книги / Микропроцессорное управление технологическими процессами в радиоэлектронике

Пусть t0 и ?! — два последовательных нуля <р и <р'. Предположим для определенности, что <р (t0) = 0 и

ф' (/J = 0.	Тогда можно принять а 0 =	——	v* со0/0>
Ф (0 =	б е х р ( - 4 - ) з т [ 1^ Е	* . (<_	<о)] .

Из равенства ф' (^) = 0 получаем

Уа2— у2о)с

i^ c o s

	"*[•		У а2 — t>2 a
Решая это уравнение относительно а, находим на­
тяжение на промежутке А/ =				tx — 10 между корнями
Ф (0	и ф ' (/).	Для	нахождения		натяжения по после­
довательным		нулям т0 и		функции ф (0 , примем
/ =	1/[4 (тх — т0)1. Тогда натяжение а2 является кор­
нем	уравнения
	4„ 2/2 _		(Q2 — р2)2 яа	_	H(aa- t ;2)2	(2.42)
	'	~~	а2/2		а4

, Уравнения (2.23) — (2.27), (2.31), (2.3 ) и (2.39) яв­ ляются основными для метода предельных интерва­ лов, по которым определяется функция Т {t) и оце­ нивается погрешность ее восстановления.

2.5. ГРАФИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ МЕТОДА ПРЕДЕЛЬНЫХ ИНТЕРВАЛОВ

Решая задачу восстановления функции Т (t), счита­ ем, что Т (t) = Т0 при t < 0. Тогда из уравнения (2.13) имеем

«1 (0 — и0 sin W + 40»

(2-43)

51

		где о)0 =		2я/ 0— собствен­
		ная круговая частота ко­
		лебаний		упругой		си­
		стемы.
		Для простоты примем
		амплитуду колебаний и0
		единичной. Получаем на­
		чальное условие в				виде:
		«1 (0) = sin				|
		и '	(0)	= со0 COS 1J;.[
Рис. 2. Временная диаграмма						(2.44)
восстановления	непрерывной	Из	уравнений			(2.13)
функции
		и (2.44)		можно	опреде­
лить функцию и (t), если известна функция					Т (t).

Пример 1. Зададим Т (() в виде пилообразной функции (рис. 2). Такой выбор функции позволит получить решения в

аналитическом виде. Функция				Тх	(£) > 0 непрерывна. Она опи­
сывается	линейными	уравнениями
	|Г 0 (1 +	4bfTt),		0 < / < 1 / ( 4 / г);
Ti{t) = \T 0 (\ +		2 b - 4 b fTt),			l/(4/r ) < / < 3 / ( 4 / r );	(2.45)
	[ 7 0 ( 1 - 4 6 - 4 6 / ^ ,				3/(4/г) < < < 1 / / г ,
где Ъ=	(Tmax — Т0)/Т0=		(Г0 — Tmln)/T0; fT — частота измене­
ния функции Т (0 (рис.			2).
Обозначим
					= °-	<246)

Определить функцию Т (/) можно при любых k и р по фор­ мулам (2.23), (2.28) и (2.37). На каждом интервале уравнение (2.13) можно привести к уравнению Эйри заменой переменных

<р" = гф,

(2.47)

62

	Решение задачи	имеет	вид
		ф| (0.	0 < / < 1 / ( 4 / г);	(2.48)
	Ф(0 =	<р, (<).	i/(4/r) < / < 3 / ( 4 / r);
		Ф9 М,	ЗЛ4/г) ^ / < 1 / / г .

Рассмотрим интервал		времени 0 < ( < l W		r ) ' ФУНКЦИЯ
ф (/) является	решением следующей задачи Коши
	ф! (О + “ о(1 + 4 /г0 Щ(0 = 0			(2.49)
с начальными	условиями ф, (0) = sin ф; ф! (0) =			©о cos ®ы’
полним замену переменных
	* = - V	( 2n)2(l + 4ЫтП
и получим
	Ф1(г) = гф, (2);
	Ф1 (— У(2л)2) =		sin ф;	(2.50)
	Ф1( ~ / (2я)а) =		— / 2 я cos ф.

Обозначим линейно-независимые решения уравнения Эйри через р (г), v (г). Эти функции и их производные при г < 0 вы­ ражаются, в свою очередь, через функции Бесселя

р ( - 0 ~			‘ M - ' i M l :
		3
P 'i - n	=	V ^ - f y	W +	J>	Wli
		" Г		T	(2.51)
0 ( - ' )	=	-5- ^ [J_ i .	<*) +	y s_ (*>li
		3			3
* ( - 0 =		-J- V * у ±	W +	JL	(*)],
		3			3

rAe x=" T fU'

58

Общее решение уравнения Эйри

Ф1 (я) =* С\Р(2) + W (г).

Положим ар = 0. Решая задачу (2.50),	получаем
Cf — —у^2я v —[— У (2п)ъ\\ с2 =	|/"2я р [— Ъу (2л)2].
Поскольку р' (z) у (z) — р (г) о' (г) = 1,		можно записать
<Pi (Z) = — fa it \v[— Y (2л)2] р (г) — р [—		(2я )а1у (г)).
		(2.52)
Рассмотрим временную диаграмму	(рис. 2), которая иллюст­

рирует метод предельных интервалов. При определении функции

Ф (*)	регистрируются точки, соответствующие нулям функции
Ф (z)	и нулям ее производной ф' (z). В момент времени, соот­

ветствующий нулям функции ф (z) и ее производной ф' (г), фик­

сируют предельные временные интервалы		(f0,	tt),	(tv	/а)* •••
...,(/*, tk+[), .... (<„_!, /п) и по одной	из формулы (2.23),				(2.28),
(2.37) определяют среднее значение	Т (0	на	этом	интервале.
Нули функций ф (г) и ф' (г) для	рассматриваемой				кривой

Т (0 можно найти из таблиц функций Эйри с помощью ЭВМ. Пример 2. Рассчитаем функцию натяжения Т (t) методом

предельных интервалов (Ь — 0,5; с = 2; ф = 0):

В соответствии с расчетом на ЭВМ функция ф{ (z) в интер­ вале времени

г £ ^---- -- yf4яа ,			— yrin2j
обращается в нуль только	в	точке	гг = —4,194, а			функция
фх (г) — только в точке г2 =		—4,942. Этим			значениям	соответ­
ствуют моменты времени	=	0,1 16//Г;		t2 =	0,226lfT.
На интервале времени l/(4/r ) < i <				3/(4/г) замена		перемен­
ных z — У Ш г (2fTt — 2)	снова приводит				к уравнению ф^ —

= гф3. Начальные условия для ф, (г) получим, «сшивая» реше-

й

ния <рх (t) и ф2 (О в точке t =	1/(4/г):
* ( ^ г ) " ” ^	4я’>о ( - Т VW) -

-P ( V

<P I ( - J ^ - ) = “ O [°< — Y b & )p '(—

—p { — V 4яа) o' | — Y j .

Из таблиц В. А. Фока находим

<Pi(i/(4/r)) =0,178 Y%i\ ф, (1/4/т-) =								— 1,02CD0.
Для упрощения последующей записи заменим входящие в
уравнения функции Эйри их табличными значениями
	---- L ^ 4 5 5 < e < - - i - y " 5 ? ;
ф2 (г) -			— Y i? [0,39» (г) +				0,61» (г)];
нули Ф2 (г): гя =				— 4,556; г6 = — 2,920;
нули	ф2 (г): г4 =			3,800;		гв =	— 1,953.
Соответствующие нм моменты (в единицах								\/ff)’	.*
tA=* 0,4421; tb=	-0,5714;			=	0,7136.		При 3/(4/г) < 1^		Щт
замена переменных			осуществляется			уравнением
		г = — у/Г4я5 {2fjt— 1).
Решение в этом случае имеет вид
	Фз (г) = 0,727р (г) +					0,251ц (г);
Фз (г) =		0	при г7 в		— 2,512;		*,*= 0,869,
ф# (г) =		0	при г8 =		— 3,450;		(в«	1 *001 •

65

Таблица 4

		Т, (/)			Г, (/)			Г2 (0
с	в при	б при	0 при		Ь при			б при
	Ь= 0,3	Ь= 0.5	Ъ=» 0,8		Ь=	0,5	6 — 0,5
1	6.8	12	_		14,1			15.8
1.6.	4.4	7.5	12,5 .		9.4			10,8
2	3.5	5,9	10		7,2			8.4
2,8	2,7	4,5	8,2		5,4			5,7
3	2,4	4,4	8		5,2			5,5
4	1.9	3,3	6,4		4,1			4,1
б	1.75	_	5,8		3,2			3,5
6	1,7	3,1	4.7		2,7			3,1
8	1.5	2,7	3,8		2,5			2,8
10	—	2.3	“		—
						Таблица 5
		Г, (/)			Га (t)			Т, (i)
	fl при	й при	б при		0 при			б при
	с = 1.5	? = 2	с =	2,8	с =	?		с = 2
0	7,5	5,9	4,5		7,2			8,4
я/6	_	5,7	—		7,2			7,9
Я/4	8,3	6	4,6		7.4			7,7
Я/3	—	6,2	—		6,6			7.9
Я/2	7,3	6,55	4,7		7,4			7.8
2я/3	—	5,8	—		7,1			8,2
Зя/4	7.5	5,8	4*7		7,1			8,2
Л	7,5	5,9	4.6		7,2			8.4
							Таблица 6
5		Г, (0 при				г, (0		г, </)
	с = 1,6	с = 2	с = 2,8	с =	6	с =	2	с = 2
	6	0	в	б		б		б
0,1	1,4	1,4	1,2	1,0		1,4		1,5
0 ,2	3,1	2,4	1,8	1,6		2,5		3,3
0,3	4,4	3.5	2,7	1,8		3,9		4,8
0,4	5,9	4,8	3,6	2,3		5,5		6,4
0,5	7,6	5,9	4,5	3,0		7,2		8,4
0 ,6	9,2	7,3	5,7	3,1		8 ,6		10,2
0,7	10,8	8 ,6	6,9	3,6		10,3		12,5
0 ,8	12,5	10,0		4,7		11,5		14,4

56

Аналогично		рассчитаны функции и			для	других			значений
Ь, с и	ср. Для	гармонической непрерывной функции
		Т’а (0 = Т0(\ + 6	sin (У),
для функции, «сшитой» из пыли и синусоиды,							l -
	Ts(t) = T0[l + &min (4,8/r/;				sinM
Точки «сшивания» форм кривых						tc4 =
*ci =	1 /№ );	3/(10/7); *с3 = 7/(10/г);						4/(5/г ).
		Решение такой задачи						можно по*
		лучить только		численными				методами.
		Точность	воспроизведенной непрерыв­
		ной дифференцируемой					функции Т (()
		можно оценить			сравнением				среднего
		за интервал (/*, /ft+l) значения задан­
		ной функции		Т (0		и	значения			этой
		функции,	вычисленной				по		одной из
		формул (2.23),			(2.28),		(2.37)		на	этом
		же интервале.		Результаты этих						вычи-

гGsf,5 ~~7

// /

\Рис. 3. Зависимость точности воспроиз­

N у

в ^

0 0,2 0,4 0,& Ь

в

ведения функции натяжения материала от параметра с при различном i и iji = = 0 (а), от разности фаз частоты собствен­

ных колебаний (б) и	от амплитуды пере­
менной составляющей	при ф =	0 (в):
------ т, (« ;----------- тш(0 ; = -		—Г, (/)

67

слений для трех типов функций Т\ (f), Т5 (О, Тц (f) приведены в

табл. 4 и 6	для ф = 0 и в табл. 5 для b = 0,5. По этим данным
построены	зависимости	точности	воспроизведения б	методом
предельных	интервалов	функций	7\ (/)» Т2 (/), Тп (/)	от пара­

метров с, ф и b (рис. 3). Анализируя эти характеристики, можно

сделать	вывод, что применение метода предельных	интерва­
лов для	воспроизведения функции Т (t) значительно	снижает

точность ее воспроизведения при сравнимых частотах попереч­ ных колебаний упругой системы Tk и функции Т (*). Формулы (2.23), (2.28), (2.37) можно использовать для любых Ь%с и ф. Их применение ограничивается лишь точностью воспроизведе­

ния функции Т (/). Даже при с = 2...3 погрешность	имеет
вполне допустимое значение (4— 10%). При дальнейшем	росте

с производная db/dc резко падает. Функция б (b) носит линей­ ный характер, причем влияние Ь на функцию б (б) особенно существенно при малых с.

Для функции б (ф) величина ф мало влияет на точность воспроизведения функции Т (().

Приведенные характеристики позволяют оценить точность метода предельных интервалов и определить предельную вели­ чину отношения fklfT, при котором функция Т (0 восстанавли­

вается с требуемой точностью.

Глава 3

МОДЕЛИ ТИПОВЫХ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ ПРОИЗВОДСТВА ЭЛЕМЕНТОВ РЭС

3.1. МОДЕЛИ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ, ОПИСЫВАЕМЫХ УРАВНЕНИЯМИ ТИПА ДВИЖУЩЕЙСЯ СТРУНЫ

Однородные дифференциальные уравнения с постоян­ ными коэффициентами. В математических моделях этих технологических процессов движение упругого материала (провода) с линейной скоростью описы­ вается решением начально-краевых задач для эволю­ ционных уравнений, большей частью гиперболических.

Упрощение реальной ситуации, являющееся важ­ ным шагом в последующих более сложных моделях,

58

приводит к следующей начально-краевой задаче Г14]:

(-w ~ v ~ ^ J y « .	*	)	-	< * *	* ) ;	(3.1)
у (<, 0)		=	у(<,	0 = 0 ;		(3.2)
У (0, JC) =	у0;		у'(0. *) =		Г „	(3.3)

где / — расстояние между направляющими роликами; У (t, х) — отклонение струны от положения покоя в точке с координатой х в момент времени t\ а2 = 77р; Т — натяжение струны; р — линейная плотность ма­ териала.

Уравнение поперечных колебаний струны, дви­ жущейся с постоянной линейной скоростью у, без приложения внешних сил можно записать в виде

+ 5 ? — »• м

Если натяжение Т постоянно (намотка на цилинд­ рический каркас с постоянной угловой скоростью вращения каркаса или поводка), то и коэффициенты а и о в уравнении (3.4) постоянны. При намотке на профильные и цилиндрические каркасы при изменении угловой скорости (динамические режимы: пуск, пе­ реход из секции в секцию, торможение), а также при наличии инструментальных погрешностей механи­ ческих узлов (эксцентриситет и перекос направляющих роликов и др.) натяжение струны Т есть функция времени. Поэтому уравнение (3.4) содержит коэффи­ циенты a (t) и v (/) переменные по t.

Например, если намотка производится на квадрат­ ный каркас (сторона квадрата d), то натяжение струны

Т = Т0+ 7\ (1 — cosсо/)(1 — sin Ы),

69

где TQ— постоянная составляющая натяжения, за­ данная технологией намотки;

Тг	4	E S\
		' + ' 1
	е =	d2/ / i « 1;
Е — модуль упругости;		S = Jtd2/4 — площадь	попе­
речного сечения струны; со — угловая скорость			вра­

щения каркаса; / — расстояние между направляющи­

ми роликами;	— расстояние между роликом			п кар­
касом.
Следовательно, в		этом случае
=	j / X	+ T i	(1 - coscoQ (1 — sin шг,
Для уравнения (3.4) можно записать
	у (0,	к) =	ф (х);
	у( (0, х) =		ф (х);	(3.5)
	y(U 0) =		у(1У / ) = 0 .

Наиболее просто явные		решения уравнения	для
v = const и	а — const можно получить методом		ха­
рактеристик	для общих	гиперболических уравне­

ний [5]. При небольших значениях t применение этого метода дает удобные для вычисления формулы. Бу­ дем искать решение в виде

У(*, х) — ~ 2	Ф lx — (а +		u)J I -f ~	ср [х -f (а — и) t] -f
I	x+(a—v)t ^				x— a+v)t _
**“ 2 (а — и)	J	^ № dz	2 (а +	v)	|	^ ^
						(3.6)

где ф и ф — продолжение функций ф и ф с отрезка [0, /] на всю ось —оо < х < оо. Эти продолжения вы­ бирают так, чтобы при любом t > 0 выполнялись гра­ ничные условия (3.5).

60