книги / Устойчивость упругих тел при конечных деформациях
..pdf
|
|
м |
|
|
|
|
|
■ (“) = |
j" l (“Г |
— Х ”ит------Y |
dd/dx — |
||||
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
- |
j \p 'mumdS(k; |
|
(III. И ) |
||
|
|
|
ОSX |
|
|
|
|
|
|
(Ц ) — J (~ 2~ ®/шарыос,р * Ыш./ — Х т * Ит Ч* |
|
|
|||
|
|
V ' |
|
|
|
|
|
|
|
+ 4 - Р«ш * Й«) М - |
j |
Pm * UmdS, |
|
(III. 12) |
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Л |
|
|
|
|
|
f* g |
= ^ f ( x , x ) g { x , T — x)dx; |
f * g s s g * f . |
|
(III.13) |
|||
При доказательстве вариационных принципов будем |
|||||||
использовать следующие преобразования: |
|
|
|||||
|
|
J W^mc[pWc[,p6Mm1^^I^, ~ J [(®ZmctpWa,p5wm)f/ — |
|
|
|||
|
|
V |
V |
|
|
|
|
|
|
|
(®ZmapWa,p),<1 dV = |
|
|
||
= |
— f (©imap«<x.p)4/ 6«mdV' + |
f A^owpWa,p6wmdS; |
(III. 14) |
||||
jT |
|
V |
|
s |
|
|
|
9UmJbumdVdx =TJ |
Pj|_A_ (Mm6«m)— wm6wm] dVdx = |
||||||
0 V |
|
0 V |
^ |
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
- — j |
| |
+ |
jp[(«m6w) |x -r—(zz6«)|t=o]dV; (III. 15) |
||||
|
|
|
T |
|
|
|
|
j |
pwm * Sumdv = jj Цpwm (x, т) быш (x, T — x) dxdV — |
||||||
V |
|
VO |
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
j j p«m (X, x) J |
j j ^ j |
6um(x, T — x) dxdV: |
|
||
71
т
= — J J P«m (*. *) 4 г Ы т Г — T) dxrfl/ =
V 0
= | P«m * 6« m ^ — j p {[Wm (x, T) 6um (X, T — t)] |X=T —
— [ыт (x, T) 6wm (x, T — T)] |t=0) dV. (III. 16)
Сформулируем и докажем вариационные принципы.
Вариационный принцип для статических задач. Если функции ит удовлетворяют условиям (11.55) и выполня ются перечисленные в начале данного параграфа тре бования, то из условия стационарности функционала /, (и) (III.10) следуют соотношения (11.52) и (11.53).
Доказательство. Вычислим первую вариацию функцио нала (ШЛО), учитывая последнее соотношение (III.3) и преобразование (III.14). В результате преобразований на ходим
6/i(«) =—J [(Ю,тарИа.рЬ+ *«] |
+ |
V |
|
+ | Nia w |}«a.p6M(nrfS—| P*mbumdS. |
(III. 17) |
•Из выражения (Ш Л7), условия (11.55) и условия ста ционарности функционала получаем соотношения (11.52) и (11.53).
Вариационный принцип для динамических граничных задач. Если функции ит удовлетворяют условиям (11.55) и (11.56) и выполняются перечисленные в начале данного параграфа требования, то из условия стационарности функ ционала (III. 11) следуют соотношения (11.51) и (11.53).
Доказательство. Вычислим вариацию функционала (III. 11), учитывая последнее соотношение (III.3) и преоб разования (III.14) и (III.15). После вычислений находим
т |
|
|
Ыг (и) = —J | |
1(Ю£»я«рЫ«.р).| + Хт — рн„] buJVdx + |
|
т |
т |
|
-Ь |Ч NiowpWa>p6MmdSdT — £ | P'mbumdSdx — |
||
o s |
o s, |
|
— J P l(«i«6“m) It=r — (uj>um) |T=O! dV. |
(III. 18) |
|
v |
|
|
72
Из выражения (III.17), условий (11.55) и (11.56) и ус ловия стационарности функционала получаем соотноше ния (11.51) и (11.53).
Вариационный принцип для динамических смешанных задач. Если функции ит удовлетворяют условиям (11.55) и (11.57) и выполняются перечисленные в начале настоя щего параграфа требования, то из условия стационарности функционала (III. 12) следуют соотношения (11.51) и (II. 53).
Доказательство. Вычислим первую вариацию функцио нала (11.12), учитывая последнее соотношение (III.3) и преобразования (III.14) и (II 1.16). После преобразований находим
б/« (и) = — j [(ю,тСфЫа.р)./ + Х тЛ — рит] *bumdV +
+ $ N |
* buJUS — £ Р’т *6umdS — |
|
S |
S t |
|
— | |
P {[Wm (*, f) бum(X, T — T)] |t=r — |
|
— \um(*. r) 6«m(X, T — T)] |x=0) dV. |
(III. 19) |
|
Из выражения (III.19), условий (11.55) и (11.57) и ус ловия стационарности функционала получаем соотноше ния (11.51) и (11.53).
Приведенные доказательства можно провести и в обрат ном порядке, умножив соответствующие выражения на ва риации и выполнив соответствующие преобразования.
Остановимся на вариационных принципах второго типа, используя формулировку задач с привлечением несиммет
ричного тензора напряжений Кирхгофа. В атом |
случае |
|||||
статические задачи |
сводятся к |
соотношениям (11.59) — |
||||
(11.62) |
и |
(II.55), |
динамические |
граничные задачи — к |
||
(II.58), |
(11.60) — (Н.62), |
(11.55) |
и (II.56), динамические |
|||
смешанные |
задачи — к |
(11.58), |
(П.60) — (11.62), |
(11.55) |
||
и (П.57). Будем варьировать функции tim, vim и ит. Вве
дем следующие |
функционалы: |
|
|
|
^4(^> |
И) = |
| [""2” ®ima№afPml — ^,т |
— Um.l) — |
|
- |
X*mum] d V - § P'mu J S - |
j Nttm u J S \ (III.20) |
||
|
|
Si |
sa |
|
7 a
^6{t, V, U) — ] |
\ I ~2~totmafiVapVmi — tlm {Pmt — Mm.f) — |
|||
|
0 |
V 1 |
т |
|
|
|
|
|
|
— X mum---- L |
dVdx — fjfj PmUmdSdx — |
|
||
|
|
T |
0 s, |
|
|
|
|
|
|
|
|
- j |
J N ^ u J S d x i |
(III.21) |
|
|
0 |
s, |
|
Л| {t, |
*0 = ^ [”2~ |
* (0«K — 4m,l) —• |
||
— |
+ |
|
Mm]dVdx — J P'm*umdS — |
|
|
|
|
s, |
|
|
|
— | |
N,tlm*umdS. |
(III.22) |
При доказательстве вариационных принципов будем использовать, кроме преобразований (III.15) и (III.16), еще преобразование
Jtinfium.idV = С[(tmfiuj.i — tlm_fium] dV =
vv
- — J tim,fiumdV + j N (tim6umdS. |
(III.23) |
Сформулируем и докажем вариационные принципы. Вариационный принцип для статических задач. Если
выполняются условия, перечисленные в начале данного параграфа, то из условия стационарности функционала (III.20) следуют соотношения (11.59) — (11.62) и (11.55).
Доказательство. Вычислим первую вариацию функцио нала (III.20). Учитывая последнее соотношение (Ш .З) и преобразование (III.23), находим
б/4 (t, V, и) *= J [(OWpOaP — tun) QVml — (Vml — U„,{) Ы1т —
(ttmj Xm) выт] dV -f- ^ (N|tim |
— Pm) 6u„/lS — |
- J N(u J t lmdS. |
(III.24) |
74
Из условий стационарности функционала и выражения (III.24) получаем соотношения (11.59) — (11.62) и (11.55).
Вариационный принцип для динамических задач. Ес ли функции ит удовлетворяют условиям (11.56) и выпол няются требования, перечисленные в начале настоящего параграфа, то из условия стационарности функционала (III.21) следуют соотношения (11.58), (11.60) — (11.62) и (11.55).
Доказательство. Вычислим первую вариацию функцио нала (III.21). Учитывая последнее соотношение (Ш .З), преобразования (III.15) и (III.23), находим
т
® '^) = J | ((©ImapHap — tlm) бп»й (Ощ/ — Mm.l) ~ •
Т
— {Um.t + X 4m- p u m)buJdV dx + $ $ (NJun~P*m) b u J S d ( -
0 St
T
— И |
N ciimbtlmdSdx — J p [(um6um) Ix=r — (ымбит) |x=o] dV. |
0 S i |
V |
|
(III.25) |
Из выражения (III.25), условий стационарности функ ционала и (11.56) следуют соотношения (11.58), (11.60) — (11.62) и (11.55).
Вариационный принцип для динамических смешанных задач. Если функции ит удовлетворяют условиям (11.57) и выполняются требования, перечисленные в начале дан ного параграфа, то из условия стационарности функ ционала (III.22) следуют соотношения (11.58), (11.60) — (11.62) , (11.55).
Доказательство. Вычислим первую вариацию (III.22). Учитывая первое соотношение (III.3), преобразования (III.16) и (III.23), получаем
6/ в (f, V,U) = \ [(©£шарЦаР — tlm) * bvmt —
' iPml “ |
Um.l) * &ilm — iflm,l "f” Xm PMm) * fiUjJ dV ~~~ |
— [ (NiUn — P‘m) *bu„dS — J N,um *btimdS — |
|
Si |
si |
?6
|
— J P U«m(*. T)bllm(X, Т — Т)] |х-г — |
|
|
|
— [«т (*. Т) |
(X, Т — г)] |Т»о} dV. |
(III.26) |
Из выражения (III.26), условий стационарности функ |
|||
ционала |
и (11.57) следуют соотношения (11.58), |
(11.60) —- |
|
(11.62) |
и (11.55). |
|
|
Таким образом, для сжимаемого тела вариационные принципы линеаризированных задач сформулированы.
§3. Вариационные принципы статических
идинамических задач для несжимаемого тела
Рассмотрим вариационные принципы статических и ди намических линеаризированных задач для несжимаемого тела при предположениях, сформулированных в начале предыдущего параграфа.
Остановимся вначале на вариационных принципах, когда вариируются функции ит и р. В качестве исходных формулировок задач примем для статических задач соот
ношения |
(11.65), |
(11.66), (11.68) |
и (11.55), для динамиче |
|
ских граничных |
задач — (11.64), |
(11.66), (11.68), (11.55) и |
||
(11.56), |
для динамических |
смешанных задач — (11.64), |
||
(11.66), (11.68), (11.55) и (11.57). |
|
|||
Введем следующие функционалы: |
||||
7у (И, р ) — |
X l m a & U a , ? № |
m , t + |
p G 0 (®mn + Hm.n) U m , l — |
|
|
|
- |
d V - \ P*mumdS\ |
|
|
(Ш-27) |
||
|
T |
|
J |
s, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
? s ( M t p ) ~ |
J J |
\ ~ 2 |
~ |
|
{ ^ m n |
+ |
Um,n) u m . l — |
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
— X'mum---- p w J/J dVdx — J | |
P'rrMjSdx; |
(Ш.28) |
||||||
/».(ы , p ) = |
j \ |
XinjapUa.p * U |
m , i + G o l n ( S m n + |
U |
r n , n ) P * u m , i — |
|||
|
V 1 |
|
|
|
|
|
|
|
— Xm *Um ~i--- 2 p«m * tim\ d V - |
j P’m* umdS. |
(III.29) |
||||||
Сформулируем |
и |
докажем |
вариационные |
принципы. |
||||
76
Вариационный принцип для статических задач. Если функции ит удовлетворяют условиям (11.55) и выполня ются требования, перечисленные в начале предыдущего параграфа, то из условия стационарности функционала (III.27) следуют соотношения (11.65), (11.66) и (11.68).
Доказательство. Вычислим первую вариацию функ ционала (III.27), учитывая последнее соотношение (III.4) и преобразования типа (III. 14). В результате находим
6/7 (М, р ) = — J {[Xim afW a,р + Go Фт п + um,n)р \,1 +
"Ь Хщ) ^umdV Ч" ^ Со (6ffln -f- Um.n) Umj6pdV — ^ PmbllmdS -J-
V |
S, |
|
+ ^ Ml [И/пкхРыа.Э 4" Co (6mn -f- Um.n)P\ btlmdS. |
(Ill.30) |
|
Из выражения (111.30), учитывая (11.55) и условия ста |
||
ционарности функционала, |
получаем (11.65), |
(11.66) и |
(11.68).
Вариационный принцип для динамических граничных задач. Если функции ит удовлетворяют условиям (11.55) и (II.56) и выполняются требования, перечисленные в начале предыдущего параграфа, то из условия стационар ности функционала (III.28) следуют соотношения (11.64), (11.66) и (11.68).
Доказательство. Вычислим первую вариацию |
функцио |
|
нала (II 1.28), учитывая последнее |
соотношение |
(III.4) и |
преобразования типа (III.15). В |
результате |
получаем |
г |
|
|
б/8(П, р) = — ^ j {[И|тарИсс,Р + Go"(бщп + Um.n)Р\,1 +
Ч- Xm— Рыт} ^umdVdx -[- J J Go (6mn Ч- Um.n) umAbpdVdx —
T |
T |
— J J P"mbumdSdx + |
[ J N, [я,шаР^а.р -f- Go (6mn Ч- ^т,п) P\ X |
OS, |
OS |
X bu„jdSdx — J p [(йтбыт ) |t=r — (umbum) |x-o] dV. (III.31) v
Из выражения (III.31), условий (11.55) и (11.56) и ус ловий стационарности функционала следуют соотношения (11.64), (11.66) и (11.68).
77
Вариационный принцип для динамических смешанных задач. Если функции ит удовлетворяют условиям (11.55) и (11.57) и выполняются требования, перечисленные в начале предыдущего параграфа, то из условия стационар
ности функционала |
(III.29) следуют соотношения (11.64), |
||||
(11.66) и (11.68). |
|
|
|
|
|
Доказательство. Вычислим первую вариацию функцио |
|||||
нала |
(III.29), учитывая |
последнее |
соотношение (Ш .4) |
||
и преобразования типа |
(III. 16). В |
результате получаем |
|||
б/в (И, р) = J {[Х(тсфНа,р -f- G0 (бш„ -f- Ит,п) p\,i + |
Хт — |
||||
|
— рит) *бumdV + J Go" (бия + и°,„) и„,, *бpdV — |
||||
“ |
f P/n * d u md S + |
J N f [Х/тарНа.р + |
O Q (6mn -[- Um,n) P \ • |
||
|
Si |
s |
|
|
|
|
*bumdS — j |
p {[йт(x, T) 6u (x, 7 —T)J |T„ r — |
|||
|
—[мт {x, T) 6wm (x, 7 — T)] |T = O } dV. |
(Ill.32) |
|||
Из выражения (III.32), условий (11.55) и (11.57) и ус ловий стационарности функционала следуют соотноше ния (11.64), (11.66) и (11.68).
Рассмотрим вариационные принципы, когда варьируют ся величины tlm, vlm, ит и р. В качестве исходных форму лировок задач примем для статических задач соотноше ния (11.59), (11.62), (11.55) и (11.68), (11.61), (11.69); для динамических граничных задач — (11.58), (11.61), (11.62), (11.68), (11.55) и (11.56), (11.69); для динамических сме
шанных |
задач — (11.58), |
(11.61), |
(11.62), (11.68), |
(11.69), |
(11.55) |
и (11.57). Введем следующие функционалы: |
|||
/до (/» О, U , р ) а» J [”2~ |
|
(Pml — Пт,/) 4* |
||
|
-f- pGo" (бтп + |
Пт>п) Vml |
ХтИшj dV — |
|
|
- Г |
- J Nttim UjSl |
(III.33) |
|
7 »
|
т |
A i(^» |
Р) = ||[ ~ 2 "ilima^ a^ ml ^,ml®"1 — Mm.l) + |
+ p C (6m„ + И°,„) ym, — Xm«m---- §- P«m“m] |
— |
|||
Г |
Г |
|
|
|
— 1 1 PmU^Sdx — ^ j* N,timumdSdx\ |
(III.34) |
|||
OS, |
0 Si |
|
|
|
Ilb(^» О, Ы, P) = | J~2~JtjmecpWaP *^m.J |
* (Omi—Um,l) 4* |
|||
+ P * C * $ m n |
+ W^,n) V |
m l |
— X m * Hm -j- |
|
+ 4 - « . * * u ] ^ —| |
Pm * |
— |
(III.35) |
|
Сформулируем и докажем вариационные принципы. Вариационный принцип для статических задач., Если
выполняются требования, перечисленные в начале преды дущего параграфа, то из условия стационарности функ ционала (III.33) следуют соотношения (11.59), (11.61), (11.62), (11.68), (11.69) и (11.55).
Доказательство. Вычислим первую вариацию функцио
нала (III.33), |
учитывая |
последнее соотношение |
(III.4) |
|
и преобразование (II 1.23). В результате находим |
||||
WjjPt |
Р) = |
f {[ttftmxptyxp-f- pGо (бщл4" Ke^n)—ffc,i]60m|— |
||
|
(®ml |
Um.l) |
4 " Co (6nm *f* Um,n)Vml&P |
|
“~ (ttmj -f- Xm) бМщ} dV —J (UmNi — Pm) |
— |
|||
|
|
- J |
NtUjMtmdS. |
(III.36) |
Из выражения (111.36) и условий стационарности функ ционала получаем соотношения (11.55), (11.59), (11.61), (11.62), (11.68) и (11.69).
Вариационный принцип для динамических граничных задач. Если функции ит удовлетворяют условию (11.56) и выполняются требования, перечисленные в начале
79
предыдущего параграфа, то из условия стационарности функционала (III.34) следуют соотношения (11.55), (11.58), (11.61), (11.62), (11.68) и (II. 69).
Доказательство. Вычислим первую вариацию функционала (III.34), учитывая последнее соотношение (III.4) и
преобразования типа (III.15) и (III.23). В результате получаем
т |
|
ut Р) — f f |
+ pGo"(6/nn + Um_n) — |
— f|m l & V m l — ( V m l — u |
m . i ) Ы ц п -f- Go” (6mn -}- K J ,^ ) V r n l ^ P — |
|
T |
— (tim,i + x „ — pum) 6um) dVdx — J f (UmN, — P'm)5umdSdx— |
|
T |
0s, |
|
|
— И NiUmbtimdSdx — J p l(um6um) |r=r— (umbum) |T=O] dV. |
|
o s , |
Й |
|
(III.37) |
Из выражения (III.37), условий (11.56) и условий ста ционарности функционала следуют соотношения (11.55), (11.58), (11.61), (11.62), (11.68) — (11.69).
Вариационный принцип для динамических смешанных задач. Если функции иш удовлетворяют условию (11.57) и выполняются требования, перечисленные в начале пре дыдущего параграфа, то из условия стационарности функционала (II 1.35) следуют соотношения (11.55), (11.58), (11.61), (11.62), (11.68) и (11.69).
Доказательство. Вычислим первую вариацию функ ционала (III.35), учитывая последнее соотношение (III.4) и преобразования (III. 16) и (III.23). В результате получаем
б /ц ( £ , V, U, р) — J {[К/maftOocp "Ь pGo (6#nn *f* Um.n) —
— tlm] *бVml — (VnU— Umj) *btim + Go” (бщп + «„,„) * bp—
—(tlm,l + x m— pH j * 6um} dV -f- ^ (timNI — Pm) *€>umdS—
— J Ntum • dtin4S — Jp {[«„(*. X)bum(x, T — x)\ |r= r —
St |
v |
(III.38) |
|
— [um (x, t) 6ит (X, T — x)]| ^o} dV, |
80