книги / Механика композитных материалов. 1979, т. 15, 1

Не зависящие от £ элементы матрицы А и вектора f вычисляются по фор­ мулам (нулевые элементы не выписываются)

„

„

,« Л

(“ И121)2

,„1

л

®1,<г>6,н

;

Л „ = 1,

А21=уЧ* | ~

m[[„,

—ton131J ;

Л 25= р , „ -

Ю|||„

Лм = 1;

Л)2= т36г ( — 1г'‘У

-coi2w ) ;

Л „ = -? * 62;

\

CDi 1Щ

/

л

l R

0312(1)бШ

\

_

I

б1цСй11(2)

\

;

А , Ь = У

^6 12, ------------- ^

------- } .

А ы = Ч 6

[ --------- (01|(„ ■

- Р ш j

6„,2

Л66= 1;

# 12= 1;

Аъъ—яи ц ------- ггг ;

шп'1'

В21 = -

/

(2 .

—

\

Я23 - 1;

^34=1;

П “ ‘2'2'------ ^

)

в « = -

[

( ® 12(1)) :

в ..—

V

( в... -

УУ

) :

1“ 22"’ - - H

r i i r - 1 '■

0)ц

(1)11

В&5--

Ai

^56= 1;

у2б2 ;

h = - 1.

Здесь использованы обозначения

тп

f

^ btjwSh(Рлг—ph-i');

т

л=1

0-25( p n - p ft- i 4) -

0.5(pfa3- p ft_,3)

=

Г

6iji =

ft=l

+

—Рл—i)

J ;

m

0-2(ftft5 —Pft-i5) —0.375(ph4 —Pft-i4)

РгД

= £

bijW [

ft-i

daM

+ySft(Pft2 —Ph-i2)

j

;

3Xjjap —

b%j№1

daam WWsk

h= 1

+ ( л ^ +л5 г) [7 ( ^ - Р » Л ) - | ( Р . 3- Р . - л ] +

+ 5A(Pft-Pft-i)va[ft]VpW

•;

89

du^st	[i-(f3ft5 —Ph-15) —		Pft-.4) +-jj-(P*3- P*-!3) ]
/1 = 1
где
Va w=	V	Pi3- 1,5р/	V Pi-13—1»5Pi-i
		Sj^aa^	L J , ~ I и
			j=I

Нетрудно проверить, что вектор				(У*ьО, У*з, О, О, У*б)', где штрих — знак
транспонирования и				СОц(1)
У*,=
		у	2 [ с о ц (1) С 0 2 2 * 1* — ( 0 ) 1 2 ^ ^ )
						2 ]
		, л		СО 1 1 12 ) ( 0 i 2 ^
V	1		_ (2 |		1	У *	1
	\	® 1 2 1		'	/	г	1
				0 ) ц (1)
				б 111 СО 1 2 (1)	\ у	*
=	Y	( ^ 1 2 1			1	1)
				Ш ц (1)	'

является частным решением системы (2.7). Теперь достаточно найти об­ щее решение однородной системы уравнений

dY

Ж = A~'BY=CY,

что, как известно, сводится к решению полной проблемы собственных значений для матрицы С. При численном решении этой задачи может быть использован обобщенный метод вращения4.

Отметим, что исследование изгиба, проводимое в рамках гипотез Кирхгофа—Лява, приводит к системе уравнений (2.7) с вычеркнутыми в матрицах А, В последними двумя строками и столбцами. При этом в век­ торах У, /' вычеркиваются два последних элемента, а из граничных усло­ вий (2.8) исключаются два последних.

Возвращаясь к системе уравнений (2.1) —(2.3), введем безразмерные

переменные	w* = hUь и*х= Ш2;		u*^ = RUz\ л*ж= “ТрГ^4»			Us-
Выражая	Т*хх, T*ffX,	при	помощи	соотношений	(2.2),	(2.3) через
U1, .. ,U 5 и подставляя		эти выражения		в уравнения	(2.1),	приходим к

системе пяти однородных линейных дифференциальных уравнений с пере­ менными коэффициентами относительно пяти функций.

	5
	X	A*iC/i = 0			(k=\,			5).		(2.9)
	i—1
Дифференциальные		операторы A/u- определяются формулами (чле­
нами порядка h/R по сравнению с единицей пренебрегаем)
		д3						д3	,	д
Л ц= - у 2б2соц(2)з ^ -			- у 2(“ 12(2) + 2с1)33(2>)						2	5Г ;
		Ж						W	+ v “ 12
Л 12 = со11(1*	д2	со3з(|)		д2		Л ]з=			д2
	д%2	Н----——		— 7-;				(о)12(1) + о)зз(1))
			б2	dtp2					Я д у ’
		А	л	д2		6331		д2
		Ли —Ош ——- + -					б2	dtp2 ’
				д%2

90

д2

d3

Ai5—(6122+ 6332) -a^cp

;

Л21= —Y262(2CO33(2) + coi2(2)) а£2аФ

д3

д

A22= AI3;

оa2-

—V2(022(2) -3-^- + Y“ 22(1) 3 —;

A23 = 62G)33(1) —----h

< v

' V“22(

mrndq,

C/£2

+ m22l"

^

r ;

Л24=(6зз1 + 6|21)^

;

Л« = 6!6з32

Л3| =

- т 3«,®и11А р —7 3б2(2(i)i2,3)+ 4(1)эз(3))

a4

-

a4

v30 22(3)_____[_■

+V262 ( 20l2'2i-Xv62cD„raiAL) -A r +v2 [2 a .» w -

-X

( Т62ш|2и

)

]_ J L

_ v [to22('i—X (v 6W

a2y,

a i2

— T

01

\

Л32 —762(I)IH2) ———h7(2(o33(2)+ COI2^2))

1фф j

oi3

a^acp2

/

,

, а2 к,

\

a

А33 = 7 ш 22( 2)

аз

1-762 ( ( O I 2( 2 )

+

—

^ ( I 3 i 2 ( 1 ) —

Я.уб2(Оц(1)

^

аз

/

а2 У!

\

a

+2шзз'2|)

-

( 0)22

^ 62<012

di2

) ^

г ;

Лм =

аз

ч

аз

/

/ аФ

а2 У!

\

a

-

;

= v62Pin ^

i-+Y (2p33i + Pi2i)

( 6.2! -А7б2б,п

) —

a3

n

ч аз

/

а2 У, \ a,

Лз5=7Р222 " а ^ +7б2(р122+2рззз) "a^ a^

“ \

)

-d—

;

a3

a3

a

A 4, = - Y 262p i , i - ^ r - Y 2(p i2i + 2 p33i) ^ а ф2 + 7 б ш a f ’

A

A

A

A

A

______

a2

1

Л33Ц

a2

-

Al

>

A 42 = Ai4,

л 43= л 24;

Л44 —Лиц

-^ igT

a2

;

„

.

a3

Л45= (Л1212 + Л3312) ^

А 51 = —Y262(2p332+ Pl22)

а ^ а Ф

а^аФ

“ Y2P222

a3

„ “t” Y®222

>

A52 = Л15, Л53 —Л25. Лб4 —Л45;

,

аФ

аФз

a2

a2

~

A 2

Л55 = 62Л3322 -Щг + Л2222

Здесь Уi — определенный выше безразмерный

прогиб;

Гфф°=

T

—

безразмерное окружное усилие; к=

— искомая безразмерная крити­

ческая нагрузка. Отметим, что исследование устойчивости, проводимое в рамках гипотез Кирхгофа—Лява, приводит к уравнениям (2.9) с вычерк­ нутыми в матрице операторов А двумя последними строками и столбцами.

91

Н еи зв ест н ы е	ф ункции U \ , . . . , £/5 б у д е м искать в в и д е д в о й н ы х т р и г о ­
н о м ет р и ч еск и х	р я до в Ф урье:
оо оо

U i =

^

U \пт sin лт£ cos пср;

U2 =

U2nm cos лт£ cos mp;

7 7 = 0 7 7 i = l

n = 0 m = 0

( 2. 10)

OO 00

OO

00

u z =

ZZ Uznm sin я

cos ncp;

£/4 =

z z f/4nm cos я т £ cos гсф;

n

=

l 7 7 1 = l

71=0 771=0

£/* = Z

Z

^/бтгтп sin лm\ sin Пф.

77=

1

777=1

Л е г к о

видеть, что

п р ед ст а в л ен и я

(2 .10)

у д о в л е т в о р я ю т у сл о в и я м

ш а р ­

н ирн ого

оп и р ан и я

(2 .4) и у сл о в и ю п ер и оди ч н ости

по к о о р д и н а т е ф.

П о д ­

ст а в л я я

в

п ервое,

второе, ч етвер тое

и пятое у р а в н ен и я

из

си стем ы

(2 .9)

ря ды ( 2. 10) и п ри р ав н и в ая

н у л ю

о б щ и е члены

к а ж д о г о

из

ч ет ы р ех

п о л у ­

ч ивш ихся

при эт ом

дв ой н ы х

т р и гон ом етр и ч еск и х

р я до в

Ф урье, п р и х о д и м

к си ст ем е

ч еты рех

л и н ей н ы х

а л геб р а и ч еск и х

ур ав н ен и й ,

с в я зы в а ю щ и х

м е ж д у

с о б о й

пять

величин

U \nm, . . . ,

U^nm'.

5

Z

^ i l’,m,C/inm= 0

(*=1,2,3,4;

л > 0, m > l) .

(2.11)

i = 1

Ф ор м ул ы

д л я

вы числения

э л ем ен т о в

м атрицы R(nm) л егк о получить,

с о п о ст а в л я я

м атрицы R(nm) и

X. Так, н ап р и м ер ,

э л ем ен т ы

1-го с т о л б ц а

м атри ц ы

/?(п т ) п о л у ч а ю т ся

из

со о т в ет ст в у ю щ и х

э л е м е н т о в о п ер а т о р н о й

м атрицы А з а м е н о й - ^ - ^ л т , - ^ - * - — п и т. д. А н ал оги ч н ы м о б р а з о м							ст р оя т ся
эл ем ен т ы ост а л ь н ы х ст о л б ц о в м атрицы R(nm). Р а з р е ш и в при							0, m > 1
си ст ем у	а л ге б р а и ч е с к и х		у р ав н ен и й	( 2. 11)		о т н о си т ел ь н о	величин
£/277777, ■•	, £/577777, п ол уч и м	со от н ош ен и я		вида:
	£/277777 —	/1 (л-ттг) U 1 П 1 П ) . . . ,		£ /577771—	1 ^	п т ) £ / 1717П .	( 2 . 1 2 )
Т аким	о б р а з о м , о п р е д е л и в		к о эф ф и ц и ен ты		U 2nm, • • • , U 5nm р а з л о ж е н и й

( 2. 10) ф о р м у л а м и ( 2. 12), у д о в л е т в о р и м п ер в ом у, в т о р о м у и ч ет в ер т ом у,

п я том у		у р а в н ен и я м систем ы		(2 .9 ) .
	Р а з л о ж и м д а л е е		ф ун к ц и и		> 7Vr°> х а р а к т е р и з у ю щ и е о с н о в н о е с о ­
стоя н и е и н ай д ен н ы е			в р езу л ь т а т е		реш ен и я		з а д а ч и	и зги б а , в р я ды	Ф урье:
d 2Y 1=		2 z^s.cos ns£; 7’(рф°= 2 ^scos				Тогда, если
W	s=o		s=o
				,	У	У		c o s Мф,	(2 .13)
			£/1 (6, Ф) =		L J	Z J CLnm s in
		*			77=0 777=1
то д л я		к о эф ф и ц и ен т о в a nm и м ею т			м ест о в ы р а ж ен и я
		а пт—	~	U \nqWq+m			^ ln q ^ q - m +
			^ q = 1			^ «7=777+1
			777—1
			T" ^	UinqWm—q+ U\nmWQ.					(2 .14)
			q	= l

92

Аналогичные формулы могут быть написаны для				T ^ U i и вообще для
всех произведении типа		встречающихся	в третьем		уравнении	системы
(2.9). Разлагая	d2Y1	T ^ U i и т. д. в ряды типа		(2.13), подставим эти
	ль2 Е/ь
разложения, а	d l2		в третье		уравнение	системы
	также разложения (2.10)

(2.9). Приравнивая общий член получающегося при этом двойного три­ гонометрического ряда к нулю и используя формулы типа (2.14), прихо­ дим при фиксированном п ^ О к однородной системе линейных алгебраи­ ческих уравнений бесконечного порядка

U \пз — [ l/ т т ^ П^U 1 Пт \		|x = A_1 (m= 1, 2,		)	(2.15)
S = 1
Здесь элементы диагональной матрицы /(,l)			вычисляются по формулам
/ т т (П)=у3б4Шп(3)я4т 4+уЗб2(2(012(3)+ 4СОзз(2))я2т 2Аг2+луЗа)22(3)п4 +
+ 2у262со,2(2>я2т 2 + 2у2(022(2)гс2 + уш22( 1>- [уб2соц(2,л;3ш3 + у (2созз(2) +
+ ti)i2(2))ятм 2+о)12(1,л ^] /i(7im)+ [уа)22(2)^3+			(wi2(2) + 2со33(2))л2т2п +
+ С022(1)я] /2(пт) —[y62pi 11л3т 3 + у (2р331 + pi2i)лтм2+ 6121л т] /3<пгп>+
+ [ур222^3+ y 6 2(pi22 +		2p332)n2m 2Al + 6 2 2 2 ^ ] / 4 (7lm)-
Элементы матрицы	вычисляются по формулам:
при тфБ
nms(n)= — уб2(аУ|771-»]—сУщ+s) [y262Jl2S2(D11(2) +у2С012(2)Н. +
“Нy(0i2(1) СО 11OftS/i(ns) -J-СО12(1}^^2(713) —6111JTS/3(ns) "1“ 6i22^4(ns)] 4-- ^У					(1 + П2) X

X (tm+s t\m—s|)

и при m — s

Qmm(n)= y62 ( — W2TTI— WQ 'j [у262л2т 2Ш11(2)+у2(012(2)/г2 + уа)12(1)—

— С0ц(1)я т /1 < п т ) + 0)12(1)ц/2{71пг) —6 iiin m /3(nm) + 6 i 22« / 4(nm)] +

+ y (l+ tt2).

Условием существования нетривиального решения системы (2.15) явля­ ется выполнение равенства | —ц/(п)| =0 или, учитывая положитель­ ную определенность матрицы /("),

|У /^

= 0,

(2.16)

где / — единичная матрица. Задача состоит в отыскании наибольшего корня |хп уравнения (2.16). При численном решении уравнения (2.16) рассматриваются главные миноры конечного порядка, который увеличи­ ваем до тех пор, пока наибольший корень не стабилизируется в пределах заданной точности. На каждом таком шаге корни соответствующего урав­ нения могут быть найдены численно при помощи обобщенного метода вращений4. Проведя этот процесс при п = 0,1,. . и обозначив М*= шах {|хп}, получим для определения критической нагрузки фор-

л =0,1 , . .

мулу х= 1/ц*

93

х. р;,р:	Л/А	В качестве численного при­
		мера решена задача о потере ус­
		тойчивости двухслойной цилинд­
		рической оболочки, один из слоев
		которой армирован в окружном

0,95 направлении,		другой — в	про­
	дольном. При вычислениях пола­
	галось у = 0,02; 5I = 52= 1; оси = со2 =
	= cozi = coz2 = 0,5, где со*, а>2/{ — ин-
одо тенсивности		армирования	в по­
	верхности и в направлении тол­
	щины &-го слоя3. Коэффициенты
	Пуассона всех материалов счита­
°'к	лись одинаковыми и равными 0,3.
	На рис. 1 сплошными линиями

0.50.5 0.5 0,7 0.5 приведены зависимости от пара­

Рис. 1.	метра Pi величин А*=103А (кри­
	вые /, /'), Р*с = .ЮРс//гс	(//, II'),
	Р*а= 102РаД а (///, III'),	найден­

ные при 6= 1; mi = m2 = 0,02, и штриховыми —		зависимость	величины
А/А (IV, IV'),	найденная при тех же параметрах. Здесь А — безразмерная
критическая	нагрузка, найденная без учета	поперечного	сдвига;

Рс, (Ра) —■нагрузка начального «разрушения» связующего (армирую­ щих элементов), найденная при учете сдвига по условию Мизеса

2	2	2	2
Ш ах {(7^д;с(а) "Н СГффС(а)		СГх.г-с(а)0'ффс(а)-Ь 3Tazc(a)} =	^с(а)

x , z

(kC(a) — предел текучести при растяжении связующего или арматуры). При этом кривые /—IV отвечают оболочке, у которой первый слой арми­ рован в продольном направлении, второй — в окружном, а кривые Г—I V — оболочке с противоположным расположением слоев. Отметим, что при изменении параметра Pi изменяются не только величины нагру­ зок начального «разрушения» Рс,

Рл и критической нагрузки А, но
и характер			возникновения				«раз­
рушения», а также форма потери
устойчивости. Не описывая из-за
недостатка				места		характера
возникновения				начального			«раз­
рушения»,			отметим		только, что
для	оболочки,			первый		слой	кото­	1,00
рой армирован в продольном на­
правлении, число окружных волн
увеличивается с 5 (Pi<0,15)							до 7
(Pi>0,55), а для оболочки с про­
тивоположным				расположением
слоев число окружных волн, на­
против, уменьшается с 7 (рi <0,45)
до 5 (Pi>0,9). Из рис. 1 видно
также,		что при рассматриваемых
здесь		геометрических				и физиче­
ских параметрах учет сдвига не
оказывает существенного влияния
на	величину			критической			на­	0,85
грузки.
	На рис. 2 сплошными линиями
даны		зависимости			от	параметра

94

6 = R/l величин X (кривые I, I'),_P*a {II, II'), Р* {III, IIГ) и штрихо­

выми — зависимость величины Х/Х {IV, IV'). Эти зависимости построены при Pi = 0,5 для оболочки, первый слой которой армирован в продольном направлении, второй — в окружном. Кривые I—IV построены при /?11= //г2 —0,05, кривые I'—IV' — при /?2i = /?г2 = 0,0125. Отметим, что при увеличении параметра б число окружных волн увеличивается от 5 (6= 0,5) до 12 (6 = 3,5), при этом, как видно из рис- 2, различие в резуль­ татах расчета критической нагрузки по уточненной н классическим тео­ риям также увеличивается в тем большей мере, чем меньше сдвиговая жесткость материала. Отмеченное снижение уровня критической на­ грузки, найденной при учете сдвига, по сравнению с классической для более толстых оболочек может быть значительным. Полученные здесь результаты согласуются с выводами, сделанными в работе5.

На рисунках 3 и 4 сплошными линиями приведены зависимости от параметров Pi (рис. 3) и (б) (рис. 4) величин Р*я/Р*с (кривые I, /'), Х*/Р*с {II, II') и штриховыми линиями — зависимость величины Х*/Р*я {III, III'), найденные при тех же параметрах, что и зависимости, изобра­ женные на рисунках 1, 2. На рис. 3 кривые / —III соответствуют оболочке, первый слой которой армирован в продольном направлении, второй — в окружном, остальные кривые соответствуют оболочке с противополож­ ным расположением слоев. На рис. 4 кривые / —III построены при Ш1= тг = 0,05, кривые I'—III' — при /723 = 7722 = 0,0125. Зависимости, изоб­ раженные на рисунках 3, 4, позволяют при фиксированном отношении величин k j k a, k J E ic, k J E {c выяснить, что произойдет раньше — «разру­ шение» связующего, «разрушение» армирующих элементов или разруше­ ние оболочки вследствие потери устойчивости.

СП И С О К Л И Т Е Р А Т У Р Ы

1.Андреев А. Н., Немировский Ю. В. К теории упругих многослойных анизотроп­ ных оболочек. — Изв. АН СССР, Механика твердого тела, 1977, № 5, с. 87—96.

2.Немировский Ю. В. Об упруго-пластическом поведении армированного слоя. — Жури, прикл. механики и техн. физики, 1969, № 6 , с. 81—89.

3.Немировский Ю. В. К теории термоупругого изгиба армированных оболочек и

пластин. — Механика полимеров, 1972, № 5, с. 861—873.

4.Воеводин В. В. Численные методы алгебры. Теория и алгоритмы. М., 1966. 248 с.

5.Рикарде Р. Б., Тетере Г А. Устойчивость оболочек из композитных материалов.

рига, 1974. 310 с.
Институт гидродинамики Сибирского отделения		Поступило в редакцию 09.01.78
АН СССР, Новосибирск	_________ _

ных подкреплений и композитной обшивки, связаны с соответствующими перемещениями и, v, w следующим образом5:

1	du		1	d2w	■;	e2 =	1 /
R	da ’			da2
							R \
X2	1	/	d2w	)	u. l (		du
	~~~R*	1—-----1-w
		\	dp2			R v ж
	T —		2 d2w		/	dv	du
			R2 dadfi +w		\	da	Ж

dv

CO.

dv da

( 1. 1)

\

где а и р — безразмерные ортогональные координаты, совпадающие с линиями главных кривизн срединной поверхности оболочки и имеющие начало отсчета на торце одного из стрингеров большей жесткости. Пол­ ную энергию системы Э вычисляем по формуле

Э= U+Uc + Um+A.

(1.2)

Потенциальная энергия деформации многослойной композитной обшивки запишется так5:

	-ф—1 2л
^	= — J	J	{ C n e i 2 +	2 C i 2 e i e 2 + С22б22 + C66C02 +	2 C i 2 ( 0 6 i + 2 С 2 б О ) б 2	+
	0	о
	+ 2 [/Ci 1еi>c1+ К22 (щхг + 62X1) + К2262Х2 + /Сбб^зт+ /Сi6(SIT + СЖ1) +
+	К 2 б (б 2 Т +		С0Х2 ) ] +	Z ) iiX i2 + 2 £ ) i 2 X i X 2 + -022^22 +	^ 6 6 T 2 -|-2D i6T X -i +
				+ 2D26TX2} R2dad$.		(1.3)

При этом коэффициенты упругости Bij выражаются через соответствую­ щие коэффициенты в главных направлениях упругости B'ij следующим образом5:

Ви = В'п cos4 (p + 2 (£/i2 + 2£ /66)sin2 ф c o s^ + B'22 sin4 ф;

В22 = В'ц sin4 ф+ 2(B/i2 + 2B,66)sin2 ф cos2 ф+ В'га cos4 ф;

B\2~ В'\2~\~[ В /ц + В'22— 2(В/12 + 2В'бб)]55п2 ф COS2 ф",

BQQ= B/66+ [ ^ п + В'22—2 ( В ' ~\~2B'^s) ] Sin2 ф COS“ ф‘,

Bi6 = -^- [£'22 sin2 ф — В'и cos2 ф+ (#12+ 2Вбб)соь 2ф] sin 2ф;

B26 = Y [B722C0S2 ф -В 'п s i n ^ - (В\2+ 2Ввб) COS 2ф] sin 2ф.

Здесь ф — угол наклона между главными направлениями упругости и координатными линиями а, р. Потенциальная энергия деформации ре­ бер состоит из энергии изгиба, сжатия и кручения, при этом4:

1

2 ft, -

..	1	V	V	Г Г		£ icW		I °2w V	■ GflКР.С1 I	d2w	, dv \2 ,
	2	^	^	0	L	2R*	'	da2 '	2RA '	dadfi	da '
		1=1 /=1
						icF ic	/		Rda\		(1.5)
					2R2		\
									P=P;

7 — 2748

97

Осевые сжимающие напряжения а при переводе подкрепленной компо­ зитной конструкции из деформированного в начальное, недеформированное состояние совершают работу:

I/1452п
А = \	J об[		] №	d p +
О о
2 hi	1/-Ф	T \ R ~ d a '		-I P=Pi Rda,	( 1.6)
+ Z Z °f lCJ[ £1C
		1_/	1
где eic — осевая деформация стрингера; E{c, Fic,				c(1), /Кр.с(Ч Z\c — со­

ответственно модуль упругости, площадь поперечного сечения, моменты инерции изгиба и кручения, эксцентриситет «сильного» стрингера; k\ —

их число; Е2с, /V, /из.с{2), Лф.с(2), • •, /из.ш(4), /кр.ш^', z2l", kA— соответствую­ щие характеристики «слабых» стрингеров, а также «сильных» и «слабых)'' шпангоутов; б?Лш, \ с>ш1—■модули сдвига и коэффициенты Пуассона мате­ риалов соответствующих подкреплений; ty= R/L.

Компоненты перемещений срединной поверхности обшивки задаем в виде одночленной аппроксимации3:

и = (Л\ c o s /г|3 + Л2sin пф) co s т а ; v = (В\ sin п$ + В2co s гг[5) sin т а ;

(1.7)

w = (Ci cosnB + C2sin/ip)sin т а ,

где т = т 0лф; Л,-, С,- — произвольные постоянные; т 0, п — параметры волнообразования. Подставляя (1.1) в (1.3) и учитывая соотношения (1.4) п (1.7), для угла ср = 0 получаем после интегрирования следую­ щее выражение для потенциальной энергии деформации рассматривае­ мой композитной обшивки:

U— {А12 + А22)Тх+ (б г + В22) Т2+ (Ci2+ С22) 73 +

+ 2(А2В2 — А\В\) ТА+ 2(В{С[ — В2С2) Т^—2 (Л1Ci + /й“$С2) 7s;

7i —С цт2+СббП2; Т2 — С22п2 + ^ СббН— ^--- h—^— ) /п2;

Г П , ^66

о о

-

4

,

^22 ,,

9Ч0

2Z)I2

т

2

( 1 - п~) -

Т, = С22 +

пг2п2+ —

т

4 + —

( 1

- ,j2 ) 2 _

_ _

2/Ci -m* +

( 1. 8)

- ^ - ( l - » 2);

n =

( с , а+ с и +

^

)

m /i;

7*=-

2/Сбб

„

K12

,,

.

Kw

2;'

R

n2- C 12-

R

0 - " 2) + ^ ™

-H

Kee

D66 j m2 —^

^Cn

9

K22

+■

C22 —— m2-----— (1 - n 2) ] n.

tf2

/?

98