ0.
Теорема 1. Точка	а е С тогда и только тогда является ну­

лем кратности т аналитической в точке а функции / (z ), когда эта функция представлена в виде

/(z ) = (z -	а)" • (с„, + сш+| (z - 4 - ) = (2 -	а)'" • cp(z), ф(а) * 0, (2.207)
где cp(z) -	аналитическая в точке z - a	функция.

Для доказательства теоремы 1 используем представление (2.206), где степенной ряд (p(z) = cm+cm+l( z - a ) + ... имеет тот

же круг сходимости, что и ряд в представлении (2.206). В силу следствия п. 2.27 функция cp(z) как сумма этого ряда является

аналитической в точке z = a , причем			ц>(а) = ст^ 0 Справедли­
во и обратное утверждение.
Следствие	1. Если точка	я е С	является нулем кратности
т аналитической в точке а		функции /(z ), то для функции
g(z) ={f{z)f	р е N , эта точка будет нулем кратности рот.

Замечание 1. Полагая (2.207) А = <р(о), находим, что

и —

-->о (z - а)"'

;->о (z - а)"' ■<р(а)

Поэтому по аналогии с функцией действительного пере­

менного можно сказать, что функции / (z) и (z - а)т■А явля­

ются эквивалентными бесконечно малыми при z->a. И за­ писать

f ( z ) ~ A(z-a)m, А* 0.	(2.208)
z - * a

Условие (2.208) считаем необходимым и достаточным ус­ ловием, чтобы аналитическая в точке а е С функция / (z) име­

ла в этой точке нуль кратности т.

Определение 2. Бесконечно удаленную точку z = ао назы­

вают нулем функции / (z), если существует предел
		/(со) = lim(z) = 0.	(2.209)
		Z—»00
Предположим, что функция f(z) аналитична в окрестно­
сти точки	z = оэ, т.е. /(z ) аналитична в области jz| > R. R> 0,
и точка z	= оо является нулем / (г ) . Тогда в силу теоремы 1
п. 2.27 функцию		f(z) можно разложить в ряд Лорана по сте­
пеням z :
		/(*) = IX - г "	(2.210)
Поскольку		/(оо) = 0, то в окрестности бесконечно удален­

ной точки функция / (г) ограничена, т.е. для некоторого числа

М выполняется неравенство |/(z)| < М |z| > R' При этом R’

можно взять настолько большим, что R' > R. В сил)' неравенства Коши (2.203) для коэффициентов ряда Лорана имеем

пе Z,

где р > R' можно выбрать произвольно. Отсюда следует

lim/(z) = C0.

Г-Ю)

Но по условию этот предел равен нулю, т.е. Со = 0. Следо­ вательно, разложение (2.210) имеет вид

/ ( 2 ) - £ ±	+ %	+ ...+ % + ...	= i c y	(2.21!)
Z	Z	Z	п=-со

Пусть в представлении (2.211) С_т - первый отличный от нуля коэффициент, т.е. С_к = 0, к = 0, 1, С_т* 0. Тогда число т е N называют кратностью нуля функции /(z ) в бес­ конечно удаленной точке и записывают

- т	1	(
/(* )= Е с / =	-	С -т + —=2!=1- + ... = Z •V|/(z), (2.212)
П-~GO	Z	\

где vj/(z) - функция, представимая степенным рядом, содержа­ щим лишь неположительные степени г. Поэтому \|/(z) является аналитической функцией в окрестности точки z = да, причем

lim \|/(z) = 4/(0°) = C_m* 0.

Z —►«

Можно показать, что
/(z ) ~ —		, А = const * 0.	(2.213)
г->со zm
Пример 2.43. Найти	нули функции: 1)		/(z ) = sin-;
			2

2)f ( z ) = (e-'+l)2

1)Функция /(z ) = sin — имеет нули в точках, определенных

z

равенством sin —= 0. Отсюда	—= кк, где
z	z

k e z , или z = — . fee

Функция имеет	нуль	и в	точке	z = оо 5	поскольку
/ (z) = lim /(z ) = 0.	Точки	z = — ,	i e z ,	являются	простыми
*-*°°		/гте

нулями, т.к. младшей отличной от нуля производной в каждой из этих точек будет производная первого порядка. Действительно,

/ '0 0 = cos —	у ) , f ( -^-1 = -(for)23cosfor * 0 .
z (,	zl )	v b t;

Точка z =oo также будет согласно (2.113) простым нулем,

. 1	1	при Z -> 00 .
поскольку Sin—

ZZ

2)Функция / (z) = (ez + 1)2 имеет нули в точках, определяе­

мых равенством ег + 1 = 0 , или

z = Ln(-l) = In 1+ /(arg(—1)+ 2fot) = (2k + \)ni, k&z.

Все эти точки для функции g(z) = ez +1 являются просты­ ми нулями, так как с учетом формулы Эйлера

g'((2k +1)го) = е{2к+])ш=cos(2fc + 1)я + ;sin(2* + 1)тг= -1 * 0 .

Следовательно, для исходной функции f(z) = g 2(z) =

= (ez +\)2 согласно следствию 1 точки z = (2k + \)ni, k e z , бу­ дут нулями кратности 2.

Определение 3. Точку а е С называют изолированной осо­ бой точкой функции / (z ), если у точки а существует проколо-

0

тая окрестность (J (а) = {z е С; 0 <|z - о| < г } некоторого радиуса

г, в которой данная функция аналитична, но в самой точке а f ( z ) не определена или теряет аналитичность.

В зависимости от поведения функции f(z) вблизи точки

z = а различают следующие три типа изолированных особых точек.

Определение 4. Изолированную особую точку z = а функ­ ции f ( z ) называют:

11 устранимой особой точкой, если существует предел

lim /( z ) = А Фоо;

2—>£/

2) полюсом, если lim f(z) = со;

Z—+0

3) существенно особой точкой, если не существует ни ко­ нечного, ни бесконечного предела функции f(z) при z->a.

Пример 2,44. Найти изолированные особые точки функции

1) /(* ) = —	1	-
	; 2 )/(z ) = ---------------	; 3) /(z ) = e7
z	1 - z
1) Для функции /(z ) = ^-^-		точка z = 0 будет устранимой
	Z

особой точкой. Действительно, эта функция является аналити­ ческой при всех z Ф 0 как частное аналитических функций. От­

сюда проколотая окрестность |j(a) точки z = 0 является ее обла­

стью аналитичности. Используем разложение функции sin z, вы­ числим

				Z3	Z5	Л	(	2	4	Л
lim—		= lim	Z			= lim	1	Z	Z
				--------- 1--------- .			1	--------+ ---------... = 1.
Г-*0	7	г->0	2	3!	5!	)		3!	5!	J
2)	Для	функции		/ ( z) = ------		точка z		= ]	будет	полюсом,
					1 - z

поскольку эта функция является аналитической всюду на ком­ плексной плоскости за исключением точки z - 1, причем

lim—-— = оо.

Z->1 1 - Z

\_

3) Для функции е: точка z = 0 будет существенно особой точкой. В самом деле, эта функция является аналитической

в области z Ф 0 как композиция аналитических функций е1-

и ^ = —. Покажем, что при z -> 0 не существует ни конечного,

Z

ни бесконечного предела этой функции. Имеем

lim ех =оо, lim ех =0

.т-м-0 л->-0

(Здесь учтено, что при стремлении z к точке г = 0 вдоль действительной оси (z = *)). Этих равенств уже достаточно, что­ бы сделать вывод о несуществовании предела (ни конечного, ни бесконечного).